专题1.3 用公式法解一元二次方程（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题1.3 用公式法解一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 求一元二次方程中判别式的值】 1 【考点二 用公式法求解一元二次方程】 2 【考点三 利用公式法还原一元二次方程】 5 【考点四 用公式法解一元二次方程的错题复原问题】 6 【考点五 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 8 【考点六 根据一元二方程根的情况求参数】 10 【过关检测】 14 【典型例题】 【考点一 求一元二次方程中判别式的值】 例1.（23-24九年级上·陕西宝鸡·期中）一元二次方程根的判别式的值为（　　） A．36 B．37 C．38 D．39 【变式训练】 1．（22-23九年级下·内蒙古包头·期末）一元二次方程根的判别式的值为（    ）． A．56 B．16 C．36 D．28 2.（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）当用公式法解方程时，的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 3．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）一元二次方程的根的判别式 ． 【考点二 用公式法求解一元二次方程】 例2.（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）解方程：． 【变式训练】 1．（2024·陕西西安·二模）解方程：． 2．（23-24八年级上·上海静安·期中）解方程：． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）解方程： 4.（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【考点三 利用公式法还原一元二次方程】 例1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2024八年级下·浙江·专题练习）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 2.（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【考点四 用公式法解一元二次方程的错题复原问题】 例4. （2024九年级下·全国·专题练习）小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，．第四步 (1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·全国·假期作业）解方程，某位同学的解答过程如下： 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，. 请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果. 2.（22-23八年级下·北京门头沟·期末）阅读材料，并回答问题： 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：∵，，                ① ∴        ②                     ③ ∴此方程无解 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）； (2)发生错误的原因是： ； (3)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【考点五 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 例5.（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式训练】 1.（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南商丘·三模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 3．（2024·广东云浮·一模）关于x的一元二次方程（其中）的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不等的实数根 【考点六 根据一元二方程根的情况求参数】 例6. （23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个根为2，求的值； (2)若方程有实数根，求的取值范围． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于的方程． (1)求证：不论取什么实数时，这个方程总有实数根； (2)当为何正整数时，关于的方程有两个整数根？ 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知、是关于的方程的两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)已知等腰的一边长为1，若、恰好是另外两边长，求这个三角形的周长． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一元二次方程的判别式的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，则该方程根的情况为（    ） A．无实数根 B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．无法判断 3．（23-24九年级上·河南开封·期末）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．2015 B．2033 C．2024 D．2027 二、填空题 6．（2024·吉林松原·一模）一元二次方程的根的判别式的值是 ． 7．（2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 8．（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 9．（2024·山东滨州·一模）对于任意实数k，关于x的方程的实数根的情况为 ． 10．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·山东淄博·期中）公式法解方程：． 12．（2024·陕西西安·三模）解方程：． 13．（23-24九年级上·吉林四平·期末）解一元二次方程： 14．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①，；②，；③，． 15．（22-23九年级上·山西运城·阶段练习）（1）解方程：． （2）小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 解：∵，，，    第一步 ∴，    第二步 ∴，        第三步 ∴，．    第四步 ①小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________________． ②写出此题正确的解答过程． 16．（23-24八年级下·吉林长春·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为正整数，求此方程的解． 17．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． (1)求关于x的方程的根； (2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 18．（23-24九年级上·江西九江·期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果，，，求这个一元二次方程的根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 用公式法解一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 求一元二次方程中判别式的值】 1 【考点二 用公式法求解一元二次方程】 2 【考点三 利用公式法还原一元二次方程】 5 【考点四 用公式法解一元二次方程的错题复原问题】 6 【考点五 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 8 【考点六 根据一元二方程根的情况求参数】 10 【过关检测】 14 【典型例题】 【考点一 求一元二次方程中判别式的值】 例1.（23-24九年级上·陕西宝鸡·期中）一元二次方程根的判别式的值为（　　） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，其判别式为 ，据此代值计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 【变式训练】 1．（22-23九年级下·内蒙古包头·期末）一元二次方程根的判别式的值为（    ）． A．56 B．16 C．36 D．28 【答案】A 【分析】将该方程整理为一元二次方程的一般形式，进而即可根据其根的判别式求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式和一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为是解题关键． 2.（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）当用公式法解方程时，的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 【答案】C 【分析】 本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键．将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论． 【详解】 解：原方程可变形为， ，，， ． 故选：C 3．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）一元二次方程的根的判别式 ． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根据，进行计算即可求解． 【详解】解：一元二次方程的根的判别式， 故答案为：． 【考点二 用公式法求解一元二次方程】 例2.（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 【变式训练】 1．（2024·陕西西安·二模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可．解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据情况灵活选用解法求解即可． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴，． 2．（23-24八年级上·上海静安·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先求解，再利用公式法求解即可，掌握公式法解方程是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 4.（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 【考点三 利用公式法还原一元二次方程】 例1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 【变式训练】 1.（2024八年级下·浙江·专题练习）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定，，的值；求出的值（若，方程无实数根）；在的前提下，把的值代入公式进行计算求出方程的根，解题的关键是掌握去根公式． 【详解】解：、中，，不合题意； 、中，，不合题意； 、中，，不合题意； 、中，x，符合题意； 故选：． 2.（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故选：D 【考点四 用公式法解一元二次方程的错题复原问题】 例4. （2024九年级下·全国·专题练习）小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，．第四步 (1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答． 【答案】(1)一； (2)正确的解答见解析． 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． （1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了； （2）方程化为一般式得到，，，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）小明的解答是从第一步开始出错的， 故答案为：一； （2）解：方程化为一般式为， ，，， ， ， ，． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·全国·假期作业）解方程，某位同学的解答过程如下： 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，. 请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果. 【答案】见解析 【详解】解：有错误，的值应为. 将方程化为一般形式，得. ∵，，， ∴， ∴， ∴，. 2.（22-23八年级下·北京门头沟·期末）阅读材料，并回答问题： 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：∵，，                ① ∴        ②                     ③ ∴此方程无解 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）； (2)发生错误的原因是： ； (3)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【答案】(1)③ (2)计算错误 (3)见解 【分析】根据公式法的步骤判断和求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：从③步开始出现了错误 故答案为：③； （2）计算错误（负数乘以负数得负数）； （3）∵，，， ∴， ∴， 解得：，． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的计算步骤． 【考点五 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 例5.（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程两个不相等的实数根． 故选A． 【变式训练】 1.（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 2．（2024·河南商丘·三模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A 3．（2024·广东云浮·一模）关于x的一元二次方程（其中）的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算判别式的值得到，则利用非负数的性质可判断，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况． 【详解】 解：由题意，， ， ， ． ， ，方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 【考点六 根据一元二方程根的情况求参数】 例6. （23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个根为2，求的值； (2)若方程有实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值． （2）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可． 【详解】（1）解：把代入得， 解得； （2）解：方程有实数根， ， ． 的取值范围为． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于的方程． (1)求证：不论取什么实数时，这个方程总有实数根； (2)当为何正整数时，关于的方程有两个整数根？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）当时，方程为一元一次方程．当时，方程为一元二次方程，证明出根的判别式即可； （2）由一元二次方程的根与系数关系得到：，然后根据解是整数得到，即可算出m的值． 【详解】（1）证明：当时，方程为一元二次方程，， 一元二次方程有两个实数根． 当时，方程为，有实数根． 综上，不论取什么实数时，这个方程总有实数根． （2）解：方程有两个整数根，∴方程为一元二次方程，即． 由根与系数关系得到：， 又和为整数，且为正整数， ∴，解之得：， 经检验，此时符合题意． 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知、是关于的方程的两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)已知等腰的一边长为1，若、恰好是另外两边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键． （1）由根的判别式即可得； （2）分情况讨论，当时和当时，分别求出方程的根，再根据三角形三边之间的关系判断计算可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）根据题意，∵时， ∴只能取或，即1是方程的一个根， 将代入方程得： 解得：， 当时，代入原方程可得∶ ， 解得方程的另一个根为3， 此时三角形三边分别为1、1、3，此时不能构成三角形； 当时，则， 解得：， 此时方程为： 即：， 即， 解得：， 此时三角形三边分别为1、、，此时三角形的周长为：． 综上，三角形的周长为4． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1或2或3 (3)8 【分析】本题考查了一元二次方程及根的判别式、求根公式，等腰三角形定义及三角形三边关系． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到，则，从而得到正整数m的值． （2）分4为腰与4为底两种情况，求出方程的解，再验证是否能构成三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：， ∴， ∵方程有一个根是负整数， ∴， ∴正整数m的值为1或2或3． （3）解：由（2）知，， ①当4为底边时，， ∵， ∴等腰三角形不存在，舍去； ②当4为腰时，，即， ∵， ∴等腰三角形存在， 综上所述，m的值为8． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一元二次方程的判别式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的判别式，直接运用判别式的公式计算即可． 【详解】解：， ，，， ， 故选：D． 2．（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，则该方程根的情况为（    ） A．无实数根 B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式以及偶次方的非负性，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 先计算根的判别式，得到，由，得到，故，因此该方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 3．（23-24九年级上·河南开封·期末）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键在于熟知关于一元二次方程若有解，则其解为． 【详解】解：由题意得：，，， ∴该方程为， 故选：． 4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 即， 解得：， 的取值范围是且． 故选：D． 5．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．2015 B．2033 C．2024 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及代数式求值，根据一元二次方程判别式与根的关系可得到，进而得到，然后进一步整体代入求解即可． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 有， ， 故选：A． 二、填空题 6．（2024·吉林松原·一模）一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【答案】52 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判别式为．根据一元二次方程根的判别式公式代入数值计算即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴该方程根的判别式， 故答案为：52． 7．（2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：2 8．（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】根据公式法的公式，可得方程的各项系数，即可解答． 【详解】解： ， ，，， 从而得到一元二次方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键． 9．（2024·山东滨州·一模）对于任意实数k，关于x的方程的实数根的情况为 ． 【答案】方程没有实数根 【分析】本题考查了根的判别式，计算方程根的判别式，判断其符号即可，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． 【详解】∵， ∴ ， ∴不论k为何值，，即， ∴方程没有实数根， 故答案为：方程没有实数根． 10．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 三、解答题 11．（23-24八年级下·山东淄博·期中）公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先求出，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 解得． 12．（2024·陕西西安·三模）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键，先将所给的一元二次方程整理后，分别找到二次项系数、一次项系数、常数项，利用一元二次方程的求根公式计算即可． 【详解】解：方程整理得：， 则，，, ∵， ∴， 解得：，． 13．（23-24九年级上·吉林四平·期末）解一元二次方程： 【答案】，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法－公式法．先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程． 【详解】解：， 整理得， ，，，， ∴， ∴，． 14．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①，；②，；③，． 【答案】选②，； 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和公式法解一元二次方程．由方程有两个不相等的实数根，则，即，分别验证四组数值，确定满足条件的b，c的值后，分别解方程即可完成解答． 【详解】解：这个方程有两个不相等的实数根， ，即， 当，，，，故①不满足题意， 当，，，，故②满足题意， 则这个方程为， ， ， ∴； 当，，，，故③不满足题意． 15．（22-23九年级上·山西运城·阶段练习）（1）解方程：． （2）小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 解：∵，，，    第一步 ∴，    第二步 ∴，        第三步 ∴，．    第四步 ①小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________________． ②写出此题正确的解答过程． 【答案】（1），；（2）①一，原方程没有化成一般形式；②见解析 【分析】（1）移项，再直接开平方即可； （2）①要在一元二次方程的一般形式下确定a，b，c的值时，由此可确定第一步是错的；②根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可． 【详解】解：（1）方程两边同乘，得：， 开方，得：， ∴，； （2）①根据解题步骤可知第一步是错的，原因是原方程没有化成一般形式． 故答案为：一，原方程没有化成一般形式； ②∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法和公式法解一元二次方程是解题关键． 16．（23-24八年级下·吉林长春·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为正整数，求此方程的解． 【答案】(1)且 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与系数的关系，解一元二次方程， （1）一元二次方程有两个实数根，则二次项系数不为，且； （2）由（1）可得的取值，解方程即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． （2）解：为正整数，且， ． 原方程为， 解得，． 当为正整数时，该方程的根为或． 17．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． (1)求关于x的方程的根； (2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．明确新定义的运算规则是解题的关键． （1）由新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，解方程即可； （2）按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，在利用根的判别式进行求解即可解决． 【详解】（1）， ， ． ， ， ， （2） ， 整理得：． 方程有两个实数根， 且， 解得：且 18．（23-24九年级上·江西九江·期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果，，，求这个一元二次方程的根． 【答案】(1)是等腰三角形；理由见解析 (2)直角三角形；理由见解析 (3)， 【分析】（1）把代入原方程，可得到的数量关系，即可判断的形状； （2）根据方程有两个相等的实数根得到，从而得到，由勾股定理的逆定理即可得到答案； （3）把，，代入原方程，利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 是方程的根， ， ， ，即， 是等腰三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形； （3）解：将，，代入方程得：， 解得：， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、勾股定理的逆定理、一元二次方程的根的判别式、等腰三角形的判定、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$