专题1.5 全称量词与存在量词【七大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题1.5 全称量词与存在量词【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断】 2 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 2 【题型3 根据命题的真假求参数】 3 【题型4 全称量词命题的否定】 4 【题型5 存在量词命题的否定】 4 【题型6 命题否定的真假判断】 5 【题型7 根据命题否定的真假求参数】 6 【知识点1 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断】 【例1】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【变式1-1】（2024高二上·广西·学业考试）下列命题中，含有存在量词的是（    ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形 C．一切三角形的内角和都等于 D．任意两个等边三角形都相似 【变式1-2】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．， D．对任意，，都有 【变式1-3】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）判断下列命题是存在量词命题的个数（    ） ①每一个一次函数都是增函数； ②至少有一个自然数小于1； ③存在一个实数x，使得； ④两直线平行，内错角相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例2】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【变式2-1】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）下列命题中是全称量词命题且真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．， 【变式2-2】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．所有正方形都是矩形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 【变式2-3】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知命题；命题，则下列说法正确的是（    ） A．为存在量词命题且为假命题，为全称量词命题且为假命题 B．为全称量词命题且为假命题，为存在量词命题且为假命题 C．为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题 D．为全称量词命题且为真命题，为存在量词命题且为真命题 【题型3 根据命题的真假求参数】 【例3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）命题“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知“，”为真命题；“，”为真命题，那么p，q的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·江西·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【题型4 全称量词命题的否定】 【例4】（23-24高一上·云南昆明·期末）命题 的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·四川乐山·期中）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）“，”的否定是（    ） A．，使得 B．， C．，使得 D．， 【题型5 存在量词命题的否定】 【例5】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）设命题：存在，使得，则为（    ） A．对于任意，使得 B．存在，使 C．对于任意，使得 D．存在，使 【变式5-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二下·北京延庆·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知命题，，则（    ） A．p为真命题，且p的否定是“，” B．p为真命题，且p的否定是“，” C．p为假命题，且p的否定是“，” D．p为假命题，且p的否定是“ ，” 【知识点3 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2.命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【题型6 命题否定的真假判断】 【例6】（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)，方程必有实根； (2)，使得. 【变式6-1】（2024高一·江苏·专题练习）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假性. (1)，； (2)每一个平行四边形都是中心对称图形； (3)，； (4)，. 【变式6-2】（23-24高一上·青海海东·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假． (1)，； (2)有一个素数是偶数； (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似． 【变式6-3】（23-24高一上·新疆·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)； (2)p：有些三角形的三条边相等； (3)p：菱形的对角线互相垂直； (4)． 【题型7 根据命题否定的真假求参数】 【例7】（2024·浙江温州·一模）已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 【变式7-1】（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）设，命题p：，命题q：. （1）若命题p是真命题，求的取值范围； （2）若命题¬p与q至少有一个为假命题，求的取值范围. 【变式7-2】（23-24高一·全国·课后作业）已知命题p:，，命题q：，一次函数的图象在x轴下方． (1)若命题的否定为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题为真命题，命题的否定也为真命题，求实数的取值范围． 【变式7-3】（2024高二·全国·课后作业）已知， （1）写出命题的否定；命题的否定； （2）若或为真命题，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 全称量词与存在量词【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断】 2 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 3 【题型3 根据命题的真假求参数】 4 【题型4 全称量词命题的否定】 6 【题型5 存在量词命题的否定】 7 【题型6 命题否定的真假判断】 8 【题型7 根据命题否定的真假求参数】 10 【知识点1 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断】 【例1】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【解题思路】根据全称命题与特称命题中的量词即可判断求解. 【解答过程】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词，所以选项A，B，D都为特称命题，选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题. 故选：C. 【变式1-1】（2024高二上·广西·学业考试）下列命题中，含有存在量词的是（    ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形 C．一切三角形的内角和都等于 D．任意两个等边三角形都相似 【解题思路】根据存在量词的定义即可得解. 【解答过程】A选项，存在一个平行四边形是矩形含有存在量词； BCD选项，含有全称量词，不含存在量词. 故选：A. 【变式1-2】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．， D．对任意，，都有 【解题思路】由定义选择全称量词命题，再判断真假. 【解答过程】AC为存在量词命题，BD为全称量词命题， 菱形的两条对角线长度不一定相等，B选项错误， 对任意，，都有， 即，D选项正确. 故选：D. 【变式1-3】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）判断下列命题是存在量词命题的个数（    ） ①每一个一次函数都是增函数； ②至少有一个自然数小于1； ③存在一个实数x，使得； ④两直线平行，内错角相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题思路】利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断. 【解答过程】①因为“每一个”是全称量词，所以每一个一次函数都是增函数是全称量词命题； ②因为“至少有一个”是存在量词，所以至少有一个自然数小于1是存在量词命题； ③因为“存在一个”是存在量词，所以存在一个实数x，使得是存在量词命题； ④两直线平行，内错角相等是全称量词命题，省略了“所有的”. 故选：B. 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例2】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【解题思路】根据全称量词命题的定义即可知选项CD不合题意，再判断出命题真假即可得出结论. 【解答过程】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意； 故选：B. 【变式2-1】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）下列命题中是全称量词命题且真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．， 【解题思路】根据全称量词命题和存在量词命题的概念，以及真假判定方法，逐项判定，即可求解. 【解答过程】A中，因为是素数，不是奇数，命题所有的素数都是奇数是全称量词命题且是假命题； B中，该命题是存在量词命题且是真命题； C中，根据平行四边形的性质，可得该命题是全称量词命题且是真命题； D中，该命题是存在量词命题且是假命题. 故选：C. 【变式2-2】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．所有正方形都是矩形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 【解题思路】先判断量词，然后判断命题真假即可. 【解答过程】A.所有正方形都是矩形为全称量词命题，故A错误； B.，使为存在量词命题，，方程无解，该命题为假命题，故B错误； C.至少有一个实数，使为存在量词命题，当时，方程成立，该命题为真命题，故C正确； D. ，使为存在量词命题，无解，故D错误； 故选：C. 【变式2-3】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知命题；命题，则下列说法正确的是（    ） A．为存在量词命题且为假命题，为全称量词命题且为假命题 B．为全称量词命题且为假命题，为存在量词命题且为假命题 C．为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题 D．为全称量词命题且为真命题，为存在量词命题且为真命题 【解题思路】含有存在量词的命题是存在量词命题，其真假性为“有真即真，全假为假”；含有全称量词的命题是全称量词命题，其真假性为“有假即假，全真为真”；据此解答即可. 【解答过程】对于命题，是存在量词命题，取，则，故为真命题； 对于命题，是全称量词命题，当时，，故为假命题； 所以为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题. 故选：C． 【题型3 根据命题的真假求参数】 【例3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）命题“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，转化为不等式在上恒成立，进而求得的取值范围，得到答案. 【解答过程】由命题为真命题，即不等式在上恒成立， 当，可得，所以. 故选：B. 【变式3-1】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知“，”为真命题；“，”为真命题，那么p，q的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据命题真假的定义判断，注意全称命题与特称命题的区别． 【解答过程】“，”为真命题，则，“，”为真命题，则， 故选：C． 【变式3-2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【解题思路】确定，考虑，，三种情况，计算得到答案. 【解答过程】命题“”为假命题， 则， 当时，，成立； 当时，则，解得，即； 当时，成立； 综上所述：. 故选：D. 【变式3-3】（23-24高一上·江西·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出命题为真的充要条件，然后根据必要不充分条件的定义判断． 【解答过程】当时，， 则当时，取得最大值，依题意，，解得， 因此命题“，”为真命题的充要条件是，C不是； 显然，分别是该命题为真命题的一个充分不必要条件，AB不是； 是该命题为真命题的一个必要不充分条件，D是． 故选：D. 【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【题型4 全称量词命题的否定】 【例4】（23-24高一上·云南昆明·期末）命题 的否定是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【解答过程】命题 的否定是“”. 故选：D. 【变式4-1】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据全称命题的否定是特称命题得出答案. 【解答过程】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“”的否定为“”. 故选：B. 【变式4-2】（23-24高一上·四川乐山·期中）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据全称量词命题的否定得出结果 【解答过程】由全称量词命题的否定是存在量词命题，可知命题，的否定为，． 故选：D. 【变式4-3】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）“，”的否定是（    ） A．，使得 B．， C．，使得 D．， 【解题思路】根据含有一个量词的否定判断即可. 【解答过程】“，”的否定是“，使得”， 故选：A. 【题型5 存在量词命题的否定】 【例5】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）设命题：存在，使得，则为（    ） A．对于任意，使得 B．存在，使 C．对于任意，使得 D．存在，使 【解题思路】利用存在量词命题的否定写出结论并判断得解. 【解答过程】命题：存在，使得是存在性量词命题，其否定是全称量词命题， 所以：对于任意，使得. 故选：C. 【变式5-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【解答过程】命题“”的否定是“”. 故选：C. 【变式5-2】（23-24高二下·北京延庆·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据特称命题的否定是全称命题分析判断. 【解答过程】由题意可得：命题“”的否定是“”. 故选：B. 【变式5-3】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知命题，，则（    ） A．p为真命题，且p的否定是“，” B．p为真命题，且p的否定是“，” C．p为假命题，且p的否定是“，” D．p为假命题，且p的否定是“ ，” 【解题思路】根据时，判断命题真假，再写存在量词命题的否定形式，从而得解. 【解答过程】因为当时， ， 所以为真命题， 而的否定是 “”，故A正确. 故选：A. 【知识点3 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2.命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【题型6 命题否定的真假判断】 【例6】（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)，方程必有实根； (2)，使得. 【解题思路】（1）（2）根据全称命题以及特称命题的否定即可求解. 【解答过程】（1），方程未必有实根， 由于，方程必有实根，是真命题， 因此为假命题， （2），使得. 由于，所以恒成立，所以为真命题. 【变式6-1】（2024高一·江苏·专题练习）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假性. (1)，； (2)每一个平行四边形都是中心对称图形； (3)，； (4)，. 【解题思路】改量词,否结论.全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题,最后判断真假即可. 【解答过程】（1）;假命题. （2）有些平行四边形不是中心对称图形;假命题. （3）,;假命题. （4） ;真命题. 【变式6-2】（23-24高一上·青海海东·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假． (1)，； (2)有一个素数是偶数； (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似． 【解题思路】（1）（2）（3）根据全称命题、特称命题的否定写出相应命题的否定，进而判断真假性. 【解答过程】（1）命题的否定为“，”， 因为，可得命题的否定是假命题． （2）命题的否定为“所有的素数都不是偶数”， 由2是素数也是偶数，可得命题的否定是假命题． （3）命题的否定为“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”， 若这两个三角形底边对应的高的垂足不在同一个位置， 那么这两个三角形不相似，可得命题的否定是真命题． 【变式6-3】（23-24高一上·新疆·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)； (2)p：有些三角形的三条边相等； (3)p：菱形的对角线互相垂直； (4)． 【解题思路】根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题进行求解判断即可． 【解答过程】（1）易知原命题的否定为：， 显然，故为假命题； （2）易知原命题的否定为：：所有的三角形的三条边不都相等， 因为正三角形的三条边相等，则命题p是真命题，则是假命题； （3）易知原命题的否定为：：存在一个菱形，则它的对角线互相不垂直， 显然原命题是真命题，则是假命题； （4）易知原命题的否定为：． 显然当时，，则命题为假命题． 【题型7 根据命题否定的真假求参数】 【例7】（2024·浙江温州·一模）已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）由二次函数的性质得出命题为真时，实数的取值范围，进而由命题为真求解； （2）由判别式得出为真时，实数的取值范围，再讨论真假或假真，得出实数的取值范围. 【解答过程】（1）若方程有两个不等的负根，则，解得； 因为命题为真，所以实数的取值范围为. （2）若方程无实根，则，解得. 若真假时，，解得； 若假真时，，解得. 综上，得. 【变式7-1】（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）设，命题p：，命题q：. （1）若命题p是真命题，求的取值范围； （2）若命题¬p与q至少有一个为假命题，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据命题为真转化为，即可求解； （2）由题意转化为命题¬p与q不能同时为真，先求命题¬p与q同时为真时的范围，再求其补集即可. 【解答过程】（1）若命题p是真命题时，， 即 ， 所以， （2）若命题q：为真时， 则， 解得， 若命题¬p与q至少有一个为假命题， 即命题¬p与q不能同时为真， 若命题¬p与q同时为真时， 则，解得， 所以命题¬p与q不能同时为真时，或. 【变式7-2】（23-24高一·全国·课后作业）已知命题p:，，命题q：，一次函数的图象在x轴下方． (1)若命题的否定为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题为真命题，命题的否定也为真命题，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）由全称命题的否定与真假判断求解即可； （2）由全称命题与特称命题的真假判断求解即可 【解答过程】（1）∵命题p的否定为真命题， 命题的否定为：，， ∴， ∴． （2）若命题p为真命题，则，即或． ∵命题q的否定为真命题， ∴“，一次函数的图象在x轴及x轴上方”为真命题． ∴，即． ∴实数a的取值范围为． 【变式7-3】（2024高二·全国·课后作业）已知， （1）写出命题的否定；命题的否定； （2）若或为真命题，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出命题的否定形式即可； （2）由或为真命题，则有为真命题或为真命题，从而即可求得实数的取值范围． 【解答过程】解：（1）：；： （2）由题意知，真命题或真命题， 当真命题时，， 当真命题时，，解得， 因此，当或为真命题时，实数的取值范围为或，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$