第07讲 空间向量的应用（七大题型）-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第07讲 空间向量的应用 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 知识点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3、平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 知识点四、用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 知识点五、用向量方法求空间距离 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3、点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【典例例题】 题型一：求平面的法向量 【典例1-1】（2024·高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【典例1-2】（2024·高二·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，G在棱CD上，且，H为的中点．    (1)求. (2)求平面的一个法向量 【变式1-1】（2024·高二·全国·课后作业）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量?    【变式1-2】（2024·高二·河南漯河·阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 题型二：利用向量研究平行问题 【典例2-1】（2024·高二·江苏·专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 【典例2-2】（2024·高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 【变式2-1】（2024·高二·全国·随堂练习）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． 【变式2-2】（2024·高二·河北张家口·阶段练习）如图，三棱锥的底面为等腰直角三角形，，．，分别为，的中点，平面，，点在线段上．    (1)试确定的位置使得平面平面； (2)在（1）的条件下，判断直线与平面的位置关系，并说明理由． 题型三：利用向量研究垂直问题 【典例3-1】（2024·高二·湖南长沙·阶段练习）在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（    ） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 【典例3-2】（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高二·浙江·期中）已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.    (1)求该正三棱台的表面积； (2)求证：平面 【变式3-2】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点. 求证：平面平面. 【变式3-3】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 题型四：异面直线所成的角 【典例4-1】（2024·高二·青海海东·阶段练习）如图，在正四棱柱 中， M是棱上任意一点. (1)求证: (2)若M是棱的中点，求异面直线AM与BC 所成角的正切值. 【典例4-2】（2024·高二·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值． 【变式4-1】（2024·高二·江苏连云港·期中）如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，E为棱的中点，M为棱的中点． (1)证明：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【变式4-2】（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，．    (1)求的长； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【变式4-3】（2024·高二·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为1，且与的夹角都等于60°，M在棱上，，设，． (1)试用表示出向量； (2)求与所成的角的余弦值． 题型五：线面角 【典例5-1】（2024·高二·江苏·假期作业）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，平面，，点为中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求与所成角的余弦值； (3)求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【典例5-2】（2024·高二·湖南岳阳·期末）如图，在圆锥中，为圆的直径，为圆弧的两个三等分点，为的中点，； (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式5-1】（2024·高二·四川成都·期末）如图，在斜三棱柱 中， 分别是 的中点. (1)证明: 平面 ; (2)若 ，且 ，求直线 与平面所成角的正弦值. 【变式5-2】（2024·高二·江苏南京·期中）四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】（2024·高二·广东河源·阶段练习）如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，． (1)证明：是等边三角形； (2)已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值． 题型六：二面角 【典例6-1】（2024·高二·广东湛江·阶段练习）在正四棱柱中，，为棱中点． (1)证明平面． (2)求二面角的正弦值． 【典例6-2】（2024·高二·青海海东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点． (1)证明：； (2)求平面ADEF与平面PCD的夹角． 【变式6-1】（2024·高二·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． (1)求证：平面﹔ (2)求二面角的余弦值． 【变式6-2】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知四棱锥，底面是正方形，平面平面，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【变式6-3】（2024·高二·江苏·假期作业）如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)取线段中点连接，判断直线与平面是否平行并说明理由； (2)求到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式6-4】（2024·高二·江苏·假期作业）在三棱柱中，已知，，，，是的中点． (1)求证：； (2)在棱上是否存在点，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由． 题型七：距离问题 【典例7-1】（2024·高二·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 【典例7-2】（2024·高二·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【变式7-1】（2024·高二·江苏扬州·期末）已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【变式7-2】（2024·高二·广东佛山·期中）如图，在长方体中，，，求： (1)点到直线BD的距离； (2)点到平面的距离； (3)异面直线之间的距离. 【过关测试】 1．（2024·高二·江苏盐城·期中）设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（2024·高二·江苏盐城·期中）为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·高二·云南昆明·期中）如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．③④ B．①② C．②④ D．②③ 4．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动．    (1)证明：； (2)求平面的法向量． 5．（2024·高二·新疆·阶段练习）在长方体中，，，.以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，求平面的法向量. 6．（2024·高三·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点． (1)求多面体的体积； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面？ 7．（2024·高二·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 8．（2024·高二·全国·专题练习）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面； 9．（2024·高二·湖南株洲·期中）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 10．（2024·高二·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 11．（2024·高二·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD． 12．（2024·高二·四川成都·期中）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 13．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 14．（2024·高三·全国·专题练习）如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，．证明：平面； 15．（2024·高三·全国·专题练习）如图，已知直三棱柱为的中点，为侧棱上一点，且，三棱柱的体积为32．过点作，垂足为点，求证：平面； 16．（2024·高二·四川攀枝花·期末）如图所示，在梯形中，，，.四边形为矩形，且平面. (1)求证：平面； (2)若直线与所成角的正切值为，点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 17．（2024·高二·上海徐汇·期末）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.    (1)求证： (2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 18．（2024·高二·湖北·阶段练习）如图，三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，点在底面内的射影为的垂心. (1)证明：； (2)设，若，则当取何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？ 19．（2024·高二·甘肃庆阳·期中）在三棱锥中，两两垂直，且为的重心. (1)求点P到的重心G的距离； (2)求直线PG与平面ABC所成角的正弦值. 20．（2024·高二·浙江宁波·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 21．（2024·山东济南·三模）如图，在三棱台中，平面平面，，，．    (1)求三棱台的高； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 22．（2024·高二·山西运城·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面ABCD，M是棱PD上的动点，是棱AB上的一点，且. (1)求证:; (2)若直线MN与平面MBC所成角的正弦值是，求点的位置. 23．（2024·高二·江苏·假期作业）如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，，，平面． (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求二面角的余弦值． 24．（2024·高二·江苏·假期作业）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 25．（2024·高二·江苏南京·期末）如图，所有棱长均为2的正四棱锥，点，分别是，上靠近，的三等分点. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 26．（2024·高二·江苏·假期作业）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 27．（2024·高二·江苏徐州·期中）如图，在四面体中，平面，点在线段上.    (1)当点是线段中点时，求点到平面的距离； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 28．（2024·高二·江苏淮安·期中）已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求 (1)与所成角的余弦值； (2)与平面所成角的正弦值； (3)直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由. 29．（2024·高二·江苏宿迁·期末）如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为． (1)求证：； (2)若，求三棱台的体积； (3)若到平面的距离为，求的值． 30．（2024·天津·高考真题）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 31．（2024·高二·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 32．（2024·高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 33．（2024·高二·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 34．（2024·高二·江苏淮安·阶段练习）如图，圆锥是由直角旋转而成，母线，底面圆的半径为1，D是AB的中点，为底面圆上的一点且， (1)求点到平面ABC的距离； (2)求直线CD与平面AOB所成的角的正弦值； (3)求点O到直线CD的距离， 35．（2024·高二·全国·竞赛）如图，在底面边长为2，侧棱长为6的正三棱柱中，一细绳自点绕正三棱柱的侧面一周后到达点，绳子拉紧后与侧棱分别交于点，此时绳子最短． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与间的距离． 36．（2024·高二·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 37．（2024·高二·辽宁沈阳·期末）如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与之间的距离． 38．（2024·高一·全国·课后作业）正方体中，边长为2，求异面直线与的距离． 39．（2024·高二·浙江杭州·期末）已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，. (1)求四棱锥的体积； (2)是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 空间向量的应用 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 知识点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3、平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 知识点四、用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 知识点五、用向量方法求空间距离 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3、点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【典例例题】 题型一：求平面的法向量 【典例1-1】（2024·高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【解析】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点， 所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以. 综上可知，直线两两垂直， 所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示： 由题意，在正和正中，， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，化简得， 令，则，即 所以平面的一个法向量为（答案不唯一）. 【典例1-2】（2024·高二·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，G在棱CD上，且，H为的中点．    (1)求. (2)求平面的一个法向量 【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点， 则有，，，，，，，，， . （2）设平面的法向量， ，，， 则有，即，令，则， 所以. 【变式1-1】（2024·高二·全国·课后作业）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量?    【解析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设DA＝2，则， ∴，, ∵，∴， 设，，∴，∴ ∴，∴ ∵＝0，∴，∴， ∴F为线段PB的一个三等分点(靠近P点)． 【变式1-2】（2024·高二·河南漯河·阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 【解析】因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直. 如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A－xyz， 则，， ，，， 于是，， 设平面ACE的一个法向量为， 则，即，所以， 令，则，，即 所以平面ACE的一个法向量. 题型二：利用向量研究平行问题 【典例2-1】（2024·高二·江苏·专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 【解析】（1）由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有, 则, 所以, ， 即, 又,平面, 故平面.又平面， 所以平面平面. （2）根据题意，有, 则, 故 又不共线，所以为平面的一个法向量. 又因为,且 即,且平面， 故有平面. 【典例2-2】（2024·高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 【解析】因为底面为矩形，底面，所以AB，AD，AO两两互相垂直， 所以分别以AB，AD，AO所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，即 ，取，得 所以 又平面，所以直线平面 【变式2-1】（2024·高二·全国·随堂练习）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． 【解析】（1）证明：以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的边长为， 则 所以，， 因为，， 所以，， 因为平面，平面，， 所以平面． （2）由（1）知，是平面的一个法向量， 由点，，得， 因为， 所以， 因为平面，且， 所以平面． （3）由题可知，， 设平面的一个方向量为， 由得，取则， 因为，，即， 所以， 所以平面平面． 【变式2-2】（2024·高二·河北张家口·阶段练习）如图，三棱锥的底面为等腰直角三角形，，．，分别为，的中点，平面，，点在线段上．    (1)试确定的位置使得平面平面； (2)在（1）的条件下，判断直线与平面的位置关系，并说明理由． 【解析】（1）由题意， 在三棱锥中，， 平面，平面，平面， ∴，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴，，，，，， 设． ∴，，，，． ∴， 设平面法向量为， 则，令，可得， 设平面法向量为， 则，可令，可得， 要使平面平面，则， ∴，解得， ∴即时平面平面， ∴为上靠近的三等分点时平面平面． （2）由题意及（1）得，平面，理由如下， 在三棱锥中，，平面法向量为， ∵， ∴平面， ∵平面， ∴平面． 题型三：利用向量研究垂直问题 【典例3-1】（2024·高二·湖南长沙·阶段练习）在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（    ） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 【答案】D 【解析】以正方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 设正方体棱长为1， 则， 所以， 若，则， 即，方程有无数组解， 故选：D 【典例3-2】（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】结合题意：以分别为建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，可得. 设， 则， 因为平面，所以, 即，解得， 所以，所以， 所以， 因为，结合复合函数单调性可得在单调递增. 故. 故选：D. 【变式3-1】（2024·高二·浙江·期中）已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.    (1)求该正三棱台的表面积； (2)求证：平面 【解析】（1）将正三棱台补成正三棱锥，如图所示： 因为，且，则、分别为、的中点， 则，，故是边长为的等边三角形， 由此可知，、都是边长为的等边三角形， 易知是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形， 故正三棱台的表面积为. （2）设点在底面的射影为点，则为正的中心， 取的中点，连接，则， ，则， 因为平面，平面，则， 所以，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、 、， 则，，， 所以，，，所以，，， 因为，、平面，故平面. 【变式3-2】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点. 求证：平面平面. 【解析】证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示 则 所以 所以即， 所以即， 又，平面PAD， 所以平面PAD， 又平面，所以平面平面PAD. 【变式3-3】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 【解析】证明：如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，因为，所以， 所以，即， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以， 所以， 所以平面平面. 题型四：异面直线所成的角 【典例4-1】（2024·高二·青海海东·阶段练习）如图，在正四棱柱 中， M是棱上任意一点. (1)求证: (2)若M是棱的中点，求异面直线AM与BC 所成角的正切值. 【解析】（1）以A为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，则，， 可得，则， 所以，即. （2）是棱的中点，故，则， 设异面直线与所成角的大小为，， 则， 所以， 故异面直线与所成角的正切值为. 【典例4-2】（2024·高二·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）由题意以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则， 则， 所以， 所以， 所以，即， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，，所以， 记直线与所成角为，则 ， 故直线与所成角的余弦值为. 【变式4-1】（2024·高二·江苏连云港·期中）如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，E为棱的中点，M为棱的中点． (1)证明：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）因为底面，平面， 所以， 而， 所以、、两两互相垂直， 不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如上图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、，， ，， 因为，所以，则； （2），， ， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 【变式4-2】（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，．    (1)求的长； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【解析】（1）以为基底，则，，，. ， 所以，即的长为. （2） ， 又由余弦定理得， 所以设所求异面直线所成角为，． 【变式4-3】（2024·高二·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为1，且与的夹角都等于60°，M在棱上，，设，． (1)试用表示出向量； (2)求与所成的角的余弦值． 【解析】（1）由知，点是的中点，故； （2）设与所成的角为，依题意，，， 则由（1）可得，故， 又， 故，即与所成的角的余弦值为. 题型五：线面角 【典例5-1】（2024·高二·江苏·假期作业）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，平面，，点为中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求与所成角的余弦值； (3)求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）以，所在直线为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 过作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又，平面，平面，所以平面． 因为，，，则，，， 得， 又，，，， 所以， 所以， 设与所成角为，故， 即得与所成角的余弦值为． （3）设，则， 因为，所以， 则有，，则， 设平面的法向量为，则， 取，则，，即平面的一个法向量为， 所以 ， 因为，所以，故， 又与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围是． 【典例5-2】（2024·高二·湖南岳阳·期末）如图，在圆锥中，为圆的直径，为圆弧的两个三等分点，为的中点，； (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为面圆，又面圆，所以， 又为圆弧的两个三等分点，所以，得到， 又，所以, 又，面，所以面， 又面，所以平面平面. （2）取的中点，连接，如图，以所以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因为为的中点，， 所以， 又因为，，所以， 则，， 设平面的一个法向量为，由，得到， 取，得到，，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 【变式5-1】（2024·高二·四川成都·期末）如图，在斜三棱柱 中， 分别是 的中点. (1)证明: 平面 ; (2)若 ，且 ，求直线 与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）连接交于点E，连接OE，， ∵O，E分别是AB，的中点，D为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形，则． ∵平面，平面， ∴平面． （2）连接OC， ∵，, ∴为正三角形， ∴， ∵，且都在面， ∴平面ABC，而面，故， 由，易知△ABC是等腰直角三角形， ∴， 以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则，，，， 由，可得，且，， 设平面的法向量为， ∴，即，令，， 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成的角正弦值为． 【变式5-2】（2024·高二·江苏南京·期中）四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图1，取的中点，连接 因为且，又因为分别是的中点， 所以且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，所以，令， 又因为，所以， 如图2，以为原点，所在方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， 所以 设点坐标为，则， 由得，则， 所以，， 设平面的一个法向量为， 由，令，则， 所以面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． （3）存在，，理由如下： 设， 所以设，，所以， 所以， 因为与平面所成角的正弦值为，所以， 整理得，解得或（舍）， 所以存在满足条件的点，，则. 【变式5-3】（2024·高二·广东河源·阶段练习）如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，． (1)证明：是等边三角形； (2)已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：由及AB，CD分别是上、下底面的直径可知，A，B，C，D四点共面． 作于点F，则，，故， 因为，所以， 故是等边三角形． （2）以为原点，过点与平面ABCD垂直的直线为x轴， 分别以，所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接， 则，，，由题易知，故， ，，， 设平面BCE的法向量为， 则即，取，得， 记直线BD与平面BCE所成的角为θ， 则． 故直线BD与平面BCE所成角的正弦值为． 题型六：二面角 【典例6-1】（2024·高二·广东湛江·阶段练习）在正四棱柱中，，为棱中点． (1)证明平面． (2)求二面角的正弦值． 【解析】（1）因为是正四棱柱，所以侧面， 而平面，所以 又，，平面，所以平面； （2）如图建立空间直角坐标系，则，，设，则， 所以，， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，， 则，，， 设是平面的法向量， 所以取， 设是平面的法向量， 所以取， 设二面角为，则， 所以二面角的正弦值为. 【典例6-2】（2024·高二·青海海东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点． (1)证明：； (2)求平面ADEF与平面PCD的夹角． 【解析】（1）∵平面ABCD，平面， ∴， 又四边形ABCD为正方形， 故，AB，PA为平面PAB上的相交直线， ∴平面PAB， ∵平面， ∴， ∵等腰三角形PAB中F是PB的中点， ∴， ∵，平面， ∴平面ADEF， ∵平面ADEF， ∴． （2）平面ABCD，平面， 故， 易知AB，AD，AP两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系， 如图所示，则，，，，，， 由（1）得平面ADEF， 可得平面ADEF的一个法向量， 设平面PCD的一个法向量， 则， 解得，令得，故， ∴， 设平面ADEF与平面PCD的夹角为，则， 故， ∴平面ADEF与平面PCD的夹角为60°． 【变式6-1】（2024·高二·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． (1)求证：平面﹔ (2)求二面角的余弦值． 【解析】（1） 如图，连接交于，连接， 由是的中点可得，又为正方形， 所以，所以，所以，即， 又，即，所以/， 又平面，平面，所以平面； （2） 因平面平面，且平面平面，为等边三角形，点是线段的中点， 可得，又平面，故得平面. 如图，取的中点为，连接，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，， 所以，，则， 设平面的法向量为，由， 则，故可取； 又平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 【变式6-2】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知四棱锥，底面是正方形，平面平面，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【解析】（1）因为平面平面，， 且平面平面平面， 所以平面． （2）由题意和（1）知，两两垂直， 以A为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 可得． 易知平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，则， 令，则，可得． 设平面与平面的夹角为， 则， 可得 所以平面与平面的夹角的正弦值为． 【变式6-3】（2024·高二·江苏·假期作业）如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)取线段中点连接，判断直线与平面是否平行并说明理由； (2)求到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）平面． 理由如下证明：取中点，连接， 因为为的中点，且，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，， 因为为等边三角形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 如图所示， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则,,，,1,，,0,，,,，， ，， 设平面的法向量为， 所以， 令，则， ， 故到平面的距离． （3）设,,，， 所以， 所以， 则，， 设平面的法向量为,,， 则， 令，则， 又平面的法向量为， 于是， 化简得，又,， 得， 即， 故存在点，此时． 【变式6-4】（2024·高二·江苏·假期作业）在三棱柱中，已知，，，，是的中点． (1)求证：； (2)在棱上是否存在点，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为，， 所以根据余弦定理可得，代入数值解得， 所以，可得， 又因为，是的中点， 所以，， 所以在△ 中，，，解得， 所以，可得， 因为，， 所以， 又，，平面，平面， 所以平面， 而平面， 所以， 又，，平面，平面， 所以平面， 而平面， 所以，得证； （2）由（1）得平面，， 以为原点，为轴，垂直于所在的直线为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，， 根据三棱柱的性质可知， 假设存在符合题意的点，设， 所以，， 设平面的法向量为，，， 由，得到， 取，所以， 所以平面 的法向量为， 而且平面的法向量为， 因为二面角的正弦值为， 所以二面角的余弦值为， 所以，解得， 又因为，， 所以，此时， 所以， 综上，在棱 上存在点，使得二面角的正弦值为，的长度为． 题型七：距离问题 【典例7-1】（2024·高二·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 【解析】（1）   ，，． 又，，面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，， 设为面PEF的法向量， 令，则，，，， 设点D到平面PEF的距离为d，则． （2）设点AC到平面PEF的距离为，，则． 【典例7-2】（2024·高二·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【解析】（1）因为平面，平面，则， 又因为为矩形，则， 且，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面. （2）由题意可知：平面，且， 如图，以A为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设， 由题意可得，解得， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 则， 由题意可知：二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. （3）设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离. 【变式7-1】（2024·高二·江苏扬州·期末）已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【解析】（1）证明：取的中点，连接， 所以， 所以，所以， 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知两两垂直， 所以以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 所以， . 因为，则， 设平面的法向量为， 则即 取， 所以是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， ， 化简整理得 解得，或（舍去）， 所以， 又因为， 所以. 设点到直线的距离为，则， 所以. 【变式7-2】（2024·高二·广东佛山·期中）如图，在长方体中，，，求： (1)点到直线BD的距离； (2)点到平面的距离； (3)异面直线之间的距离. 【解析】（1） 以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，，则，，，，， 所以，，所以在上的投影向量的大小为，又，所以点到直线BD的距离； （2）由(1) ，，， 设平面的法向量，则，所以， 取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为； （3）由(1) ，，所以，所以，又平面，平面，所以平面，所以异面直线之间的距离与点到平面的距离相等，设平面的法向量，因为，则，所以， 取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为；故异面直线之间的距离为. 【过关测试】 1．（2024·高二·江苏盐城·期中）设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】因为直线垂直于平面α，所以直线的方向向量与平面的法向量平行， 即，解得. 故选：A. 2．（2024·高二·江苏盐城·期中）为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】因为 不重合，， 对①，平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确； 对②，平面的法向量垂直等价于平面垂直，故②正确； 对③，若 ，故③错误； 对④，，故④正确. 故选：C. 3．（2024·高二·云南昆明·期中）如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．③④ B．①② C．②④ D．②③ 【答案】D 【解析】设正方体的棱长为， 对于①：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以①错误； 对于②：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以②正确； 对于③：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以③正确； 对于④：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误； 故选：D. 4．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动．    (1)证明：； (2)求平面的法向量． 【解析】（1）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，，设，， 所以， 所以． （2），，，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 平面的法向量为. 5．（2024·高二·新疆·阶段练习）在长方体中，，，.以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，求平面的法向量. 【解析】如图，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系， 则，得， 设为平面的一个法向量， 则，取，得， 所以平面的一个法向量为. 6．（2024·高三·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点． (1)求多面体的体积； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面？ 【解析】（1） （2）设点到平面的距离为， 由得， 在中，，，， 则，， 故的面积为 由以上数据解得. （3）如图，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， ，，，，， 则，，． 设面的法向量，则，即． 令得． 因为平面，所以，即． 所以，得， ，所以．因为，， 所以存在在三等分点处靠近，使得平面． 7．（2024·高二·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 【解析】由题意可知底面为正方形， 因为平面，平面，所以两两垂直， 如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系， 则有关点及向量的坐标为： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量为， 因为，又在平面外， 所以平面. 8．（2024·高二·全国·专题练习）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面； 【解析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系， 则 ∵分别是的中点 ∴ 则 显然平面的一个法向量为， 所以，则， 又面 ，所以平面. 9．（2024·高二·湖南株洲·期中）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【解析】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，． 由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 10．（2024·高二·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【解析】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接. 设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 11．（2024·高二·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD． 【解析】 如图，因平面ABCD，底面ABCD为正方形，故可以分别为的正方向建立空间直角坐标系. 又PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点， 则, , 于是，不妨设平面PCD的法向量为， 则有令，故可取， 因，则平面PCD. 12．（2024·高二·四川成都·期中）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 【解析】证明：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面， 以A为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ，则， 故, 设平面的法向量为，则, 令，则， ， 设平面的法向量为，则, 令，则， 则， 故平面平面. 13．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 【解析】以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则由题意得，，，， ， ， ∴，即：， ∴． 14．（2024·高三·全国·专题练习）如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，．证明：平面； 【解析】证明：因为三棱柱为直三棱柱， 所以， 又因为，，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为为正方形，所以， 所以两两垂直， 所以以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，， 所以，， 因为平面，， 所以平面， 15．（2024·高三·全国·专题练习）如图，已知直三棱柱为的中点，为侧棱上一点，且，三棱柱的体积为32．过点作，垂足为点，求证：平面； 【解析】由直三棱柱，得平面，又， 可得三棱柱的体积，得． 因为三棱柱为直三棱柱，所以， 因为，所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则．设，则， 故． 因为，所以， 所以，解得，即． 所以， 所以， . 所以． 又因为平面ACQ，平面ACQ，， 所以平面． 16．（2024·高二·四川攀枝花·期末）如图所示，在梯形中，，，.四边形为矩形，且平面. (1)求证：平面； (2)若直线与所成角的正切值为，点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 【解析】（1）因为四边形为梯形，，，， 所以，，则，即 又因为平面，面ABCD，所以. 因为、都在平面内，， 所以面. （2）取中点，连结，，由，知， 由（1）知，共面且不共线，所以， 故直线与所成角为. 由平面，面ABCD，所以，又， 在面内，且，故面， 所以面，面，则， 在中，，，所以， 在，易得， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图所示， 则，，， ，， 设为平面的法向量，则 ，即，取，则. 所以 由题可知，是平面的一个法向量， 所以. 因为，解得或（舍去）. 当点为线段的靠近的三等分点时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 17．（2024·高二·上海徐汇·期末）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.    (1)求证： (2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为四边形为正方形，平面， 如图以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以，所以. （2）设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为， 则，又， 所以，解得（负值舍去）， 所以存在满足条件， 所以，依题意可得， 设为平面的法向量， 则，设，可得， 所以点到平面的距离为. 18．（2024·高二·湖北·阶段练习）如图，三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，点在底面内的射影为的垂心. (1)证明：； (2)设，若，则当取何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？ 【解析】（1）设点在底面内的射影为，连接并延长交于， 因为为等边三角形且为的重心，所以为的中点，且， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以. （2）连接，由平面，平面，则，又为的中点，则. 又，所以. 以所在直线为轴，过且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为是边长为的等边三角形，为重心，所以， ，，又， 所以， 所以，， ， 因为，所以， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，则得， 所以， 所以当时，， 故当时，直线与平面所成角的正弦值最大. 19．（2024·高二·甘肃庆阳·期中）在三棱锥中，两两垂直，且为的重心. (1)求点P到的重心G的距离； (2)求直线PG与平面ABC所成角的正弦值. 【解析】（1）以P为坐标原点，PA，PB，PC所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，且， 则， 所以的重心G的坐标为， 所以点P到的重心G的距离为. （2）由（1）得， 设平面ABC的法向量为，则， 即，令，则. 设直线PG与平面ABC所成的角为，则. 20．（2024·高二·浙江宁波·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由矩形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又面，于是， 而，，平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）取的中点，作，连接，由（1）知，平面， 而平面，则，又，，则，即两两垂直， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 假定在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，设， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 于是，整理得，解得或， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时或. 21．（2024·山东济南·三模）如图，在三棱台中，平面平面，，，．    (1)求三棱台的高； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【解析】（1）作于点O，因为平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面，即为三棱台的高， 又因为平面，所以，连接， 因为，，所以， ，平面，所以平面， 又平面，所以，，， 所以，，所以三棱台的高为； （2）以O为原点，在面内，作，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为，则，可取， 设，则， 设直线与平面所成角为，， 化简得，解得，或（舍去，因为，则，所以）， 所以． 22．（2024·高二·山西运城·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面ABCD，M是棱PD上的动点，是棱AB上的一点，且. (1)求证:; (2)若直线MN与平面MBC所成角的正弦值是，求点的位置. 【解析】（1）证明：因为，所以， 所以， 因为平面平面ABCD，平面平面平面， 所以平面ABCD， 因为平面ABCD， 所以， 因为四边形是矩形，所以，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 所以， 因为 所以，即； （2）由（1），得 设为平面的法向量， 则，令，得，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 所以，因为，所以， 即是棱PD的中点. 23．（2024·高二·江苏·假期作业）如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，，，平面． (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求二面角的余弦值． 【解析】（1）由题意，以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，，，，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为． （2）因为平面，， 所以平面，因为平面， 所以，又，平面， 所以平面， 所以是平面的一个法向量， 设为平面的一个法向量， 则，令，则，， 平面法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 由图易知为钝角， 故二面角的平面角的余弦值为． 24．（2024·高二·江苏·假期作业）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【解析】（1）由题意得：，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 而平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，连结，， 由已知得，是边长为2的等边三角形， 是以为腰的等腰三角形， 则，，所以，，， 故，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 所以， ， 故二面角的正弦值． 25．（2024·高二·江苏南京·期末）如图，所有棱长均为2的正四棱锥，点，分别是，上靠近，的三等分点. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 【解析】（1）连接交于，建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，，，，， ∴，， ∴， ∴. （2），， 设平面的法向量为，则 ， 取. 取平面的法向量为， 所以，，， 设二面角的平面角为， . ∴由图可知二面角的余弦值为 26．（2024·高二·江苏·假期作业）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：在中，由余弦定理知，， 所以，即， 因为，且，、平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，， 所以，0，，，，，，，， ，0，，，，， 所以，0，，，，，， 设平面的法向量为，，，则， 即， 取，则，，所以，，， 设平面的法向量为，，，则，即， 取，则，，所以，，， 因为平面和平面夹角的余弦值为， 所以， 整理得，，即， 解得或， 因为，所以， 故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时． 27．（2024·高二·江苏徐州·期中）如图，在四面体中，平面，点在线段上.    (1)当点是线段中点时，求点到平面的距离； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 【解析】（1）由平面，，得两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 由为的中点，则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，得，而， 所以点到平面的距离为. （2）设点，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然平面的一个法向量为， 则，解得， 此时点为的中点，所以. 28．（2024·高二·江苏淮安·期中）已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求 (1)与所成角的余弦值； (2)与平面所成角的正弦值； (3)直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由. 【解析】（1）在平面ABC内过B作垂直于BC的直线BE，因为平面ABC与平面BDC垂直， 且平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以BE，BD，BC两两垂直，建立如图空间直角坐标系 则 ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为; （2）平面BCD的法向量， 所以， 则与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在，设， 设平面CDP的法向量， ，取，则，， 则， 所以或 则点P存在 所以或. 29．（2024·高二·江苏宿迁·期末）如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为． (1)求证：； (2)若，求三棱台的体积； (3)若到平面的距离为，求的值． 【解析】（1）取的中点为，连接；如下图所示： 易知平面平面，且平面平面，平面平面； 所以，又因为， 可得四边形为等腰梯形， 且分别为的中点，所以， 因为，所以， 易知，且平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）由二面角定义可得，二面角的平面角即为， 当时，即，因此可得平面， 可知即为三棱台的高，由可得； 易知三棱台的上、下底面面积分别为， 因此三棱台的体积为 （3）由（1）知，，，二面角的平面角即为； 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 可得， 易知，可得； 则 设平面的一个法向量为， 所以， 令，则，可得； 显然， 由到平面的距离为，可得， 即，可得； 整理得，解得或； 又，可得. 30．（2024·天津·高考真题）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【解析】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 31．（2024·高二·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【解析】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 32．（2024·高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【解析】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离. （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 33．（2024·高二·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【解析】（1）连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以，                                           因为面，面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，，                                     设平面的法向量为， 则，即， 令，可取，                          平面的法向量可取， 所以，得，                                            因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 34．（2024·高二·江苏淮安·阶段练习）如图，圆锥是由直角旋转而成，母线，底面圆的半径为1，D是AB的中点，为底面圆上的一点且， (1)求点到平面ABC的距离； (2)求直线CD与平面AOB所成的角的正弦值； (3)求点O到直线CD的距离， 【解析】（1）在所在平面内作， 由题意可得面OBC，因为面OBC，面OBC， 所以，， 以O为原点，以OM、OB、OA所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 由题意可得：，，， ， 则，， 设平面ABC的一个法向量， 则，即， 令，则 所以点到平面ABC的距离为. （2）设直线CD与平面AOB所成角为， 设平面AOB的一个法向量， 因为， 所以则，即， 令，则， 又因为， 所以. （3）因为，， 所以，， ， 所以. 35．（2024·高二·全国·竞赛）如图，在底面边长为2，侧棱长为6的正三棱柱中，一细绳自点绕正三棱柱的侧面一周后到达点，绳子拉紧后与侧棱分别交于点，此时绳子最短． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与间的距离． 【解析】（1）如图，以点为原点，为轴的正方向，为轴的正方向，建立直角坐标系． 由于绳子的长度最短，所以侧面展开图中3条折线段必须共线，此时的竖坐标将三棱柱的高三等分； 易得各点的坐标为， 向量， 设直线与所成的角为， 则， 故与所成角的余弦值为． （2）要求异面直线与间的距离，只需求出与都垂直的一个向量， 向量在上的正射影长即为异面直线与间的距离． 由于，所以, 令，解得，因此可得， 向量在上的正射影为． 即异面直线与间的距离为. 36．（2024·高二·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 【解析】（1）三棱台中，，则， 有，得，所以， 又，所以在平面内，，有， 平面平面，所以平面． （2）已知平面平面ABC，平面平面，， 平面，所以平面，由平面，得， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，由平面ABC，得. 以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系． 则有， ， 因为，所以， 设向量，且满足：， 则有，令， 在的投影数量为， 异面直线与DE的距离. 37．（2024·高二·辽宁沈阳·期末）如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与之间的距离． 【解析】（1）图①菱形，，由余弦定理得，所以， 所以，即，又，所以， 在图②中，，即，又平面 所以平面，即平面， 又平面，所以，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，故， 则异面直线与所成的角的余弦值为； （2）由（1）得，设是异面直线与公垂线的方向向量， 所以，令，则 所以异面直线与之间的距离为. 38．（2024·高一·全国·课后作业）正方体中，边长为2，求异面直线与的距离． 【解析】 在正方体中，建系如图， 则， 所以， 设， 则有令， 所以， 所以异面直线与的距离为. 39．（2024·高二·浙江杭州·期末）已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，. (1)求四棱锥的体积； (2)是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由. 【解析】（1） ∵侧面为正方形，∴， 又，且，面， ∴平面，又， ∴平面，取BC中点G， 则，∴平面. ∴. （2）以为原点，分别以BA，BC，所在直线建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 设，则，，. 设与，均垂直的向量为， 则，即，取， ∴异面直线BF，DE的距离，解得或. ∴或. 故存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1，且此时或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$