12.1 函数的表示方法（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十二章 一次函数 12.1 函数 第二课时 函数的表示方法 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.了解并掌握函数表示方法：列表法、解析法，理解这两种 表示方法的优缺点;（重点） 2. 变量范围的确定和函数值的求法； 3. 能用这掌握函数自三种表示函数的方法解决简单的实际 问题.（难点） 旧知回顾 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量. 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 情景导入 当t=0 min 时 h为1 800m 当t=1 min 时 h为1 830m 当t=2min 时 h为1 860m 当t=3min 时 h为1 890m 时间t/min 海拔高度h/m 0 1800 1 1830 2 1860 3 1890 4 1920 5 1950 6 1980 7 2010 … … 问题2 下图是S市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线. O 问题3 汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为制动距离.制动距离是分析事故原因的一个重要因素. 某型号的汽车在平整路面上的刹车距离sm与车速vkm/h之间有下列经验公式： 上节课我们研究了三个问题，它们都反映了两个变量间的函数关系, 这节课我们来学习表示函数关系的方法！ 1.求自变量取值范围 新知探究 第一种：列表法 上节课所学的问题1就是使用列表法表示的 时间t/min 海拔高度h/m 0 1800 1 1830 2 1860 3 1890 4 1920 5 1950 6 1980 7 2010 … … 可以用哪些方法表示函数关系呢？ 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. 问题2 下图是S市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线. O 第二种：解析法 上节课所学的问题2就是使用图象法表示的 第三种：解析法 上节课所学的问题3就是使用解析法表示的 问题3：汽车刹车问题 表示函数 的一般方法 列表法 图象法 解析法 这种用数学式子表示函数关系的 方法叫做解析法.其中的等式叫做函数表达式（或函数解析式）. 列表法 解析法 图象法 定义 优点 通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来表示函数关系的方法 具体反映了函数随自变量的数值对应关系 用数学式子表示函数关系的方法 准确地反映了函数随自变量的数量关系 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法 直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律 函数三种表示方法的区别 概念归纳 2.自变量的取值范围及求函数值 新知探究 分析：在（1）（2）中，x 取任何实数，函数都有意义； 在（3）中，x=2时，函数无意义； 在（4）中，x<3时，函数无意义. 课本例1.求下列函数中自变量x的取值范围： （1）y=2x+4； （2）y=－2x2； （3） （4） 解 ： （1）x为全体实数. （2）x为全体实数. （3）x≠2. （4）x≥3. 注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义.如函数S= πR² 中自变量R可取全体实数，如果指明这个式子是表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围应是R > 0. （1）解析式是整式时，自变量取全体实数； （2）解析式是分式时,自变量的取值应使分母不为0； （3）解析式是平方根时，自变量取值范围应使被 开方数大于 或等于0； （4）解决实际问题时,必须既符合理论又满足实际 特别注意：不要先化简关系式再求取值范围. 概念归纳 练一练 课本例2.当 x = 3 时，求下列函数的函数值： 解: （1）当x=3时，y=2x+4=2×3+4=10. （2）当x=3时，y=-2x2=-2×32=-18. （3）当x=3时， （4）当x=3时， （1）y=2x+4； （2）y=－2x2； （3） （4） 如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 1.函数y＝，当x＝1时，y＝ ；当x＝3时，y＝ ． 3 －3 2.已知函数y＝，当x＝－4时，y＝ ． 0 练一练 概念归纳 函数关系式中自变量的取值范围 一般主要考虑以下四种情况： ⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； ⑵函数关系式为分式形式：分母≠0； ⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0； ⑷函数关系式含0指数：底数≠0． 课本例3 一个游泳池内有水300 m3，现打开排水管以每小时25 m3的排出量排水. （1）写出游泳池内剩余水量Q m3与排水时间th间的函数关系式； （2）写出自变量t的取值范围. 排水后的剩水量Q m3是排水时间h的函 数，有Q=-25 t +300. 池中共有300 m3水，每小时排水25 m3，故全部排完只需 300÷25=12（h），故自变量 t的取值范围是0≤t≤12. 3.在实际问题中求自变量的取值范围 新知探究 （3）开始排水后的第5h末，游泳池中还有多少水？ （4）当游泳池中还剩150 m3水时，已经排水多长时间？ 当t=5，代入上式得Q=-5×25+300=175（m3）， 即第5h末池中还有水175 m3 当Q=150m3时，由150=-25 t +300，得t =6h， 即第6 h末池中有水150m3. 概念归纳 实际问题中自变量的取值范围． 在实际问题中确定自变量的取值范围，主 要考虑两个因素： ⑴自变量自身表示的意义．如时间、耗油量等不能为负数；　　 ⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围． 练一练 1.求下列函数中自变量x的取值范围： （1）x为任意实数 （2）x≠4 （3）x≥5 （4）x为任意实数 课本练习 2.求下列函数当x =9和x = 10时的函数值： 答（1）当x=9时，=-2 当x=10时，=- 答（1）当x=9时，= 当x=10时，= 课本练习 3，一列火车以80 km/h的速度匀速行驶. （1）写出它行驶的路程 s km 与时间 t h 之间的函数表达式； （2）当 t =10 时，s 是多少？ 解（1）由题意可得行驶的路程s km与时间t h之间的函数表达式为：S=80t （2）把t=10代入s=80t=800 课本练习 4.写出前面问题 1 中的函数表达式. 5.写出正方形面积 y与边长 x之间的函数表达式，并指出自变量 x 的取值范围. 课本练习 解：h=30t+1800(t≥0) 解：由题意得，y=x² 由边长都是非负数，得x>0. D D 随堂练 x≠6 0 y＝－0.1x＋1200 随堂练 随堂练 随堂练 列表法 C 分层练习-基础 解析法 表达式 解析式 A y＝－0.1x＋1200 分层练习-基础 不为0 非负数 0 全体实数 D B 分层练习-基础 函数值 －4 分层练习-基础 C D 分层练习-巩固 分层练习-巩固 B 分层练习-巩固 x＞－2且x≠2 y＝2.1x＋1.6(x≥0) 10 分层练习-巩固 2 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 函数的表示方法 列表法、解析法和图象法 自变量的取值范围 使含自变量的等式有意义 使实际问题有意义 课堂小结 (4)∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3≥0,x－2≠0))，∴x≥3且x≠2，即自变量x的取值范围是x≥3. 1．写出下列函数中自变量的取值范围． (1)y＝x＋2; (2)y＝eq \f(x,x＋3)； (3)y＝eq \r(2x＋1)； (4)y＝eq \f(\r(x－3),x－2). 解：(1)自变量x的取值范围是全体实数； (2)∵x＋3≠0，∴x≠－3，即自变量x的取值范围是x≠－3； (3)∵2x＋1≥0，∴x≥－eq \f(1,2)，即自变量x的取值范围是x≥－eq \f(1,2)； 1．一个蓄水池有15 m3的水，用每分钟抽水0.5 m3的水泵向外抽水． (1)求蓄水池中水的余量Q(m3)与抽水时间t(分钟)之间的函数解析式； (2)求自变量t的取值范围； (3)求经过10分钟后，蓄水池中还有多少水？ 解：(1)Q＝15－0.5t；(2)0≤t≤30；(3)10 m3. 1．(广元中考)函数y＝eq \r(x－1)的自变量x的取值范围是(　　) A．x＞1　 B．x＜1　 C．x≤1　 D．x≥1 2．(柳州中考)已知A、B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米/小时，若用x(小时)表示行走的时间，y(千米)表示余下的路程，则y关于x的函数解析式是(　　) A．y＝4x(x≥0) B．y＝4x－3(x≥eq \f(3,4)) C．y＝3－4x(x≥0) D．y＝3－4x(0≤x≤eq \f(3,4)) 3．(湘潭中考)函数y＝eq \f(1,x－6)中，自变量x的取值范围是 . 4．(上海中考)已知f(x)＝x2－1，那么f(－1)＝ . 5．某自行车存车处在星期日的存车为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.30元，普通车存车费是每辆一次0.20元．若普通车存车数为x辆次，存车总收入y(元)与x的函数解析式是 . (4)∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3≥0,x－2≠0))，∴x≥3且x≠2，即自变量x的取值范围是x≥3. 6．写出下列函数中自变量的取值范围． (1)y＝x＋2; (2)y＝eq \f(x,x＋3)； (3)y＝eq \r(2x＋1)； (4)y＝eq \f(\r(x－3),x－2). 解：(1)自变量x的取值范围是全体实数； (2)∵x＋3≠0，∴x≠－3，即自变量x的取值范围是x≠－3； (3)∵2x＋1≥0，∴x≥－eq \f(1,2)，即自变量x的取值范围是x≥－eq \f(1,2)； 7．某村为实现勤劳致富奔小康的目标，充分利用本村地理优势，大力发展果木种植．现栽有果树24000棵，计划今后每年栽果树4000棵． (1)求果树总数y(棵)与年数x(年)的函数解析式； (2)预计第5年该村有多少棵果树． 解：(1)y＝24000＋4000x(x为正整数)； (2)当x＝5时，y＝24000＋4000×5＝44000. 知识点一：列表法 通过列出自变量的值和对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做 1．下表是一项试验的统计数据，表示皮球从高处d落下时，与弹跳高度b的关系. d 50 80 100 150 b 25 40 50 75 那么下落高度d与弹跳高度b之间的函数关系式是(　　) A．b＝d2　　　 B．b＝2d　　 C．b＝eq \f(d,2)　　　 D．b＝d＋25 知识点二：解析法 用数学式子来表示函数关系的方法叫做 ，其中的等式叫做函数 (或函数 )． 2．汽车离开甲站10千米后，以60千米/时的速度匀速前进了t小时，则汽车离开甲站所走的路程s(千米)与时间t(小时)之间的关系式是(　　) A．s＝10＋60t B．s＝60t C．s＝60t－10 D．s＝10－60t 3．某自行车存车处在星期日的存车为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.30元，普通车存车费是每辆一次0.20元．若普通车存车数为x辆次，存车总收入y(元)与x的函数关系式是 . 知识点三：自变量的取值范围 常见自变量的取值范围包括：①自变量在分母中，分母 ；②自变量在算术平方根中，被开方数要为 ；③自变量在0指数幂或负指数幂中，底数不能为 ；④实际问题中，使实际问题有意义；⑤自变量在整式中，取值范围为 ． 4．(宿迁中考)函数y＝eq \f(1,1－x)中，自变量x的取值范围是(　　) A．x≠0 B．x＜1 C．x＞1 D．x≠1 5．(牡丹江中考)在函数y＝eq \r(x＋3)中，自变量x的取值范围是(　　) A．x≤－3 B．x≥－3 C．x＜－3 D．x＞－3 知识点四：求函数值 在函数关系式中，以自变量的值代入求得的值叫做 ．　 6．(深圳中考)已知函数y＝eq \f(4,x)，当x＝－1时，y的值是 . 7．一根蜡烛长20cm，蜡烛的燃烧速度是4cm/h. (1)写出蜡烛的剩余长度l(cm)与燃烧时间t(h)之间的函数表达式； (2)写出自变量的取值范围； (3)开始燃烧后的2h末，蜡烛还有多长？ 解：(1)l＝20－4t；　(2)0≤t≤5；　(3)当t＝2时，l＝20－4×2＝12.即开始燃烧后的2h末，蜡烛还有12cm长． 8．(娄底中考)在函数y＝eq \f(\r(x－2),x－3)中自变量x的取值范围是(　　) A．x＞2　　　　　　 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠3 9．直角三角形中，一个锐角的度数为x，另一个锐角的度数为y，则y＝90°－x.其中x的取值范围为(　　) A．x＜45° B．x≤45° C．x＜90° D．0°＜x＜90° 10．如图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下列函数关系式中正确的是(　　) A．y＝4n－4 B．y＝4n C．y＝4n＋4 D．y＝n2 11．李大爷要围成一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD.设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数表达式是(　　) A．y＝－2x＋24(0＜x＜12) B．y＝－eq \f(1,2)x＋12(0＜x＜24) C．y＝2x－24(0＜x＜12) D．y＝eq \f(1,2)x－12(0＜x＜24) 12．在函数y＝eq \f(1,\r(x＋2))＋(x－2)0中，自变量x的取值范围是 . 13．某城市水费收取标准是：生活用水每吨2.10元，每月排污费1.60元．小明家七月份水费y(元)与这个月用水量x(吨)之间的函数关系式为 ．如果七月份小明家用水4吨，那么小明家这个月应缴水费 元． 14．如图，根据所示程序计算．若输入x＝eq \r(3)，则输出结果为 . 15．某校组织学生到距离学校6 km的烈士馆参观，学生李兵因事没能乘上学校的包车，于是准备在校门口改乘出租车去烈士馆，出租车的收费标准如下： 里程 收费 3 km以下(含3 km) 8.00元 3 km以上，每增加1 km 1.8元 (1)写出出租车行驶的里程数x(km)(x≥3)与费用y(元)之间的函数关系式； (2)李兵身上只有14元，乘出租车到烈士馆的费用够不够用？请说明理由． 解：(1)y＝8＋1.8(x－3)，即y＝1.8x＋2.6(x≥3)；　 (2)当x＝6时，y＝1.8×6＋2.6＝13.4＜14，因此李兵乘出租车去烈士馆的车费够用． 16．如图，在长方形ABCD中，当点P在边AD(不包括A、D两点)上从A向D移动时，有些线段的长度和三角形的面积始终不变，而有些则发生变化． (1)试分别写出长度变和不变的线段，面积变和不变的三角形； (2)假设长方形的长AD为10cm，宽AB为4cm，线段AP的长为xcm，分别写出你所列出的变化的线段PD的长度y，△PCD的面积S与x之间的函数表达式，并指出自变量的取值范围． 解：(1)长度变化的线段有：PA、PD、PB、PC；长度不变的线段有：AB、BC、CD、DA；面积变化的三角形有：三角形APB、三角形DPC；面积不变的三角形为三角形BPC；　 (2)根据题意可知：PD＝AD－AP，AD＝10cm，AP＝xcm所以y＝10－x，其中0＜x＜10.根据题意可知：三角形PCD的面积为eq \f(1,2)DC·PD，所以S＝eq \f(1,2)×4×(10－x)＝20－2x，其中0＜x＜10. 确定自变量的取值范围． 【例1】求下列函数自变量的取值范围． (1)y＝x＋2；(2)y＝eq \f(x,x＋3)； (3)y＝eq \r(2x＋1)；(4)y＝eq \f(\r(x－1),x－2). 【思路分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： (1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； (2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； (3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【规范解答】(1)自变量x的取值范围是全体实数；(2)∵x＋3≠0，∴x≠－3，即自变量x的取值范围是x≠－3；(3)∵2x＋1≥0，∴x≥－eq \f(1,2)，即自变量x的取值范围是x≥－eq \f(1,2)；(4)∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1≥0,x－2≠0))，∴x≥1且x≠2，即自变量x的取值范围是x≥1且x≠2. 【方法归纳】自变量的取值必须使解析式有意义，另外，当函数解析式表示实际问题时，自变量取值必须使实际问题有意义． 根据实际问题列函数关系式． 【例2】某水果店卖水果，其数量x(千克)与售价y(元)之间的关系如下表： x(千克) y(元) 0.5 1.2＋0.2 1 2.4＋0.2 1.5 3.6＋0.2 2 4.8＋0.2 … … (1)试写出售价y(元)与数量x(千克)之间的函数关系式； (2)当x＝8时，求y的值． 【思路分析】售价由两部分组成，一部分是水果本身的，另一部分可视为包装袋的，水果本身也易得是每千克2.4元． 【规范解答】(1)y＝2.4x＋0.2(x＞0)；(2)当x＝8时，y＝2.4×8＋0.2＝19.4. 【方法归纳】通过列表给出y与x的对应数值，也可以表示y与x的函数关系，它的优点是很容易由自变量的值，查得所对应的函数值，比较实用． $$