暑假结业测试卷 （考试范围：第21-22章）（提高卷）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（沪科版）

暑假结业测试卷（提高卷） 考试范围：沪科版第21-22章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·浙江台州·期末）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级·全国·课后作业）下列四组线段中，不是成比例线段的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象经过两点，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）下表是用计算器探索函数时所得的数值；则方程的一个解x的取值范围为（    ） x 0 0.25 0.5 0.75 1 y 1.31 3 A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·福建龙岩·阶段练习）函数的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程的根的情况是（    ）    A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 7．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）图1是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图2所示，此时液面（    ）         图1           图2 A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图， 与是关于轴上一点的位似图形，若，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东济宁·一模）如图，抛物线与交于点，且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论： ①无论x取何值，总是非负数； ②可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先减小后增大； ④四边形一定为正方形． 其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线经过点，那么 ． 12．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图， 抛物线 与直线交于两点， 则不等式 的解集是 ． 13．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，点均在反比例函数的图象上，轴于点轴于点，连接，若，则的面积为 ． 14．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O，E的对应点分别是点C，A．若点A为的中点，且，则k的值为 ． 15．（2023·山东德州·一模）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ． 16．（2024·吉林长春·模拟预测）随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置越来越多的下沉式立交桥.下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉武立交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点．某下沉式立交桥的主路桥截面是抛物线形，如图以主路桥面最低点O为原点，以原点所在的水平直线为x轴建立平面直角坐标系．已知主路桥面跨径，主路桥面的最低点O到的距离为．由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象，在一次暴雨后，桥面有积水且积水跨径为，已知普通轿车的安全涉水深度大于，若一位普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立交桥安全通过，则积水跨径的长度不能超过 米． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（22-23九年级上·浙江衢州·期中）求抛物线与轴的交点坐标． 18．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段，线段x是线段a、d的比例中项，求x． 19．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 20．（22-23九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图． x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 ___ ___ ___ 0 …    21．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从点A，B同时出发； (1)经过几秒的面积等于？ (2)在运动过程中，的面积有最 值（填“大”或“小”），是 ． 22．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）“人间烟火气，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．青年创业者小王以每件元的价格批发一种玩具，经过一段时间的销售发现，该玩具的每天销售额y（元）与销售单价x（元）之间满足我们学过的某种函数关系，其中部分对应数据如下表： 销售单价x/元 …… …… 每天销售额y/元 …… …… (1)求y与x之间的函数关系式，并指出销售量随销售单价作怎样的变化； (2)小王认为，当销售额最大时，利润有最大值，请你通过计算判断小王的说法是否正确． 23．（2024·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于． (1)求m，n的值及反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移t个单位，若平移后的直线与反比例函数的图象有唯一交点，求t的值． 24．（2024·陕西榆林·一模）龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神异动物，是中华民族最具代表性的传统文化之一．恰逢龙年，政府部门在某广场上做了一个龙形雕像．某数学兴趣小组想要利用所学知识测量该雕像的高度．如图雕像的高度为，在地面上取两点，分别竖立两根高均为的标杆和，两标杆间隔为，并且雕像，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，三点也在一条直线上．已知在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该龙形雕像的高度． 25．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C． (1)（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为________； ②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为________； ②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示） (3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，若轴且，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假结业测试卷（提高卷） 考试范围：沪科版第21-22章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·浙江台州·期末）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的识别，形如的函数为二次函数，据此即可求解． 【详解】解：由二次函数的定义可知，C为二次函数， 故选：C 2．（22-23九年级·全国·课后作业）下列四组线段中，不是成比例线段的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的定义逐项分析即可. 【详解】解：A.∵，故选项A中的线段成比例； B.∵，故选项B中的线段成比例； C.∵，故选项C中的线段不成比例； D.∵，故选项D中的线段成比例； 故选：C． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象经过两点，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据性质即可作答． 【详解】关于轴的对称点为． 中二次项系数 当时，值随值的增大而增大 和的横坐标 故选：C． 4．（2024·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知，然后问题可求解． 【详解】解：由图象可知：， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限； 故选C． 5．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）下表是用计算器探索函数时所得的数值；则方程的一个解x的取值范围为（    ） x 0 0.25 0.5 0.75 1 y 1.31 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 根据表格中的数据，可以发现一元二次方程的一个解x的范围． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口方向向上， ∵对称轴， 时y随x的增大而增大， 当时，，当时，， 方程的一个正根：， 故选：C． 6．（22-23九年级上·福建龙岩·阶段练习）函数的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程的根的情况是（    ）    A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据图象可得出函数与x轴有2个交点，且都位于x轴右侧，即可得出一元二次方程有两个不相等的正实数根． 【详解】解：由图可知函数与x轴有2个交点，且都位于x轴右侧， ∴其相关一元二次方程有两个不相等的正实数根． 故选A． 【点睛】本题考查二次函数与其相关一元二次方程的关系．掌握函数的图象与x轴交点的横坐标即为其对应一元二次方程的解是解题关键． 7．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）图1是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图2所示，此时液面（    ）         图1           图2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出截面图，过点作、的垂线，由，相似比等于对应高之比，列出等量关系式，，即可求解， 本题考查了，相似三角形的实际应用，求相似比，解题的关键是：将实际问题转化为数学模型． 【详解】解：如图所示为沙漏横截面，过点作，交于点，交于点，    由题意可知：，，， ∵， ∴、分别是、边上的高， ∵， ∴， ∴，即：，解得：， 故选：A． 8．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图， 与是关于轴上一点的位似图形，若，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键，直接利用位似图形的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵对应点和的坐标分别为，， ∴，，，，， 由题意可得：， ∴， ∴， 解得：， ∴位似中心到点的距离是1， ∴位似中心的坐标为， 故选：B． 9．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设抛物线解析式为，由已知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题，合理建立坐标系是解本题的关键． 【详解】建立如图所示坐标系，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为 抛物线过， 把代入 ， 两壁灯之间的水平距离为， 故选：C． 10．（2024·山东济宁·一模）如图，抛物线与交于点，且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论： ①无论x取何值，总是非负数； ②可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先减小后增大； ④四边形一定为正方形． 其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①由非负数的性质，即可证得，可得无论x取何值，总是负数； ②由抛物线与交于点，可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；； ③由，可得随着x的增大，的值减小； ④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴无论x取何值，总是负数；故①错误； ②∵抛物线与交于点， ∴当时，， 即， 解得：； ∴， ∴可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；故②正确； ③∵， ∴随着x的增大，的值减小；故③错误； ④设与交于点， ∵当时，， 解得：或， ∴点， 当时，， 解得：或， ∴点， ∴，， 当时，， ， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形．故④正确． 综上所述：正确的是②④．共2个； 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线经过点，那么 ． 【答案】 【分析】将点，代入抛物线，即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 12．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图， 抛物线 与直线交于两点， 则不等式 的解集是 ． 【答案】/ 【详解】解：解：观察图象可知当和时， 在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 【分析】本题主要考查了抛物线与一次函数图象的交点求不等式的解集，确定图象之间的位置关系可得出函数值的大小． 13．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，点均在反比例函数的图象上，轴于点轴于点，连接，若，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】由可得到的值为8，由方得到，再结合轴，点B在反比例函数的图象上，可得到，则． 本题考查了反比例函数的面积计算，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由，得到的值为8，由，得到， ∵轴，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：3． 14．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O，E的对应点分别是点C，A．若点A为的中点，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】连接，设，由对称的性质知，，利用相似三角形的判定和性质求得，则，根据以及反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：连接，    设对称轴与x轴交于点G， ∵与关于对称轴， ∴，，， ∵点A为的中点， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、相似三角形的判定和性质、反比例函数的定义等内容，解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 15．（2023·山东德州·一模）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了位似变换，求出位似比，根据位似比即为两个位似三角形的周长比即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，， ∴和的位似比， ∴与的周长比是， 故答案为：． 16．（2024·吉林长春·模拟预测）随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置越来越多的下沉式立交桥.下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉武立交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点．某下沉式立交桥的主路桥截面是抛物线形，如图以主路桥面最低点O为原点，以原点所在的水平直线为x轴建立平面直角坐标系．已知主路桥面跨径，主路桥面的最低点O到的距离为．由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象，在一次暴雨后，桥面有积水且积水跨径为，已知普通轿车的安全涉水深度大于，若一位普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立交桥安全通过，则积水跨径的长度不能超过 米． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，根据题意得出点的坐标为，设抛物线的表达式为，待定系数法求解析式，再令，求得当普通轿车的安全涉水深度等于时，求得点、点的坐标即可求解；理解题意是解决问题的关键． 【详解】解： ∵，主路桥面的最低点到的距离为， ∴点的坐标为， 设抛物线的表达式为，把点代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式为． 令，则， 解得：，， 即：当普通轿车的安全涉水深度等于时，，，此时， ∴要想普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立交桥安全通过，则积水跨径的长度不能超过米， 故答案为：． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（22-23九年级上·浙江衢州·期中）求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】 【分析】令，求解y的值即可． 【详解】解：当时， ∴抛物线 与y轴的交点坐标是：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与y轴的交点坐标，熟记y轴上的点的横坐标为0是解本题的关键． 18．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段，线段x是线段a、d的比例中项，求x． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出可以使计算更加简便． （1）设，然后用k表示出，再代入求解得到k，即可得到的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段x的长． 【详解】（1）解：设， 则，，， 所以， 解得， 所以，，； （2）解：∵线段， ∴． ∵线段x是线段a、d的比例中项， ∴， ∴线段（，故舍去） 19．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 设交点式，然后把C点坐标代入求a即可； 【详解】解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为：， 代入得：， 解得：， 抛物线的解析式：． 20．（22-23九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图． x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 ___ ___ ___ 0 …    【答案】、、，图象见解析． 【分析】将、、分别代入二次函数解析式中，求出对应的y值，再利用描点、连线画出函数图象即可． 【详解】解：填表如下： x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 －3 －4 －3 0 … 描点、连线，如图所示：    【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象，熟练掌握利用描点法画二次函数的图象是解题关键． 21．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从点A，B同时出发； (1)经过几秒的面积等于？ (2)在运动过程中，的面积有最 值（填“大”或“小”），是 ． 【答案】(1)秒或秒后,的面积等于； (2)大；9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用和二次函数及其最值，根据题意，正确表示出线段长度及利用二次函数的性质求出最值，是解答本题的关键． （1）设秒后,的面积等于,分别表示出线段和线段的长，然后根据面积为列出方程求得时间即可； （2）根据，当时，即可取得最大值9． 【详解】（1）解：设秒后,的面积等于,则,,, 根据题意得： ， 解得:或， 答：秒或秒后,的面积等于； （2）解：∵ ， ，开口向下， ∴当时，取得最大值9， ∴经过3秒，的面积最大，最大值是9． 故答案为：大；9． 22．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）“人间烟火气，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．青年创业者小王以每件元的价格批发一种玩具，经过一段时间的销售发现，该玩具的每天销售额y（元）与销售单价x（元）之间满足我们学过的某种函数关系，其中部分对应数据如下表： 销售单价x/元 …… …… 每天销售额y/元 …… …… (1)求y与x之间的函数关系式，并指出销售量随销售单价作怎样的变化； (2)小王认为，当销售额最大时，利润有最大值，请你通过计算判断小王的说法是否正确． 【答案】(1)，销售量随着销售单价的增长而降低，即每长1元，销售量减少2件 (2)错误 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）由表格可知，y是x的二次函数，且顶点坐标为．设表达式为，代入即可求解； （2）设销售该玩具每天获利w元．可得利润与销售单价的函数关系式，即可求解； 【详解】（1）解：由表格可知，y是x的二次函数，且顶点坐标为． 设表达式为，代入， 解得． ∴表达式为，化为一般式为．   ∵销售量为， ∴销售量随着销售单价的增长而降低，即每长1元，销售量减少2件． （2）解：设销售该玩具每天获利w元． 则． ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为200. 而时，销售额有最大值，此时利润为元，小于元． ∴销售额最大时，利润不是最大，小王的说法是错误的． 23．（2024·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于． (1)求m，n的值及反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移t个单位，若平移后的直线与反比例函数的图象有唯一交点，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，代入求出的值，再把点坐标代入反比例函数，求出的值即可； （2）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论． 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入得，，， 解得 将代入，得k＝6，即； （2）解：∵直线向下平移t个单位得新直线， 与联立得， 消y得，化简得 ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴， 解得或， ∵， ∴（舍去）， 即． 24．（2024·陕西榆林·一模）龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神异动物，是中华民族最具代表性的传统文化之一．恰逢龙年，政府部门在某广场上做了一个龙形雕像．某数学兴趣小组想要利用所学知识测量该雕像的高度．如图雕像的高度为，在地面上取两点，分别竖立两根高均为的标杆和，两标杆间隔为，并且雕像，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，三点也在一条直线上．已知在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该龙形雕像的高度． 【答案】该龙形雕像的高度为 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及其性质是解题的关键． 根据题意，可得，，可求出的长，由此即可求解． 【详解】解：由题意得，，，，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，且，， ∴， 解得，则， 则，即， 解得：， 答：该龙形雕像的高度为． 25．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C． (1)（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为________； ②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为________； ②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示） (3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，若轴且，求a的值． 【答案】(1)图见解析，； (2)方案一：①；②；方案二：①；②； (3)a的值为或． 【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可； （2）根据图形写出点或点B的坐标，再代入求解即可； （3）先求得，，的顶点坐标为，再求得顶点距线段的距离为，得到的顶点距线段的距离为，得到的顶点坐标为或，再分类求解即可． 【详解】（1）解：描点，连线，函数图象如图所示， 观察图象知，函数为二次函数， 设抛物线的解析式为， 由题意得， 解得， ∴y与x的关系式为； （2）解：方案一：①∵，， ∴， 此时点的坐标为； 故答案为：； ②由题意得， 解得， 故答案为：； 方案二：①∵C点坐标为，，， ∴， 此时点B的坐标为； 故答案为：； ②由题意得， 解得， 故答案为：； （3）解：根据题意和的对称轴为， 则，，的顶点坐标为， ∴顶点距线段的距离为， ∴的顶点距线段的距离为， ∴的顶点坐标为或， 当的顶点坐标为时，， 将代入得，解得； 当的顶点坐标为时，， 将代入得，解得； 综上，a的值为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$