21.3 二次函数与一元二次不等式（第2课时)（同步课件）数学沪科版九年级上册

九年级沪科版数学上册 第二十一章二次函数与反比例函数 21.3 二次函数与一元二次方程 第二课时 二次函数与一元二次不等式 学习目标 1.通过探索，理解二次函数与一元二次不等式之间 的联系；(重点) 2.会用二次函数图象求一元二次不等式的解集.(重点) 问题1：上节课学到的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,它们存在着怎样的联系? 问题2：一次函数与一元一次不等式有怎样的联系？那你可以猜测到二次函数与一元二次不等式的联系吗？ 情景导入 1.二次函数与一元二次不等式的关系 问题3 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=0的根是 _____________; 不等式ax2+bx+c>0的解集 是___________; 不等式ax2+bx+c<0的解集 是_________. 3 -1 O x y x1=-1， x2=3 x<-1或x>3 -1<x<3 新知探究 合作探究 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=2的根是 ______________; 不等式ax2+bx+c>2的解集是___________; 不等式ax2+bx+c<2的解集是_________. 3 -1 O x 2 (4,2) (-2,2) x1=-2， x2=4 x<-2或x>4 -2<x<4 y 问题4：如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______. 1 (2,0) x=2 2 O x y 问题5：如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个交点； 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？ 0 解：(1)当a>0时, ax2+bx+c<0无解； (2)当a＜0时, ax2+bx+c<0的解集是一切实数. 3 -1 O x y m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的两个交点关于原点对称？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的正半轴有两个交点？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的负半轴有两个交点？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的正负半轴都有交点？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8经过原点？ 想一想 利用函数图象解下列方程和不等式: (1) ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0. (2) ①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0. (3) ①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; ③-x2+x-2<0. x y 0 2 0 x y -1 2 x y 0 y= -x2+x+2 x1=-1 , x2=2 1 ＜ x＜2 x1＜-1 , x2＞2 x2-4x+4=0 x=2 x≠2的一切实数 x无解 -x2+x-2=0 x无解 x无解 x为全体实数 练一练 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 a＞0 a＜0 有两个交点x1,x2 （x1＜x2） 有一个交点x0 没有交点 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x2 y＞0，x1＜x＜x2. y＜0，x2＜x或x＜x2. y＞0.x0之外的所有实数；y＜0，无解 y＜0.x0之外的所有实数；y＞0，无解. y＞0，所有实数；y＜0，无解 y＜0，所有实数；y＞0，无解 概念归纳 已知抛物线 (a＞0）与直线 相交于点O（0,0）和点A（3,2），求不等式 的解集. 分析： 根据题目提供的条件，无法求出抛物线的解析式.因此，我们可以换一个思路，利用函数的图象来判求不等式的解集. 2.利用两个函数图象求不等式的解集 新知探究 解：根据题目提供的条件，画出草图： x y O 3 2 由图可知，不等式 的解集为 或 . 1.已知函数y1＝x2与函数 的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是( ) A. C. B. 或 D. 或 C 解析：先根据方程 算出图象交点的横坐标，然后再结合图象，得出答案. 练一练 2.当1＜x＜3时，二次函数y=x²-(k+1)x+k的图象在x轴下侧，求k的取值范围. 解：y=x²-(k+1)x+k=（x-k)(x-1)，与x轴交点坐标为（1,0）、（k，0）. 因为当1＜x＜3时有y＜0，所以k≥3. 练一练 3.如图，一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2+bx-2交于A、B两点，且A（1,0），抛物线的对称轴是 . （1） 求k和a、b的值； x y A O B 解：y1=kx+1经过点A（1,0），则0=k+1，得k=-1. y=ax2+bx-2经过点A（1,0）， 则0=a+b-2 ①， 抛物线的对称轴是 ， 故 ② ， 联立① ②，解得 练一练 解：根据对称性，可知y2道与x轴的另一个交点为(-4,0)，根据图象可以看出， kx+1＞ax2+bx-2的解集为-4＜x＜1. x y A O B （2）求不等式 kx+1＞ax2+bx-2的解集. 练一练 课本练习 1.先求出一元二次方程 的根，再结合二次函数的图象，求出当和时，的取值范围. 2.结合函数的图象，求： （1） 的解集； （2） 的解集. 解：.画出其图象的草图为：（右图） 可以看出该函数图象与x轴无交点，且开口向下. 所以（1） 的解集是空集； （2） 的解集是一切实数. 当x为何值时，函数y=x2－4x+3的值等于0? 1. 解：当y=0时，x2－4x+3=0， 解得x1=1，x2=3. ∴当x=1或x=3时，函数y=x2－4x+3的值等于0. 习题21.3 判断下列二次函数的图象与x轴有无交点，如有，求出交点的坐标；如没有，请说明理由. 2. 解：(1) 有交点. 由x2－2x－3=0得x1=－1，x2=3，故交点的坐标为(－1，0)，(3，0). (2) 没有交点. 理由如下：由x2+x+1=0得b2－4ac=12－4×1×1=－3<0，所以二次函数y=x2+x+1的图象与x轴无交点. (3) 有交点. 由4x2－4x+1=0得x1=x2= ，故交点的坐标为( ，0). (4) 没有交点. 理由如下：由 得b2－4ac=－7<0， 所以二次函数 的图象与x轴无交点. 求抛物线y=－6x2－x+2与x轴和y轴的交点坐标. 3. 解：当y=0时，－6x2－x+2=0， 解得x1= ，x2= . ∴抛物线与x轴的交点坐标为 ， . 当x=0时，y=2， ∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，2). 用图象法求下列方程的近似解：(精确到0.1) 4. 解：画出函数y=x2－x－1的图象如图所示， 近似解为x1=－0.6，x2=1.6. 解：画出函数y=x2－3x+1的图象如图所示， 近似解为x1=0.4，x2=2.6. 已知二次函数y=(k－8)x2－6x+k的图象与x轴只有一个交点，求该交点的坐标. 5. 解： 解得k=9或k=－1，将其带入函数解析式，得y=x2－6x+9或y=－9x2－6x－1， 它们的图象与x轴的交点坐标分别为(3，0)， . 故交点坐标为(3，0)或 . 设有函数y=x2+px+q，根据下列条件分别确定p，q的值. (1) 当x=5时，函数有最小值为－2； 6. 解：由题意知函数的表达式为y=(x－5)2－2，即y=x2－10x+23. 故p=－10，q=23. (2) 函数图象与x轴的交点坐标是(－4，0)， (－1，0) (2) 由题意知函数的表达式为y=(x+4)(x+1)，即y=x2+5x+4. 故p=5，q=4. 如图，给出了二次函数y=ax2+bx+c的图象，对于这个函数有下列五个结论： ①b2－4ac＜0；②ab＞0； ③a－b+c=0；④4a+b=0； ⑤当y=2时，x只能等于0. 7. 其中结论正确的是( ). (A) ①④ (B) ③④ (C) ②⑤ (D) ③⑤ B 结合函数y=(x－2)2－1的图象，确定当x取何值时，有 (1) y=0？ (2) y＞0？ (3) y＜0？ 8. 解：函数图象如图所示. 由图象知： (1) 当x=1或x=3时，y=0. (2) 当x<1或x>3时，y>0. (3) 当1<x<3时，y<0. 画出函数y=x2－2x－3的图象，并根据图象回答： (1) 当x取何值时，x2－2x－3=0？ (2) 当x取何值时，x2－2x－3＞0？ (3) 当x取何值时，x2－2x－3＜0？ 9. 解：函数图象如图所示. 由图象知： (1) 当x=－1或x=3时，x2－2x－3=0. (2) 当x<－1或x>3时，x2－2x－3>0. (3) 当－1<x<3时，x2－2x－3<0. 解集 解集 D 分层练习-基础 －3＜x＜1 两 (－2,0)、(4,0) －2或4 －2＜x＜4 x＞4或x＜－2 分层练习-基础 0或±8 x＜－2或x＞8 a＞1 分层练习-基础 B 分层练习-基础 B 分层练习-巩固 D 分层练习-巩固 B 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 B 课堂反馈 课堂反馈 判别式△=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c （a>0） 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根 不等ax2+bx+c>0（a>0）的解集 不等ax2+bx+c<0（a>0）的解集 x2 x1 x y o O x1= x2 x y O y x △>0 △＝0 △＜0 x1 ; x2 x1 =x2 ＝－b/2a 没有实数根 x<x1或x>x2 x ≠ x1的一切实数 所有实数 x1<x<x2 无解 无解 课堂小结 知识点：二次函数与一元二次不等式的关系 一般地，抛物线y＝ax2＋bx＋c位于x轴上方的部分对应的x值的取值范围，即为不等式ax2＋bx＋c＞0的　 　，图象位于x轴下方的部分对应的x值的取值范围，即为不等式ax2＋bx＋c＜0的　 　. 1．如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是(　　) A．－1≤x≤3　　　　　　　　 B．x≤－1 C．x≥1 D．x≤－1或x≥3 2．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 . 3．抛物线y＝x2－2x－8与x轴的交点有 个，分别为 ，当x＝ 时，y＝0；当 时，y＜0；当 时，y＞0. 4．抛物线y＝x2＋mx＋16的顶点在坐标轴上，则m的值是 . 5．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象(如图所示)相交于点A(－2,4)、B(8,2)，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 . 6．不论x取何值，函数y＝x2－2x＋a的函数值永远大于零，则a的取值范围为 . 能力点：抛物线y＝ax2＋bx＋c与a、b、c之间的关系 解决二次函数与等式或不等式的问题要利用数形结合的数学思想，借助函数图象进行解决可使问题简化． 7．(德州中考)函数y＝x2＋bx＋c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2－4c＞0；②b＋c＋1＝0；③3b＋c＋6＝0；④当1＜x＜3时，x2＋(b－1)x＋c＜0.其中正确的个数是(　　) A．1个　　　　 B．2个　　　　 C．3个　　　　 D．4个 8．(滨州中考)如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(－1,0)，则①二次函数的最大值为a＋b＋c；②a－b＋c＜0；③b2－4ac＜0；④当y＞0时，－1＜x＜3，其中正确的个数是(　　) A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个 9．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与两坐标轴的交点分别为A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列式子不能总成立的是(　　) A．b＝0 B．S△ABE＝c2 C．ac＝－1 D．a＋c＝0 10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相等；③4a＋b＝0；④当y＝－2时，x的值只能取0，其中正确的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，已知抛物线y＝－eq \f(1,4)x2－eq \f(1,2)x＋2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C. (1)求点A、B、C的坐标； 解：令y＝0得－eq \f(1,4)x2－eq \f(1,2)x＋2＝0，∴x2＋2x－8＝0，x＝－4或2，∴点A坐标(2,0)，点B坐标(－4,0)，令x＝0，得y＝2，∴点C坐标(0,2)； (2)点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A、B、E、F为顶点的平行四边形的面积； 解：①当AB为平行四边形的边时，∵AB＝EF＝6，对称轴x＝－1，∴点E的横坐标为－7或5，∴点E坐标(－7，－eq \f(27,4))或(5，－eq \f(27,4))，此时点F(－1，－eq \f(27,4))，∴以A、B、E、F为顶点的平行四边形的面积＝6×eq \f(27,4)＝eq \f(81,2)；　②当点E在抛物线顶点时，点E(－1，eq \f(9,4))，设对称轴与x轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A、B、E、F为顶点的平行四边形的面积＝eq \f(1,2)×6×eq \f(9,2)＝eq \f(27,2). (3)此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：如图所示，①当C为等腰三角形的顶角的顶点时，CM1＝CA，CM2＝CA，作M1N⊥OC于N， 在Rt△CM1N中， CN＝eq \r(CM\o\al(2,1)－M1N2)＝eq \r(7)，∴点M1坐标(－1,2＋eq \r(7))，点M2坐标(－1,2－eq \r(7))． ②当M3为等腰三角形的顶角的顶点时，∵直线AC解析式为y＝－x＋2，∴线段AC的垂直平分线为y＝x与对称轴的交点为M3(－1，－1)，∴点M3坐标为(－1，－1)．③以点A为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在．综上所述点M坐标为(－1，－1)或(－1,2＋eq \r(7))或(－1,2－eq \r(7))． 利用图象解一元二次不等式 1.解不等式x2－4x＋3＜0. 【思路分析】　可先构造二次函数y＝x2－4x＋3，再看图象在x轴下方对应的x的取值范围． 【规范解答】　y＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，它的大致图象如图所示，由图象可知，当y＜0时，对应的x的取值范围是1＜x＜3，∴不等式x2－4x＋3＜0的解集是1＜x＜3. 抛物线y＝ax2＋bx＋c与a、b、c之间的关系 2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a＋c；③4a＋2b＋c＞0；④2c＜3b；⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠1的实数)．其中正确的结论有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路分析】　由图象可知a＜0，b＞0，c＞0，a－b＋c＜0，a＋b＋c＞0，由对称性知，当x＝2时函数值大于零，∴4a＋2b＋c＞0，由对称性可知9a＋3b＋c＜0，且－eq \f(b,2a)＝1，∴－eq \f(9b,2)＋3b＋c＜0，∴2c＜3b.把b＝－2a代入a＋b＞m(am＋b)中可验证此项正确，故③④⑤正确． 抛物线顶点位置对系数的影响 3.已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，求a值． 【思路分析】　顶点在坐标轴可分为在x轴上和在y轴上两种情况． 【规范解答】　分类：①抛物线顶点在x轴上，则它与x轴只有一个交点．∴Δ＝[－(a＋2)]2－4×1×9＝0，解得a＝4或－8.②抛物线顶点在y轴上，则抛物线对称轴为y轴．∴－eq \f(－a＋2,2×1)＝0，∴a＝－2.综①②知a＝4或－8或－2. $$