专题1.2 用配方法解一元二次方程（9考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题1.2 用配方法解一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 直接开平方法解一元二次方程】 1 【考点二 直接开平方法解一元二次方程的条件】 4 【考点三 直接开平方法解一元二次方程的复合型】 5 【考点四 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程】 6 【考点五 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 7 【考点六 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程】 9 【考点七 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 10 【考点八 用配方法解一元二次方程中错解复原问题】 12 【考点九 配方法的应用】 17 【过关检测】 19 【典型例题】 【考点一 直接开平方法解一元二次方程】 例1．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程： (1) ； (2)． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 2．（23-24七年级下·北京·阶段练习）求x的值： 3．（24-25八年级上·上海·假期作业）解方程： (1) (2) (3) (4) 【考点二 直接开平方法解一元二次方程的条件】 例2.（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【变式训练】 1.（23-24九年级上·四川成都·期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2.（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【考点三 直接开平方法解一元二次方程的复合型】 例3. （23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程： 【变式训练】 1.（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：． 2.（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程： 【考点四 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程】 例4.（23-24八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）方程经过配方后，得到的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点五 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 例5. （23-24八年级下·安徽亳州·期中）解方程：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 2．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）解方程：． 3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用适当方法解下列方程：． 【考点六 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程】 例6.（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）把方程配方成的形式，则m、n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则的值为（    ） A．－1 B． C． D．1 2．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点七 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 例7. （23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）解方程：（配方法解）． 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）用配方法解方程：． 3．（22-23九年级上·广东中山·期中）用配方法解方程： 4．（23-24八年级上·上海青浦·期中）配方法解方程： 【考点八 用配方法解一元二次方程中错解复原问题】 例8：（23-24九年级下·吉林·阶段练习）阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解： ① ② ③ ，④ (1)上述解答过程中，从第 步开始出现了错误（填序号）； (2)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·假期作业）小明解方程的过程如图所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ） 解：……① ……② ……③ ，…④ A．① B．② C．③ D．④ 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）老师让同学们解方程，小红同学给出了如下的解答过程： 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，．……第三步 (1)小红同学是用______（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求解的，从第______步开始出现错误． (2)请你用适当的方法解该方程． 3．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 4．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）配方法解一元二次方程． 下面是某同学的解题过程，请认真阅读并完成任务 ． 解：．    第一步 ．    第二部 ．    第三步     第四步     第五步 ，．    第六步 任务一：该同学解答第________步出现了错，错误的原因是________________．做这一步的依据是________________________ 任务二：写出用配方法解方程的正确过程． 【考点九 配方法的应用】 例8. （23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 2.（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·广东广州·三模）用配方法解方程时，配方后所得的方程（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下面是小明解方程的过程： 解：， ， ，. 上述解法用到的方法是（    ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）代数式的值恒为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 4．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 二、填空题 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）一元二次方程配方后可化为 ． 6．（23-24九年级上·青海海东·期中）将方程化成的形式，则 ． 7．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）将方程用配方法化为，则 ． 8．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程的解为 ． 三、解答题 9．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）解方程： (1)． (2)． 10．（23-24九年级上·广东肇庆·阶段练习）解方程： (1) (2) 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 12．（2024·宁夏银川·一模）下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：． 解：，                第一步 ，        第二步 ，                    第三步 ，                        第四步 ，．                第五步 (1)任务一： ①杨老师解方程的方法是 ； A．直接开平方法            B．配方法                C．公式法    D．因式分解法 ②第二步变形的依据是 ； (2)任务二： 解方程：； 13．（23-24九年级上·山西临汾·期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得                    第一步 移项，得                                    第二步 配方，得，即            第三步 由此，可得                                第四步 所，                        第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______； ②“第二步”变形的数学依据是______； ③小明同学解题过程中，从第步______开始出现错误，请直接写出正确的结果______； 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：． 14．（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 15．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 用配方法解一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 直接开平方法解一元二次方程】 1 【考点二 直接开平方法解一元二次方程的条件】 4 【考点三 直接开平方法解一元二次方程的复合型】 5 【考点四 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程】 6 【考点五 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 7 【考点六 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程】 9 【考点七 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 10 【考点八 用配方法解一元二次方程中错解复原问题】 12 【考点九 配方法的应用】 17 【过关检测】 19 【典型例题】 【考点一 直接开平方法解一元二次方程】 例1．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用直接开平方法求解； （2）先移项，再利用直接开平方法求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ∴， ∴，． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 2．（23-24七年级下·北京·阶段练习）求x的值： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，方法有直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握几种解法是解题的关键． 本题采用直接开平方法直接解方程即可． 【详解】解： 或 解得：或 ∴原方程的解为：，． 3．（24-25八年级上·上海·假期作业）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程． （1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得； （2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得； （3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得； （4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）， ， 或， ∴； （3）， ， 或， 或， 即：； （4）， ， ， ， 即． 【考点二 直接开平方法解一元二次方程的条件】 例2.（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【答案】D 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，由移项得，再两边同时除以，可得，再根据偶次幂的非负性可得异号，解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 【详解】解：， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴为异号， 故选：． 【变式训练】 1.（23-24九年级上·四川成都·期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，根据偶次方的非负性解答即可．熟记偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：D． 2.（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】将常数项移到等号的右边，利用平方的非负性即可进行判断． 【详解】解：将原方程可变形为：， ∵， ∴原方程没有实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况．利用平方的非负性进行判断是解决此题的简便方法． 【考点三 直接开平方法解一元二次方程的复合型】 例3. （23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法．开平方求出的值，然后求出x的值即可． 【详解】解：， ∴， 则或， 解得． 【变式训练】 1.（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴或， 解得，． 2.（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点选择恰当解法是解题的关键．直接用开平方法求解即可． 【详解】解：原式直接开方得，， 或， ∴原方程的解为：，． 【考点四 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程】 例4.（23-24八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤，进行配方，判断即可． 【详解】解：， ∴， ∴； 故选B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）方程经过配方后，得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法将原式进行整理，即可求解， 本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解本题的关键． 【详解】解： 故选：C． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再配方，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【考点五 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 例5. （23-24八年级下·安徽亳州·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项得，再配方得，然后运用完全平方公式以及直接开平方法作答即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得． 整理，得， 开方，得． ∴，． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，利用配方法是解题的关键． 化简后利用配方法解方程． 【详解】解： 化简为：， 因式分解为：， 即， ． 2．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法是解题关键． 【详解】解： 解得：． 3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用适当方法解下列方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ，． 【考点六 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程】 例6.（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）把方程配方成的形式，则m、n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程对方程配方后，即可得出正确选项． 【详解】解：方程整理得：， 配方得：，即 则， 故选A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则的值为（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法进行计算即可求解，熟练掌握配方法是解题关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 2．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【考点七 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 例7. （23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）解方程：（配方法解）． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先变形为，然后利用配方法解方程． 【详解】解： ， ， ， ， 解得，． 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：原方程变形为， ， ， 解得：，． 3．（22-23九年级上·广东中山·期中）用配方法解方程： 【答案】，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．直接根据配方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 配方得，即， ∴， ∴，． 4．（23-24八年级上·上海青浦·期中）配方法解方程： 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．根据配方法的步骤：一除，二移，三配，四解，解方程即可． 【详解】解：     ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点八 用配方法解一元二次方程中错解复原问题】 例8：（23-24九年级下·吉林·阶段练习）阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解： ① ② ③ ，④ (1)上述解答过程中，从第 步开始出现了错误（填序号）； (2)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． （1）观察解答过程可得答案； （2）用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：从②开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9； 故答案为：②； （2）解：移项得：， 配方得：，即， ， 或， ，． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·假期作业）小明解方程的过程如图所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ） 解：……① ……② ……③ ，…④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法解一元二次方程即可确定出错的步骤． 【详解】解：出错的步骤是③， 应该是在②步的基础上，两边同时加上4， 得， 故选：C． 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）老师让同学们解方程，小红同学给出了如下的解答过程： 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，．……第三步 (1)小红同学是用______（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求解的，从第______步开始出现错误． (2)请你用适当的方法解该方程． 【答案】(1)配方法；二 (2)， 【分析】本题考查求解一元二次方程． （1）利用配方法求解方程时，注意变形时要保证等式左右两边的值不变； （2）可使用配方法求解． 【详解】（1）解：由解方程步骤可知：小红同学是用的配方法求解， 第二步等式右边没有加，出现错误 故答案为：配方法，二； （2）解：， 移项得， 配方得，即， 开平方，得， ∴，． 3．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案； 【详解】（1）解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2， 故答案为：二； （2）． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：或， 解得：． 4．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）配方法解一元二次方程． 下面是某同学的解题过程，请认真阅读并完成任务 ． 解：．    第一步 ．    第二部 ．    第三步     第四步     第五步 ，．    第六步 任务一：该同学解答第________步出现了错，错误的原因是________________．做这一步的依据是________________________ 任务二：写出用配方法解方程的正确过程． 【答案】任务一：三；配方错误；等式的基本性质1；任务二：，；过程见解析 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为1，继而边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．熟知配方法解一元二次方程的方法及一般步骤是解题的关键． 【详解】解：任务一：第三步开始出现错误；错误的原因是配方错误；等式的基本性质1； 故答案为：三；配方错误；等式的基本性质1； 任务二：配方法解方程的正确过程如下： ， ， ， ， ， ， 解得：，． 【考点九 配方法的应用】 例8. （23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 【答案】 小 1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法把原代数式变形为，根据得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值1， ∴有最小值，最小值为1， 故答案为：小，1． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3 （2）1， （3），，最小值是10 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可． 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； （3） ， 当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为． ，，最小值是10． 2.（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·广东广州·三模）用配方法解方程时，配方后所得的方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用配方法二次项系数化1，移项，配方，进行作答即可得． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下面是小明解方程的过程： 解：， ， ，. 上述解法用到的方法是（    ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求一个一元二次方程的解，一般用到的方法是公式法、配方法、因式分解法，熟练掌握配方法是解答本题的关键． 配方法一般步骤：先移项，将常数项移到等式右边；再将二次项系数化为；最后配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，故上述解法用到的方法配方法． 【详解】解：由已知条件知， ，将常数项移到等式右边，并且等式两边同时加一次项系数一半的平方， ，利用了完全平方公式， 上述解法用到的方法配方法， 故选B 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）代数式的值恒为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将原式整理为，即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 故选：A． 4．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】与是“同族二次方程”， ， ， ，解得：， ， 当时，能取的最小值是2019， 故选：． 二、填空题 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）一元二次方程配方后可化为 ． 【答案】 【解析】略 6．（23-24九年级上·青海海东·期中）将方程化成的形式，则 ． 【答案】5 【分析】此题考查了解一元二次方程配方法，利用完全平方公式整理后，即可求出与的值． 【详解】解：方程， 变形得：， 配方得：，即， 则，， 故， 故答案为：5． 7．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）将方程用配方法化为，则 ． 【答案】22 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程和求代数式的值．把化成一般式，然后根据题意即可得到和的值，从而可以求得的值． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故答案为：22． 8．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】根据新定义得到，由得到，利用配方法解方程即可．此题考查了解一元二次方程，根据题意得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ， 开平方得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 三、解答题 9．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）， ， ， ， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 10．（23-24九年级上·广东肇庆·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项，配方，直接开平方即可得到答案； （2）移项，配方，直接开平方即可得到答案． 【详解】（1）移项得， 配方得， 开平方得， （2）移项得， 配方得， 开平方得， 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是正确配方． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后进行配方即可求解； （2）由题意易得，则有，然后进行配方即可求解 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， 即， ． （2）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 配方，得， 即． 因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根． 12．（2024·宁夏银川·一模）下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：． 解：，                第一步 ，        第二步 ，                    第三步 ，                        第四步 ，．                第五步 (1)任务一： ①杨老师解方程的方法是 ； A．直接开平方法            B．配方法                C．公式法    D．因式分解法 ②第二步变形的依据是 ； (2)任务二： 解方程：； 【答案】(1)①B；②等式的性质 (2)， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的求解过程是解答的关键． （1）①根据解方程过程可得结论； ②根据等式的性质求解即可； （2）仿照例题中的配方法求解过程求解即可． 【详解】（1）解：①杨老师解方程的方法是配方法， 故选：B； ②第二步变形的依据是等式的性质， 故答案为：等式的性质； （2）解： 解得，． 13．（23-24九年级上·山西临汾·期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得                    第一步 移项，得                                    第二步 配方，得，即            第三步 由此，可得                                第四步 所，                        第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______； ②“第二步”变形的数学依据是______； ③小明同学解题过程中，从第步______开始出现错误，请直接写出正确的结果______； 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：． 【答案】任务一：①转化；完全平方公式；②等式的基本性质；③三；，；任务二：， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键； 任务一：①根据转化思想，完全平方公式解答； ②根据移项的依据是等式的性质解答； ③由完全平方公式判断即可解答； 任务二： 根据配方法的基本步骤，由完全平方公式进行计算． 【详解】解：任务一：①由题意得，此过程所体现的数学思想是转化：其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为；转化；完全平方公式； ②“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案网诶；等式的基本性质 ③观察可知，小明是在第三步配方的时候出错， 配方，得，即， 由此，可得， ，， 故答案为：三；，； 任务二： 解： ， ， ， ， ， 或， ，。 14．（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)4 (2)4 (3)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了配方法的应用： （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可； 熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是4． （2）， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值是4． （3）设，则， 由题意，得花园的面积是， ， ， 的最大值是50，此时，，符合题意， 则当时，花园的面积最大，最大面积是． 15．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值是7 (3)， 【分析】本题考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式． （1）利用配方法，把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式，再利用平方差公式进行分解因式即可； （2）利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次方的非负性，求出答案即可； （3）利用分组法把等式的左边分解因式，然后根据偶次方非负性，列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， 当时，多项式有最大值，最大值是7； （3）解：， ， ， ，， 解得，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$