2.2.1配方法（1）（同步课件）数学湘教版九年级上册

2.2.1 配方法（1） 主讲： 湘教版九年级上册 第2章 一元二次方程 学习目标 目标 1 目标 2 1.掌握用直接开平方法对形如x2=a，（ax+n）2=d形式的一元二次方程进行求解. （重点） 2.体会解一元二次方程中的转化与降次思想.（难点） 1.如果 x2=a,则x叫做a的 . 平方根 2.如果 x2=a(a ≥0),则x= . 3.如果 x2=64 ,则x= . ±8 4.任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数. 复习引入 自学指导 仔细阅读教材P30---P31。用6分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1、根据平方根的定义能确定方程x2-2500=0的解吗？它的解如何表示？ 2、由例题1你能学会哪种形式的一元二次方程可以由平方根的定义来解，解题步骤是怎样的？ 3、例题1与例题2有何不同。想一想，如何解方程4x2+4x+1=2？ 探究新知 动 脑 筋 如何解本章2.1节“动脑筋”中的方程①：x2-2500=0呢？   对于实际问题中的方程①而言，x2=-50不合题意，应当舍去． 而x1=50符合题意，因此该圆的半径为50cm. 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 例1 解方程：4x2-25=0. 解：原方程可化为 根据平方根的意义，得 因此，原方程的根为 例题讲解 如何解方程： (1+x)²=81？ 若把1+x看作一个整体，则由(1+x)²=81，得 1+ 或 1+ 即 1+x=9或1+x=﹣9. 解得 x₁=8，x₂=﹣10. 例题讲解 例2 解方程：( 2x +1 )2=2. 解：根据平方根的意义，得 因此，原方程的根为 通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程. 例题讲解 注意各项的符号. 做 一 做 解方程：4(1+x)2 -25 = 0. 解： (4-x) 2-25 = 0 (4-x) 2 = 25 4-x = 5 或 4-x = -5 x = -1 或 x = 9 故答案为：x = -1 或 x = 9 基础检测 2．若x＝m是方程x2－x－1＝0的一个根，则m2－m＋6的值为________． 7 1. 已知关于x的方程x²+x+2a-4=0的一个根是-1，则a的值是( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 解析将方程的一个根x=-1代入方程x²+x+2a-4=0，得关于a的方程2a-4=0，解得a=2，故选D. D 基础检测 3、对于下列方程，可以这样想: ∵ χ2=4 根据平方根的定义可知:χ是4的( ). ∴ χ= χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 平方根 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。 χ1=2，χ2=－2. 4. 利用平方根的意义解方程，最容易开平方求出方程的根的变形是( ) A. B. C. D. C C. 4(x − 1)2 = 9，解方程，得 4(x − 1) =±3，x1= ， x2= D. (2x + 3)2 = 25，解方程，得 2x + 3 =±5，x1= 1，x2= −4 5. 下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. x2 = −2，解方程，得 x =± B. (x − 2)2 = 4，解方程，得 x − 2 = 2，x = 4 D 基础检测 6.判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解并 说明理由. 1） x2=2 ( ) 2） p2 - 49=0 ( ) 3） 6 x2=3 ( ) 4) （5x+9）2+16=0    ( ) 5) 121-(y+3) 2 =0 ( ) × √ √ √ √ (2) 当 n = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 n < 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根. 一般地，对于可化为 x2 = n (I) 的方程， (1) 当 n > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； 一展身手 1. 已知 a 是方程 x2 + 2x－2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值. 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值. 一展身手 2.解下列方程： 9x2-49=0； (2) 36-x2=0； (3) (x+3)2-36=0； (4) 9(1-2x)2-16=0. 解：9x2 = 49 x2 = x =± x1= x2= - 解：x2 = 36 x = ±6 x1= 6，x2 = -6 解：(x+3)2 = 36 x+3 =±6 x+3 = 6 或 x+3 = -6 x1= 3，x2 = -9 解：9(1-2x)2 = 16 (1-2x)2 = 1-2x = 或1-2x = - x1= - ，x2 = 1. 用直接开平方法解一元二次方程的基本想法是什么？ 把一个一元二次方程通过“降次”转化为两个一元一次方程，再分别解这两个一元一次方程。 2. 用直接开平方法解一元二次方程有哪些步骤？ ①变形：化成x²=a或(ax+b)²=c的形式. ②开平方：把原方程化成两个一元一次方程. ③解出原方程的根：注意不要遗漏其中的一个负根. 3.(古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短． 记得立契时，长阔争一半． 今问俊明公，此法如何算． 意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．现在请你帮他算出它的长和宽各是多少步①.（1亩＝240步2) 解：设长方形田地的宽为x步，那么长就应该是2x步， 7.5亩=1800步2， 由题意，得 2x·x=1800，即x2=900， 解得x=30，则2x=60(步). 答：长方形田的长为60步，宽为30步. 挑战自我 1.解方程: 解： 方程的两根为 2. 若方程(x+1)²=a-1有实数根，则a的取值范围是（ ） A. a＜1 B. a＞1 C. a≤1 D. a≥1 D 解析：根据数的平方和平方根的性质，可得a-1≥0， 解得 a≥1，故选D. 挑战自我 配方法（1） 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根. 形如x²=p(p≥0)的方程的解法 (1)当p＞0时，x1=- x2= (2)当p＝0时，x1= x2=0 (3)当p＜0时，方程无实数根 主讲： 感谢聆听 湘教版九年级上册 $$