1.2 一元二次方程的解法（第5课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

1.2　一元二次方程的解法（5） 第5课时　一元二次方程根的判别式 学习目标 1．理解一元二次方程根的判别式的意义，会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况； 2．能利用根的判别式求字母的值或取值范围 . 2 知识回顾 公式法解方程的一般步骤是什么？ 一化 二定 三求 四判 五代 一元二次方程的求根公式是什么？ 问题情境 老师写了3个一元二次方程让同学们判断它们根的情况，大家都才解第一个方程呢，小华站起来说他已经都判断出来了，你知道他是如何判断的吗？ (2)x2－2x＋3=0 (1) x2 ＋x－1=0 (3)2x2－2x＋1=0 新知探索 例1 解下列方程： (1) x2 ＋x－1=0 解：(1) ∵a=1、b=1、c=－1， b2-4ac=12-4×1×(－1)=5， ∴ . ∴. (2) x2－2x＋3=0 (2) ∵a=1、b= －2、c=3， b2-4ac=(－2 )2-4×1×3=0， ∴ = ∴ (3) 2x2－2x＋1=0 新知探索 例1 解下列方程： (3) ∵a=2、b= －2、c=1， b2-4ac=(－2 )2-4×2×1=-4＜0， ∴这个方程没有实数根. 比较上面3个方程的解的情况，请你思考方程解的情况与b2－4ac的值有何联系？ 观察与思考 方程(1)_________________实数根，此时b2－4ac______0； 方程(2)_______________实数根，此时b2－4ac____0； 方程(3)_________实数根，此时b2－4ac_______0. 有两个不相等的 有两个相等的 没有 ＞ ＝ ＜ 7 获取新知 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况如下： (1) 当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根. (2) 当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根. (3) 当b2－4ac＜0时，方程没有实数根. 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式. 思考与探索 当b2－4ac＞0时， ， 即 . 一元二次方程的求根公式 因为a≠0，所以 4a2>0. ，. 所以方程有两个不相等的实数根. 9 思考与探索 当b2－4ac0时， =0， 因为a≠0，所以 4a2>0. 即 . 所以方程有两个相等的实数根. 10 思考与探索 当b2－4ac＜0时， <0， 因为a≠0，所以 4a2>0. 因为一个完全平方式不可能是负值， 所以方程没有实数根. 11 归纳总结 根据b2－4ac的值的符号，可以确定一元二次方程根的情况． 反过来，也可由一元二次方程根的情况来确定b2－4ac的值的符号． b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根； b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根； b2－4ac＜0⇔方程没有实数根. 例题讲解 例1 不解方程，判别下列方程根的情况． (1)x2+5x+6=0； 解：(1) ∵a=1，b=5，c=6， b2－4ac=52－4×1×6=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根. (2)2x2+4x－3=2x－4. 求判别式时，应该先将方程化为一般形式. (2)把方程化成一般形式，得 2x2+2x+1=0. ∵a=2，b=2，c=1， b2－4ac=22－4×2×1=－4＜0， ∴方程没有实数根. 13 利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的步骤是什么？ 讨论与交流 步骤 方 法 一化 化成一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) 二定 确定系数a、b、c的值（注意符号） 三算 求出b2－4ac的值 四判 判断根的情况 14 解：(1)∵关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有两个不相等的实数根， ∴解得k＜1且k≠0. ∴当k＜1且k≠0时，方程有两个不相等的实数根. 例2 已知关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0，则当k为何值时，这个方程： (1)有两个不相等的实数根？ 例题讲解 15 例2 已知关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0，则当k为何值时，这个方程： (2)有两个相等的实数根？ 例题讲解 (2)∵关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有两个相等的实数根， ∴解得k=1. ∴当k=1时，方程有两个相等的实数根. 16 例2 已知关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0，则当k为何值时，这个方程： (3)没有实数根？ 例题讲解 (3)∵关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0没有实数根， ∴解得k＞1. ∴当k＞1时，方程没有实数根. 17 新知巩固 1. 不解方程，判别下列方程根的情况． (1) x2＋3x－1＝0； (2) x2－6x+5＝0； 解：(1) ∵ a=1，b=3，c=－1， b2－4ac=32－4×1×(－1)=13>0， ∴ 方程有两个不相等的实数根 . (2) ∵ a=1，b=－6，c=5， b2－4ac=(－6)2－4×1×5=16>0， ∴ 方程有两个不相等的实数根 . 18 新知巩固 1. 不解方程，判别下列方程根的情况． (3)2y2－3y＋4＝0； (4) x2+5＝2 x ． (3) ∵ a=2，b=－3，c=4， b2－4ac=(－3)2－4×2×4=－230， ∴ 方程没有实数根. (4) 把方程化成一般形式，得 ∵ a=1，b=－，c=5， b2－4ac=(－)2－4×1×5=0， ∴ 方程有两个相等实数根. 19 新知巩固 2. k取什么值时，关于x的一元二次方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根？求此时方程的根. ∴(－k)2－4×1×4=0，解得k=±4. 解：∵ 关于x的一元二次方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根， ∴当k=±4时，方程有两个相等的实数根. 当k=4时，x2−4x+4=0，解这个方程得 x1 =x2=2； 当k=−4时，x2+4x+4=0，解这个方程得 x1=x2 =2. 20 思维提升 例3 已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0. (1)求证：该方程总有两个实数根； 解：(1)∵ a＝1，b＝－4m，c＝3m2， ∴ b2－4ac＝(－4m)2－4×1×3m2＝4m2. ∵ 无论m取何值，m2≥0，即4m2≥0， ∴ 该方程总有两个实数根. 21 新知巩固 (2) ∵ x2－4mx＋3m2＝0， ∴ x＝. ∵ m＞0， ∴ x1＝m，x2＝3m. 由题意，得3m－m＝2， 解得m＝1. (2)若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值. 例3 已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0. 22 课堂总结 用根的判别式判断一元二次方程的根的情况 一元二次方程根的情况与根的判别式之间的关系 用根的判别式求字母的值或取值范围 当堂检测 基础过关 1. 一元二次方程2x2+x−1=0的根的情况是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 A 24 当堂检测 基础过关 2. 若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. 4 C 25 3. (2022·扬州)请填写一个常数，使得关于x的方程x2－2x＋________________＝0有两个不相等的实数根. 当堂检测 基础过关 0 (答案不唯一) 4. 在x2＋(_______)＋4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根. ±4x 26 当堂检测 基础过关 5. 不解方程，判断下列关于x的一元二次方程的根的情况： (1)2x2－3x＝－1； 解：(1)原方程化为2x2－3x＋1＝0， ∵b2－4ac＝9－4×2×1＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根. (2)－x2＋2x－1＝0. (2)∵b2－4ac＝22－4×(－1)×(－1)＝0， ∴方程有两个相等的实数根. 27 (3)3x2＋3＝－4x. 当堂检测 基础过关 5. 不解方程，判断下列关于x的一元二次方程的根的情况： (3) 原方程化为3x2＋4x＋3＝0， ∵b2－4ac＝42－4×3×3＝16－36＝－20＜0， ∴方程没有实数根. 28 当堂检测 基础过关 6. 已知关于x的一元二次方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0. (1)当a满足什么条件时，方程有两个相等的实数根？ 解：(1)∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ [－(2a＋1)]2－4×1·a2＝0， 即4a＋1＝0， 解得a＝－ 29 当堂检测 基础过关 (2) ∵ 方程有两个实数根， ∴ [－(2a＋1)]2－4×1·a2≥0， 即4a＋1≥0， 解得a≥－. 6. 已知关于x的一元二次方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0. (2)当a满足什么条件时，方程有两个实数根？ 30 当堂检测 基础过关 6. 已知关于x的一元二次方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0. (3)当a满足什么条件时，方程没有实数根？ (3)∵ 方程没有实数根， ∴ [－(2a＋1)]2－4×1·a2＜0， 即4a＋1＜0， 解得a＜－. 31 当堂检测 综合提升 1.已知关于 <m></m> 的一元二次方程(m−1)x2+2x−3=0有实数根，则 <m></m> 的取值范围是 ( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> 且 <m></m> D. <m></m> 且 <m></m> D 32 当堂检测 综合提升 2.关于 <m></m> 的一元二次方程x2−(k−3)x−k+1=0的根的情况，下列说法正确的是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 A 33 当堂检测 综合提升 4.已知整数k＜10且k为奇数，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2－2x＋8＝0，则△ABC的周长是______________. 3.如果关于x的方程(a－1)x2＋ax＋1＝0的根的判别式的值为1，那么a的值为______⁠. 3　 6或12或10 34 当堂检测 综合提升 5. 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2＋(2a＋1)x＋2＝0. (1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根； 证明：b2－4ac＝(2a＋1)2－8(a－1) ＝4a2＋4a＋1－8a＋8 ＝4a2－4a＋1＋8 ＝(2a－1)2＋8， ∵(2a－1)2≥0，∴(2a－1)2＋8＞0， ∴此方程一定有两个不相等的实数根. 35 当堂检测 综合提升 5. 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2＋(2a＋1)x＋2＝0. (2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值. (2) ∵b2－4ac＝(2a－1)2＋8＝9， ∴(2a－1)2＝1， 解得a1＝0，a2＝1. ∵a≠1，∴a＝0. 36 当堂检测 综合提升 6. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长. (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； 解：(1)△ABC是等腰三角形　 理由：把x＝－1代入方程，得2a－2b＝0， ∴ a＝b. ∴ △ABC是等腰三角形. 37 当堂检测 综合提升 (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)△ABC是直角三角形　 理由：∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ (2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0. ∴ b2＋c2＝a2. ∴ △ABC是直角三角形. 38 当堂检测 综合提升 (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. (3) ∵ △ABC是等边三角形， ∴ a＝b＝c. ∴ 原方程变为2ax2＋2ax＝0. ∵ a≠0， ∴ x2＋x＝0. ∴ x1＝0，x2＝－1 39 2021 Blues 4800.0 $$