第二章- 相交线与平行线——两条直线的位置关系与探索平行的条件 讲义 2023—2024学年北师大版数学七年级下册

专题05 两条直线的位置关系 【知识导图】 【基础巩固】 考点一：对顶角、邻补角、互余、互补 1. 在同一平面内，两条直线的位置关系有 和 两种． 相交线的定义：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线． 2. 对顶角 两个角有一个公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角． 如图和是对顶角；和 是对顶角 对顶角的性质：对顶角 ． 注意： ①形成对顶角的前提条件是两条直线相交。对顶角不仅反映了角的数量关系，还反映了角的位置关系； ②对顶角必须具备两个条件：有公共顶点；两边互为反向延长线． ③对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角． 3. 邻补角 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图，和有公共顶点，有一条公共边，与互为反向延长线，所以和互为邻补角； 4. 余角和补角 （1）定义： 如果 的和是 ，那么称这两个角互为补角． 如果 的和是 ，那么称这两个角互为余角． （2）性质： 同角或等角的补角 ，同角或等角的余角 ． 【习题练习】 1. 下列四个图形中，与是对顶角的是　　 A． B． C． D． 2. 如图，直线与相交于点，为的角平分线，若，则的度数为 ． 第2题图 第3题图 3. 如图，直线于点，为过点的一条直线，则与的关系中一定成立的是　　 A．互为邻补角 B．互为补角 C．互为对顶角 D．互为余角 考点二：垂直、垂线段最短 1. 垂直：两条直线相交成四个角，如果有一个角是 ，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 ． 如图，直线与互相垂直，记作或（），读作“垂直于”，垂足为； 注意：两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况． 2. 垂线的性质 平面内， 有且只有 直线与已知直线垂直． 直线 一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段 ． 直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离． 注意： ①画已知直线的垂线可以画出无数条，但过一点画已知直线的垂线，只能画出一条； ②必须强调“在同一平面内”，否则，在空间里，经过一点与已知直线垂直的直线有无数条； ③点到直线的距离，一定是线段的长度，不是线段． 【习题练习】 1. 若点到直线的距离为，点到直线的距离为，则线段的长度为　　 A． B． C．或 D．至少 2. 能解释：“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”，这实际问题的数学知识是　　 A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3. 如图，，，已知，那么的大小是 ． 第3题图 第4题图 4.如图，，，点是线段上的动点，则、两点之间的距离不可能是　　 A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5 5.如图，直线与相交于点，． （1）如图1，若平分，求的度数； （2）如图2，若，且平分， 求的度数． 专题06 探索直线平行的条件 【知识导图】 【基础巩固】 考点一：三线八角 概念：两条直线被第三条直线所截形成八个角． 如图，两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，形成八角，简称“三线八角”． ①同位角： 同位角4对，和，和，和，和，每一对角分别在直线、的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角；“F”型同位角． ②内错角： 内错角2对，和，和，每一对角都在直线、之间，并且分别在截线两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角；“Z”型内错角． ③同旁内角： 同旁内角2对，和，和，每一对角都在直线、之间，并且都在截线同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角；“U”型同旁内角． 注意： ①这三类角讲的都是位置关系，而不是大小关系； ②这三类角都是成对出现的，每对角都没有公共顶点，但有一条边落在同一条直线上． 【习题练习】 1.下列图中，与是同位角的是　　 A． B． C． D． 2. 如图，和不是同旁内角的是　　 A． B． C． D． 3. 如图，的内错角是 ． 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，与 是同旁内角的角有 个. 5. 如图，能与∠1构成同位角的有 个，内错角有 个，同旁内角有 个. 考点二：直线平行的条件 1.平行公理及推论 公理：过直线 一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：平行于同一条直线的两条直线平行． 2.判定两直线平行的方法 （1）同位角 ，两直线平行 （2）内错角 ，两直线平行 （3）同旁内角 ，两直线平行 （4）平行于同一直线的两直线平行 几何语言： （1） （ 相等，两直线平行） （2） （ 相等，两直线平行） （3） （ 互补，两直线平行） 【习题练习】 1.如图，已知：，那么下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 第1题图 第2题图 第3题图 2. 如图，能判定的条件是　　 A． B． C． D． 3．如图，下列判断正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4. 下列说法：①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线； ②同旁内角相等，两直线平行； ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；④过一点，有且只有一条直线平行于已知直线． 其中正确的有 ． 5．如图，在平移三角尺画平行线的过程中，理由是　　 A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 第5题图 第6题图 6．如图，点在射线上，要，只需　　 A． B． C． D． 【强化提升】 一、选择题 1. 如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是　 　 A． B． C． D． 第1题图 第2题图 第3题图 2．如图，下列条件中，能判定的是　 　 A． B． C． D． 3. 将一副三角板按如图所示方式摆放，使得，则等于（ ） A． B． C． D． 二、填空题 1.如图，如果，，那么的同位角等于　 　，的内错角等于　 　，的同旁内角等于　 　． 第1题图 第2题图 2. 如图，若，则　　　　；根据　 　． 3. 如图，，请添加一个条件，使得，则符合要求的其中一个条件可以是　 　． 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图所示，∠1＝70°，有下列结论：①若∠2＝70°，则AB∥CD；②若∠5＝70°，则AB∥CD；③若∠3＝110°，则AB∥CD；④若∠4＝110°，则AB∥CD．其中正确的有　 　．（填序号） 5.如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的有　 　．（填序号） 三、解答题 6. 按要求完成下列证明： 已知：如图，在中，于点，是上一点，且． 求证：． 证明：（已知）， 　　　　 ． （已知）， 　　　 　． 　 　． 7.如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，若∠C=50°，∠BDE=60°，∠ADC=70°．求证：DE∥AC． 8.如图所示，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，�且∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 两条直线的位置关系 【知识导图】 【基础巩固】 考点一：对顶角、邻补角、互余、互补 1. 在同一平面内，两条直线的位置关系有 平行 和 相交 两种． 相交线的定义：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线． 2. 对顶角 两个角有一个公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角． 如图和是对顶角；和 是对顶角 对顶角的性质：对顶角 相等 ． 注意： ①形成对顶角的前提条件是两条直线相交。对顶角不仅反映了角的数量关系，还反映了角的位置关系； ②对顶角必须具备两个条件：有公共顶点；两边互为反向延长线． ③对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角． 3. 邻补角 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图，和有公共顶点，有一条公共边，与互为反向延长线，所以和互为邻补角； 4. 余角和补角 （1）定义： 如果 两个角 的和是 180° ，那么称这两个角互为补角． 如果 两个角 的和是 90° ，那么称这两个角互为余角． （2）性质： 同角或等角的补角 相等 ，同角或等角的余角 相等 ． 【习题练习】 1. 下列四个图形中，与是对顶角的是　C　 A． B． C． D． 2. 如图，直线与相交于点，为的角平分线，若，则的度数为 27°． 第2题图 第3题图 3. 如图，直线于点，为过点的一条直线，则与的关系中一定成立的是　D　 A．互为邻补角 B．互为补角 C．互为对顶角 D．互为余角 考点二：垂直、垂线段最短 1. 垂直：两条直线相交成四个角，如果有一个角是 直角 ，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线 ，它们的交点叫做 垂足 ． 如图，直线与互相垂直，记作或（），读作“垂直于”，垂足为； 注意：两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况． 2. 垂线的性质 平面内， 过一点 有且只有 一条 直线与已知直线垂直． 直线 外 一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段 最短 ． 直线外一点到这条直线的 垂线段的长度 ，叫做点到直线的距离． 注意： ①画已知直线的垂线可以画出无数条，但过一点画已知直线的垂线，只能画出一条； ②必须强调“在同一平面内”，否则，在空间里，经过一点与已知直线垂直的直线有无数条； ③点到直线的距离，一定是线段的长度，不是线段． 【习题练习】 1. 若点到直线的距离为，点到直线的距离为，则线段的长度为　D　 A． B． C．或 D．至少 2. 能解释：“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”，这实际问题的数学知识是　B　 A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3. 如图，，，已知，那么的大小是 45° ． 第3题图 第4题图 4.如图，，，点是线段上的动点，则、两点之间的距离不可能是　A　 A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5 5.如图，直线与相交于点，． （1）如图1，若平分，求的度数； （2）如图2，若，且平分， 求的度数． 解：（1）∵∠AOM =90°，OC平分∠AOM，∴∠AOC=∠AOM=×90°= 45°，∵∠AOC+∠AOD=180°， ∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°，即∠AOD的度数为135°。 （2） ∵，∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，∴∠CON=∠COB-∠BON=4x°-x°=3x°， ∵平分，∴∠COM=∠MON=∠CON=x°，∵∠BOM=x°+x°=90°，∴x=36， ∴∠MON=x°=×36°=54°，即∠MON的度数为54°。 专题06 探索直线平行的条件 【知识导图】 【基础巩固】 考点一：三线八角 概念：两条直线被第三条直线所截形成八个角． 如图，两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，形成八角，简称“三线八角”． ①同位角： 同位角4对，和，和，和，和，每一对角分别在直线、的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角；“F”型同位角． ②内错角： 内错角2对，和，和，每一对角都在直线、之间，并且分别在截线两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角；“Z”型内错角． ③同旁内角： 同旁内角2对，和，和，每一对角都在直线、之间，并且都在截线同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角；“U”型同旁内角． 注意： ①这三类角讲的都是位置关系，而不是大小关系； ②这三类角都是成对出现的，每对角都没有公共顶点，但有一条边落在同一条直线上． 【习题练习】 1.下列图中，与是同位角的是　B　 A． B． C． D． 2. 如图，和不是同旁内角的是　D　 A． B． C． D． 3. 如图，的内错角是 ∠4 ． 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，与 是同旁内角的角有 3 个. 5. 如图，能与∠1构成同位角的有 3 个，内错角有 2 个，同旁内角有 2 个. 考点二：直线平行的条件 1.平行公理及推论 公理：过直线 外 一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：平行于同一条直线的两条直线平行． 2.判定两直线平行的方法 （1）同位角 相等 ，两直线平行 （2）内错角 相等 ，两直线平行 （3）同旁内角 互补 ，两直线平行 （4）平行于同一直线的两直线平行 几何语言： （1） （ 同位角 相等，两直线平行） （2） （ 内错角 相等，两直线平行） （3） （ 同旁内角 互补，两直线平行） 【习题练习】 1.如图，已知：，那么下列结论正确的是　B　 A． B． C． D． 第1题图 第2题图 第3题图 2. 如图，能判定的条件是　A　 A． B． C． D． 3．如图，下列判断正确的是　A　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4. 下列说法：①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线； ②同旁内角相等，两直线平行； ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；④过一点，有且只有一条直线平行于已知直线． 其中正确的有 ③ ． 5．如图，在平移三角尺画平行线的过程中，理由是　C　 A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 第5题图 第6题图 6．如图，点在射线上，要，只需　A　 A． B． C． D． 【强化提升】 一、选择题 1. 如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是　B　 A． B． C． D． 第1题图 第2题图 第3题图 2．如图，下列条件中，能判定的是 C　 A． B． C． D． 3. 将一副三角板按如图所示方式摆放，使得，则等于（ A ） A． B． C． D． 二、填空题 1.如图，如果，，那么的同位角等于　80° ，的内错角等于　 80°，的同旁内角等于　100° ． 第1题图 第2题图 2. 如图，若，则　AB　　CD　；根据　 内错角相等，两直线平行 　． 3. 如图，，请添加一个条件，使得，则符合要求的其中一个条件可以是　∠FEB= 120° ． 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图所示，∠1＝70°，有下列结论：①若∠2＝70°，则AB∥CD；②若∠5＝70°，则AB∥CD；③若∠3＝110°，则AB∥CD；④若∠4＝110°，则AB∥CD．其中正确的有　 ②④ 　．（填序号） 5.如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的有　 ①②④ 　．（填序号） 三、解答题 6. 按要求完成下列证明： 已知：如图，在中，于点，是上一点，且． 求证：． 证明：（已知）， ∠EDC 　垂直定义 ． （已知）， ∠EDC 　同角的余角相等 　． 　内错角相等两直线平行　． 7.如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，若∠C=50°，∠BDE=60°，∠ADC=70°．求证：DE∥AC． 证明：∵∠BDE=60°，∠ADC=70° ∴∠CDE=180°-60°-70°=50° ∵∠C=50° ∴∠C=∠CDE ∴DE∥AC 8.如图所示，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，�且∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？并说明理由． 解：AB∥CD，理由如下： ∵BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线 ∴∠1=∠ABD，∠2=∠BDC ∵∠1+∠2=90° ∴∠ABD+∠BDC=90° ∴∠ABD+∠BDC=180° ∴AB∥CD 1 学科网（北京）股份有限公司 $$