暑假结业测试卷 （考试范围：第21-22章）（基础卷）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（沪科版）

暑假结业测试卷（基础卷） 考试范围：沪科版第21-22章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点 C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上 4．（2024·山西忻州·三模）0.618是黄金分割率的比值，它被认为是最美的数值．研究发现，当成人的体重（）与身高（）的比达到时，那么这个成人的体重就比较理想．若王老师的身高是，下列选项中，最接近她的理想体重的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·甘肃武威·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为，当时，x的取值范围是（     ）    A．或 B．或 C．或 D．或 6．（23-24九年级上·陕西安康·期中）抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 2 4 … … 1 0 … 由表可知，抛物线与轴的一个交点的坐标是，则抛物线与轴的另一个交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河南濮阳·三模）如图，中，两个顶点在轴的上方，点 的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，若与的位似比是，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（    ） A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5 9．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·四川广元·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）抛物线经过点，．则m n（填“＞”，“=”或“＜”）． 12．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ． 13．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为 米． 14．（2024·广东深圳·三模）如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为 ． 15．（2024·山东青岛·三模）如图，是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于A，B两点 ． ①； ②抛物线与x轴的另一个交点是 ③方程有两个相等的实数根； ④当时，有； ⑤若，且；则． 16．（22-23九年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且知形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是 ．    三、解答题（9小题，共68分） 17．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，取什么值时，与相等？ 18．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）已知是关于的二次函数，试确定的值． 19．（2024·陕西西安·二模）随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上搭建一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离地面1米的墙体A处，另一端固定在离墙体5米的地面上B点处，现以地面和墙体为x轴和y轴建立坐标系，已知大棚的高度y（米）与地面水平距离x（米）之间的关系式用表示．将大棚正面抽象成如图所示图形，已知抛物线对称轴为直线，结合信息回答下列问题： (1)求抛物线的解析式： (2)该农户准备在抛物线上点C（不与A，B重合）处，安装一直角形钢架对大棚进行加固（点D在x轴上，点E在上，且轴，轴），若忽略接口处的材料损耗，使钢架总长度与之和最大，该农户需要准备多少米钢材? 20．（2023·广西南宁·模拟预测）某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 21．（2024·四川资阳·二模）如图，在中，，，点P、Q分别在射线、上（点P不与C，B重合），且保持． (1)若P在线段上，求证：； (2)设、，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围． 22．（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根 (2)写出不等式的解集 (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 23．（23-24九年级上·广东清远·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在给出的网格中画出，并写出点的坐标． (2)若图中每个小方格的面积为1，求出的面积． 24．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于点，．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)将直线沿着y轴向下平移5个单位长度，与x轴、y轴分别交于D、E两点，P是直线上的一动点，求的面积． 25．（2024·河北邯郸·三模）如图1，平面直角坐标系中，有抛物线：．设抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，且． (1)求的值． (2)如图2，将抛物线平移得到抛物线，使过点和，求抛物线的解析式． (3)设（2）中在轴左侧的部分与在轴右侧的部分组成的新图象记为．过点作直线平行于轴，与图象交于两点，如图3． ①过的最高点作直线交于点（点在点左侧），求的值； ②是图象上一个动点，当点与直线的距离小于4时，直接写出点横坐标的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假结业测试卷（基础卷） 考试范围：沪科版第21-22章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题，写出相应的顶点坐标． 根据题目中的抛物线，可以直接写出顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 2．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把解析式化为顶点式，即可得到答案. 【详解】∵ ∴抛物线的顶点坐标是 故选：D 3．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点 C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数与一次函数，二次函数，反比例函数的定义，正确把握它们的区别与联系是解题的关键． 直接利用一次函数，二次函数，反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：A、任何函数都不一定与x轴有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意． B、一次函数，二次函数都与y轴有交点，原说法正确，故此选项符合题意． C、反比例函数与y轴不会有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意． D、原点是坐标轴上的点，原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．（2024·山西忻州·三模）0.618是黄金分割率的比值，它被认为是最美的数值．研究发现，当成人的体重（）与身高（）的比达到时，那么这个成人的体重就比较理想．若王老师的身高是，下列选项中，最接近她的理想体重的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是读懂黄金分割． 根据黄金分割直接列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵王老师的身高是， ∴根据题意得，体重． ∴最接近她的理想体重的是． 故选：B． 5．（2024·甘肃武威·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为，当时，x的取值范围是（     ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．利用数形结合的数学思想，得到一次函数图象不在反比例函数图象下方部分的点的横坐标的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象不在反比例函数图象的下方，即， 所以当时，的取值范围是：或． 故选：C 6．（23-24九年级上·陕西安康·期中）抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 2 4 … … 1 0 … 由表可知，抛物线与轴的一个交点的坐标是，则抛物线与轴的另一个交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线的对称性．根据表格，确定对称轴，再根据对称性求出抛物线与坐标轴的另一个交点坐标即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为：， ∵抛物线与轴的一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标为，即； 故选C． 7．（2024·河南濮阳·三模）如图，中，两个顶点在轴的上方，点 的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，若与的位似比是，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，过点作轴于点，轴于点，根据相似三角形的性质得到，利用相似比即可求解， 正确作出辅助线，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】过点作轴于点，轴于点， 则， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∵点的横坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标是， 故选：． 8．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（    ） A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作，垂足为F，设，证明，有，根据E为的中点，可得，，进而有，，可得，，则有，问题随之得解． 【详解】如图，过点A作，垂足为F， 设，， ∵轴，， ∴轴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 10．（2024·四川广元·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确； 故选：A． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）抛物线经过点，．则m n（填“＞”，“=”或“＜”）． 【答案】 【分析】分别把点和代入得到m、n的值，即可得到答案，熟练掌握抛物线上的点满足函数表达式是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 把代入得， ， ∴， 故答案为： 12．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题抛物线的性质，能判断出抛物线开口向下是解题的关键．由已知条件得抛物线开口向下，得到，即可求出a的取值范围． 【详解】解：抛物线（a为常数）恒过点，且经过了平面直角系的四个象限， 抛物线开口向下， ， 解得：， 故答案：． 13．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为． 【详解】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中：得到：， 解得， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米， 故答案为：26． 14．（2024·广东深圳·三模）如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点的坐标，相似三角形点的判定和性质，过点B作轴于点E，设，则点，进而得，由得，证得，则，，可得点，进而得，则，，再根据的面积为1，得，即，由此解出k即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 设， 点在反比例函数的图象上，且轴于点， 点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， ，， 点在反比例函数的图象上，且轴于点， 点的坐标为， ， ， ， 的面积为1， ， 即， 解得：． 故答案为：． 15．（2024·山东青岛·三模）如图，是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于A，B两点 ． ①； ②抛物线与x轴的另一个交点是 ③方程有两个相等的实数根； ④当时，有； ⑤若，且；则． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，根据二次函数与方程，不等式的关系及函数的图象和性质求解． 【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴为直线， ， ，故①正确； 由抛物线的对称性得：， 抛物线与轴的另一个交点是 ，故②正确； 抛物线的顶点坐标是， 抛物线与直线只有一个交点 方程有两个相等的实数根；故③正确； 由图象得：当时，有；故④正确； ，且； ，故⑤错误， 故答案为：①②③④． 16．（22-23九年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且知形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是 ．    【答案】或/或 【分析】根据位似图形的概念得到矩形矩形，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案． 【详解】解：∵矩形与矩形关于点O位似， ∴矩形矩形， ∵矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的相似比为， ∵， ∴点的坐标为或，即或， 故答案为：或．    【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键．相似图形面积比等于相似比的平方． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，取什么值时，与相等？ 【答案】当为1或4时，与相等 【分析】本题考查了求一次函数与二次函数的交点问题,解一元二次方程，根据题意，列方程，按照因式分解法解一元二次方程即可得到答案，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键 【详解】解：根据题意得：， 整理得：，即，解得：， 当为1或4时，与相等． 18．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）已知是关于的二次函数，试确定的值． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义：最高次数是2，二次项系数不能是0，求出m的值． 【详解】解：根据题意得，，解得，， ∵，即， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是二次函数的定义． 19．（2024·陕西西安·二模）随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上搭建一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离地面1米的墙体A处，另一端固定在离墙体5米的地面上B点处，现以地面和墙体为x轴和y轴建立坐标系，已知大棚的高度y（米）与地面水平距离x（米）之间的关系式用表示．将大棚正面抽象成如图所示图形，已知抛物线对称轴为直线，结合信息回答下列问题： (1)求抛物线的解析式： (2)该农户准备在抛物线上点C（不与A，B重合）处，安装一直角形钢架对大棚进行加固（点D在x轴上，点E在上，且轴，轴），若忽略接口处的材料损耗，使钢架总长度与之和最大，该农户需要准备多少米钢材? 【答案】(1) (2) 【分析】 本题主要考查二次函数的应用，待定系数法求解析式，不仅要求对二次函数的相关性质很熟练，还要结合具体的实际意义解此类题目． （1）根据题意可推出点，将这两点坐标和对称轴为直线代入二次函数表达式即可求得的值； （2）把（1）中解析式通过配方法转化为顶点式，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵由题意知，且抛物线对称轴为直线 根据题意得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点 ，L为钢架的长度， 根据题意得， ∵，对称轴为直线 ∴当时，， 所以该农户最多需要米的钢材． 20．（2023·广西南宁·模拟预测）某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数解析． （1）先用待定系数法求出正比例函数解析式，然后求出，从而得出，再求出反比例函数解析式即可； （2）求出当时，，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：依题意，设的解析式为，将点代入得：， 解得：， ， 当时，，即， ∴， 设双曲线的解析式为，将点代入得：， ； （2）解：不能，理由如下 在中，当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为13小时， ， 第二天早上不能驾车出行． 21．（2024·四川资阳·二模）如图，在中，，，点P、Q分别在射线、上（点P不与C，B重合），且保持． (1)若P在线段上，求证：； (2)设、，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，动点的函数关系式，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用两组对角相等可证； （2）分点P在线段上、在的延长线上两种情况，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵ ，， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ． （2）解：当点P在线段上时， ∵，，，、， ∴，， ∴， 解得； 当点P在的延长线上时，如图2， ∵，，，、， ∴，， ∴， 解得． 22．（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根 (2)写出不等式的解集 (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1或3 (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． （1）看二次函数与x轴交点的横坐标即可； （2）看x轴下方的二次函数的图象相对应的x的范围即可； （3）在对称轴的右侧即为y随x的增大而减小； （4）得到相对应的函数看是怎么平移得到的即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的交点为，， ∴方程的两个根为； （2）∵由图象可知或时，二次函数的图象在x轴下方， ∴不等式的解集为或； （3）∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是； （4）∵由图象可知二次函数图象的顶点坐标为， 当直线在的下方时，一定与抛物线有两个不同的交点， ∴当时，方程有两个不相等的实数根． 23．（23-24九年级上·广东清远·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在给出的网格中画出，并写出点的坐标． (2)若图中每个小方格的面积为1，求出的面积． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【分析】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了三角形的面积． （1）把、、的横纵坐标分别乘以2得到、、的坐标，然后描点即可； （2）先用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积即可计算出的面积． 【详解】（1）解：如图所示，点的坐标为．    （2）的面积． 24．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于点，．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)将直线沿着y轴向下平移5个单位长度，与x轴、y轴分别交于D、E两点，P是直线上的一动点，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3)5 【分析】（1）把点代入反比例函数中， 即可求得，进一步求出点B的坐标，用待定系数法即可求得一次函数的表达式； （2）观察图象，当一次函数图象在反比例函数图象下方时x的取值范围即可； （3）根据的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， 反比例函数的表达式为：； 点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 点 ∵一次函数经过点，， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：根据图象可得，当时，的取值范围是或； （3）解：将直线：沿着y轴向下平移5个单位长度，得到直线， ∴直线的表达式为：， 令 ， 则 ， 令 ，则， ∴，， ∴， ∵点P在直线上， ∴设点， 连接，    ∴ ． 【点睛】本题考查待定系数法，反比例函数与一次函数图象的交点问题，函数与不等式，函数图象的平移，三角形的面积．熟悉数形结合思想，方程思想是解题的关键． 25．（2024·河北邯郸·三模）如图1，平面直角坐标系中，有抛物线：．设抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，且． (1)求的值． (2)如图2，将抛物线平移得到抛物线，使过点和，求抛物线的解析式． (3)设（2）中在轴左侧的部分与在轴右侧的部分组成的新图象记为．过点作直线平行于轴，与图象交于两点，如图3． ①过的最高点作直线交于点（点在点左侧），求的值； ②是图象上一个动点，当点与直线的距离小于4时，直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②，且 【分析】（1）由题意得到，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由平移性质及题中图象可知抛物线过，设抛物线的解析式为，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （3）①根据题意，得到，求解得出，，由两点距离公式求出，代值求解即可得到答案；②利用二次函数图象与性质，根据题意分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 将代入，得； （2）解：由平移性质及题中图象可知抛物线过， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：①由（1）得，抛物线的解析式为， 抛物线顶点， 依题意，过点作直线平行于轴，则直线为；过的最高点作直线，则直线m为， 令，解得或， ∵点在点左侧， ∴，， ∴，， ∴， ②点横坐标的取值范围是，且． 由的图象及直线为可知，当时，，解得或，则， 当点位于点左侧时，， 令，解得或（舍去），此时的取值范围是； 由（2）得抛物线：，可得顶点坐标为，而直线l为，则顶点与直线的距离恰好为4， 当点在之间，且不与顶点重合时，与的距离小于4，此时的取值范围是，且； 当点在之间时，均符合题意，此时的取值范围是； 当点位于点右侧时，， 令，解得或（舍去），此时的取值范围是； 综上，点横坐标的取值范围是，且． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象平移、二次函数图象与性质、两点距离公式等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$