第一章 空间向量与立体几何单元综合测试-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，向量在向量上的投影向量为（     ）． A． B． C． D． 3．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（    ） A．1 B． C． D． 4．已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 5．给出下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若向量与向量，共面，则存在实数x，y，使 B．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面 C．直线a的方向向量为，平面的法向量为，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 6．正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．如图,二面角等于,是棱上两点, 分别在半平面内, ,, 且则的长等于（    ） A．4 B． C． D． 8．已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 10．在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（    ） A．与共面 B．与夹角为 C．平面与平面夹角的正弦值为 D．若正方体棱长为2，则到直线的距离 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（    ） A．平面平面 B．任意，三棱锥的体积是定值 C．周长最小值为 D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 13．直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为 . 14．在棱长为1的正方体中，点F是棱的中点，P是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 16．（15分） 在空间直角坐标系中，已知点，，． (1)若A，B，C三点共线，求a和b的值； (2)已知，，且A，B，C，D四点共面，求a的值． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，平面，，点为中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求与所成角的余弦值； (3)求与平面所成角的正弦值的取值范围． 18．（17分） 如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． (1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的大小; (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 19．（17分） 如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若，，．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作 (1)求证：向量为平面OAB的法向量； (2)若，，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与的大小； (3)将四边形OADB按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积V与的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：点关于平面的对称点是. 故选：D. 2．已知向量，，向量在向量上的投影向量为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】向量在向量上的投影向量为 故选：A 3．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 由与互相垂直，得，即， 所以. 故选：D 4．已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】， 又，所以， 所以. 故选：B 5．给出下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若向量与向量，共面，则存在实数x，y，使 B．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面 C．直线a的方向向量为，平面的法向量为，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】B 【解析】对于A，如果为非零向量，且与不共线，而与共线， 则不成立，故A错误； 对于B，运用四点共面定理推论可知B正确； 对于C，，则，则，故C错误； 对于D，向量是平面的法向量，则，， 即，，又，， 得且，解得，，则，故D错误. 故选：B. 6．正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 可得， 则， 所以直线，所成角的余弦值为. 故选：B. 7．如图,二面角等于,是棱上两点, 分别在半平面内, ,, 且则的长等于（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【解析】由二面角的平面角的定义知,, 由,,得,,, , 所以,即． 故选：A． 8．已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设点， 所以，， 所以， 因为表示点与点之间距离的平方， 所以当点的坐标为时，取得最大值为， 当与点重合时，取得最小值， 所以的取值范围为：. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于：∵，所以正确； 对于：， ∴，所以不垂直， 所以不正确； 对于：， ， 所以正确； 对于：，， 而， ∴不平行于；所以不正确. 故选：. 10．在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（    ） A．与共面 B．与夹角为 C．平面与平面夹角的正弦值为 D．若正方体棱长为2，则到直线的距离 【答案】ACD 【解析】对于A，由于，而与显然是共面向量，所以与共面，故A正确； 对于B， 因为，所以异面直线与所成的角就是， 而在三角形中，由正方体和各面对角线长相等，可知它是等边三角形， 所以，即与夹角为，故B错误； 对于C， 如图建系：设正方体的边长为，可知：，，， 则设平面的法向量为 则，令，则， 即 而平面的法向量可以取轴方向上的单位向量 则， 即， 所以平面与平面夹角的正弦值为，故C正确； 对于D， 过点作的垂线，垂足为，由点为中心，可知为的中点， 由正方体可知平面，因为平面， 所以，因为正方体棱长为，所以，， 则由勾股定理得：， 解等腰三角形得：底边边上的高为，所以三角形面积为， 即点到直线的距离等于，故D正确； 故选：ACD. 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（    ） A．平面平面 B．任意，三棱锥的体积是定值 C．周长最小值为 D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】AD 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 对于A，，，，， 则，，， 设平面法向量，则，令，则， 设平面法向量，则，令，则， 所以，即，则平面平面，故A正确； 对于B，，，，则， 所以与不垂直，则与平面不平行，所以当在运动时，到平面的距离不是定值， 底面的面积为定值，则三棱锥的体积不是定值，所以B不正确； 对于C，由图可知 ，，所以周长最小值必定大于，故C错误； 对于D，可知正方体的球心，球的半径 ，，当时，， 所以，设平面法向量为， 所以，令，则 所以球心到平面的距离，， 所以平面截该正方体的外接球所得截面圆的半径， 则平面截该正方体的外接球所得截面的面积为，故D正确. 故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 【答案】 5 【解析】 由可得：， 由得：， 所以， 即； 又由各边及其对角线的长都是6，即各面都是等边三角形， 所以， 则 所以， 故答案为：①,②. 13．直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为 . 【答案】 【解析】，点到直线l的距离为. 故答案为：. 14．在棱长为1的正方体中，点F是棱的中点，P是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 取的中点，的中点，连接， 则， 则， ，故平行， 故， ， 故⊥，⊥， 又，平面， 故⊥平面， 故点在平面上， 故当点重合时，线段长度取得最大值， ， 故的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 【解析】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 设异面直线和夹角为， 则. 16．（15分） 在空间直角坐标系中，已知点，，． (1)若A，B，C三点共线，求a和b的值； (2)已知，，且A，B，C，D四点共面，求a的值． 【解析】（1）由题可得，， ∵A，B，C三点共线， ∴，存在，， 即， ∴，解得， ∴，； （2）因为，，， ∵A，B，C，D四点共面， ∴，，共面， ∵，由（1）知A，B，C三点不共线， ∴存在，使， 即， ∴，解得， 所以． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，平面，，点为中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求与所成角的余弦值； (3)求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）以，所在直线为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 过作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又，平面，平面，所以平面． 因为，，，则，，， 得， 又，，，， 所以， 所以， 设与所成角为，故， 即得与所成角的余弦值为． （3）设，则， 因为，所以， 则有，，则， 设平面的法向量为，则， 取，则，，即平面的一个法向量为， 所以 ， 因为，所以，故， 又与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围是． 18．（17分） 如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． (1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的大小; (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 【解析】（1）是正三角形, 为的中点,, 又平面,平面, , 又平面,平面,平面,且, 平面. （2） 取的中点,连接, 由（1）得平面,且底面是的正方形,所以以为原点,分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,得到如下点的坐标, 又,,分别是,,上的点,且满足, ， ,, 由（1）得平面,所以平面的法向量为, 设平面的法向量为, 则,即,解得,, 设平面与平面所成锐二面角为, , 所以平面与平面所成锐二面角的大小. （3）设线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为,且, ,, , 整理可得:,方程无解, 不存在这样的点. 19．（17分） 如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若，，．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作 (1)求证：向量为平面OAB的法向量； (2)若，，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与的大小； (3)将四边形OADB按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积V与的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用） 【解析】（1）证明：因为 ， 所以，即， 因为 ， 所以，即， 又因， 所以向量为平面OAB的法向量； （2）， 则， 故， 由，，得， 所以， 所以； （3）设点到平面的距离为，与平面所成的角为， 则， 由（1）得向量为平面OAB的法向量， 则， 又， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$