专题1.1 一元二次方程（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题1.1 一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程】 1 【考点二 利用一元二次方程的定义求参数】 3 【考点三 一元二次方程的一般形式】 4 【考点四 一元二次方程的解求参数的值】 5 【考点五 一元二次方程的解求代数式的值】 6 【考点六 一元二次方程的解的估算】 7 【过关检测】 9 【典型例题】 【考点一 利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程】 例1．（23-24八年级下·山东烟台·阶段练习）下面关于x的方程中：，，，，，，其中一元二次方程的个数为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）下列方程中是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）下列方程中：①；②；③；④，其中是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点二 利用一元二次方程的定义求参数】 例2.（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）若是一元二次方程，则m的值是 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 2．（23-24九年级上·河南郑州·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 【考点三 一元二次方程的一般形式】 例3. （23-24九年级下·新疆喀什·期末）将一元二次方程化成一般形式是 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山东济宁·期中）将一元二次方程化成一 般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ． 2．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）一元二次方程的一般形式为 ，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【考点四 一元二次方程的解求参数的值】 例4. （2024·江苏南京·二模）若关于的方程有一个根为2，则的值为 ． 【变式训练】 1．（2024·广东清远·二模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 2．（2024·江苏镇江·一模）已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则 ． 【考点五 一元二次方程的解求代数式的值】 例5. （23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是方程的一个根，则的值为 ． 【变式训练】 1．（2024·广东韶关·二模）若是方程的根，则的值是 ． 2．（2024·重庆·一模）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 3.（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为 【考点六 一元二次方程的解的估算】 例6. （23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，依据下表，它的一个解的范围是（    ） A． B． C． D．不确定 2.（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）在一元二次方程中，一次项系数是（    ） A．1 B．0 C． D． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ） A．5 B．3 C． D． 5．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 二、填空题 6．（23-24八年级下·广西崇左·期中）把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 7．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 8．（23-24八年级下·安徽六安·期末）若为方程的根，则多项式的值为 ． 9．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 10．（2023·江苏常州·模拟预测）若是方程的解，则的值为 ． 11．（2024八年级下·浙江·专题练习）若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ． 三、解答题 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 13．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 14．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 15．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？ 16．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 17．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 18．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程】 1 【考点二 利用一元二次方程的定义求参数】 3 【考点三 一元二次方程的一般形式】 4 【考点四 一元二次方程的解求参数的值】 5 【考点五 一元二次方程的解求代数式的值】 6 【考点六 一元二次方程的解的估算】 7 【过关检测】 9 【典型例题】 【考点一 利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程】 例1．（23-24八年级下·山东烟台·阶段练习）下面关于x的方程中：，，，，，，其中一元二次方程的个数为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程，据此进行逐一判断，即可求解． 【详解】解：是一元一次方程， 是一元二次方程， 含有两个未知数，是二元二次方程， 分母中含有未知数，不是一元二次方程， 是一元二次方程， 当时才是一元二次方程， 故其中一元二次方程的个数为2个， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）下列方程中是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的定义，依次判断即可，本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是：明确一元二次方程的定义． 【详解】 解：、是二元二次方程，不是一元二次方程，不符合题意； 、整理为，是关于x的一元二次方程，符合题意； 、当时，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； 、分母上有未知数，是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意， 故选：． 2．（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）下列方程中：①；②；③；④，其中是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，逐个判断即可．注意将各个方程进行整理化简后为一般式后，再去进行判断． 【详解】解：①，是一元二次方程，符合题意； ②整理为：，是一元二次方程，符合题意； ③不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； ④含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 综上：①②是一元二次方程，共2个， 故选：B． 【考点二 利用一元二次方程的定义求参数】 例2.（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）若是一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得：． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程”即可得． 【详解】解：由题意得：，， 解得，， 故， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·河南郑州·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，绝对值的方程求解，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，得到且进行求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得：， 故答案为：． 【考点三 一元二次方程的一般形式】 例3. （23-24九年级下·新疆喀什·期末）将一元二次方程化成一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式， ，根据题意移项，即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山东济宁·期中）将一元二次方程化成一 般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式：的三项系数分别为是解题的关键． 一般形式：的二次项系数，一次项系数，常数项分别为，根据定义解答即可． 【详解】解： 移项得： 二次项的系数为，一次项系数为； 故答案为：， 2．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）一元二次方程的一般形式为 ，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数且），其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项，a为二次项系数，b为一次项系数，据此可得答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为， ∴二次项为，一次项系数为，常数项为， 故答案为：；；；． 【考点四 一元二次方程的解求参数的值】 例4. （2024·江苏南京·二模）若关于的方程有一个根为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．先把方程的一个根代入方程中，得到关于的一元一次方程，再求出的值即可． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·广东清远·二模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：1． 2．（2024·江苏镇江·一模）已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键． 将代入方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是3， ∴， 解得：； 故答案为：． 【考点五 一元二次方程的解求代数式的值】 例5. （23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 【变式训练】 1．（2024·广东韶关·二模）若是方程的根，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，解题的关键是熟练运用整体代入思想． 根据一元二次方程的根的定义，将代入，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：1． 2．（2024·重庆·一模）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入方程得，再将代入变形后的式子进行化简求值即可． 【详解】解：根据题意得：， ． 故答案为：9． 3.（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】∵为方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 【考点六 一元二次方程的解的估算】 例6. （23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是 【详解】由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为 故选 【变式训练】 1.（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，依据下表，它的一个解的范围是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的估算，由表格可知，的值随着的增大而增大，那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，的值随着的增大而增大， 当时，， 当时，， 那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0， ∴方程的一个解的范围为． 故选：B． 2.（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）在一元二次方程中，一次项系数是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式，，是常数且中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：方程的一次项为， 一次项系数为． 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可． 【详解】A．，未知数的最高次数是1 ，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； B．符合一元二次方程定义，是一元二次方程； C．，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； D．化简为，不含二次项，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； 故选：B． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，将代入原方程计算即可得到答案． 【详解】解：∵0是方程的根， ∴， ∴， 故选：C． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式，进而求出a的值，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1， ， 解得：， ， 则该方程中的一次项系数为5， 故选A． 5．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则一元二次方程可化为， ， 关于x的一元二次方程有一根为， 一元二次方程有一个根为， 则，即， 一元二次方程必有一根为2025． 故选：B． 二、填空题 6．（23-24八年级下·广西崇左·期中）把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化． 首先根据完全平方公式进行计算，把方程变形为一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【详解】解：方程 去括号得：， 即， 移项合并同类项得：， 即可化成， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·安徽六安·期末）若为方程的根，则多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得出，整体代入即可求解． 【详解】解：∵为方程的根， ∴即， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 10．（2023·江苏常州·模拟预测）若是方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及求代数式的值，先把代入得，然后利用整体代入求值即可，正确理解一元二次方程的解，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴原式， 故答案为：． 11．（2024八年级下·浙江·专题练习）若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．设是方程的一个根．根据方程解的意义知，既满足方程，也满足方程，将代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可． 【详解】解：设是方程的一个根，则，所以． 由题意，也是方程的根，所以， 把代入此式，得，整理得． 从而可知：方程的两根也是方程的根， 这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程， 从而有（其中为常数）， 所以，． 因此，， 故答案为：． 三、解答题 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 【答案】1和3 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，逐一把数据代入方程进行检验即可． 【详解】解：当时，左边12． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边， ∵左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 综上可知，1和3是一元一次方程的根． 13．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要查了一元二次方程的定义．根据“含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程式是一元二次方程”，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 14．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为 (2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0 (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键； （1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； 【详解】（1）解： 移项，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． （2）， 去括号，得； 移项、合并同类项，得， 整理，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0． （3） 移项、合并同类项，得． 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 15．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）由题意，得解得． （2）由题意，得，∴． 16．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，先根据是一元二次方程的一个根得出，再将式子化简为，整体代入进行计算即可得出答案． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． 17．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 18．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积． 【答案】(1)是勾系一元二次方程； (2)2． 【分析】（1）根据定义，把方程变形为，得到，满足，判断即可． （2）根据方程根的定义，新定义，完全平方公式，变形计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟练掌握定义，定理，公式是解题的关键． 【详解】（1）根据定义，方程变形为， 得到， 且， 故方程是否为“勾系一元二次方程”． （2）∵是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴， ∴， ∵四边形的周长是12， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 故的面积为2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$