第一章 整式的乘除——-同底数幂的乘法与除法、幂的乘方积的乘方 讲义 2023—2024学年北师大版数学七年级下册

专题01 同底数幂的乘法与除法 【知识网络】 【基础巩固】 考点一：同底数幂的乘法 1.同底数幂相乘，底数________，指数________，即_____________________（、都是正整数）． 注意： ①同底数幂的乘法公式运用的前提是底数必须相同； ②单独一个字母的指数是1，而不是0； ③公式中的底数可以取任何数或代数式，但指数必须是正整数． 2.同底数幂乘法法则的推广及逆用 ①同底数幂的乘法运算法则可推广到三个或三个以上同底数幂相乘的情况，即 ②逆用同底数幂的乘法法则可以将一个幂分解成两个同底数幂的乘积的形式， 即（、都是正整数）． 注意： 将幂转化成几个同底数幂的乘法，转化后指数的和应等于原指数． 【习题练习】 1.若，则等于________. 2. 计算的结果是________. 3.计算下列各式. （1）(x+y)3 · (x+y)4 （2） （3） （4）（m是正整数） 考点二：同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数_______，指数_______，即_____________________.（，，是正整数，）． 注意： ①底数a≠0，因为当a=0时，a的非零次幂都是0，而0不能作除数，所以a≠0； ②三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质； ③同底数幂的除法法则的逆用：． 2. 零指数幂 一般地，规定______________（），即任何______________的数的0次幂等于1． 3. 负整数指数幂 一般地，规定______________（，是正整数），即任何不等于0的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数． 4. 用科学记数法表示绝对值较小的数 将小于1的数表示成_______________的形式，其中，n是一个负整数． 【习题练习】 1. 下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 2. 用科学记数法表示：0.0000108是______________. 3. 已知，则　　． 4.填空：（1）（2）　（3）＝ 5.计算下列各式. （1） （2） （3）（-ab）5÷（ab）2 　 （5） （6） 【强化提升】 1．计算的结果正确的是　　 A． B． C． D．5 2．化简所得的结果是　　 A． B． C． D． 3．纳米是一种长度单位，1米纳米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示这种花粉的直径为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 4．若，，则等于　　 A．2 B．6 C．8 D．16 5．已知，则的值为　　 A．64 B．8 C．6 D．12 二、填空题 7．　　． 8．　　． 9．若，，则　　． 10．若，则的值为　　． 11．若，则　　． 三、解答题 12．计算： （1）； （2） （3）； （4）． 【培优训练】 1．若，，，，则　　 A． B． C． D． 2. 我们知道，同底数幂的除法法则为（其中，，为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：（其中，都为正数），请根据这种新运算填空： （1）若（2），（3），则（1）　　； （2）若，（2），那么　　（用含的代数式表示，其中． 3．学习平方根的过程中，同学们总结出：在中，已知底数和指数，求幂的运算是乘方运算；已知幂和指数，求底数的运算是开方运算．小茗提出一个问题：“如果已知底数和幂，求指数是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小茗善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究． 小茗课后借助网络查到了对数的定义： 对数的定义： 如果，那么数叫做以为底的对数，记作：．其中，叫作对数的底数，叫作真数． 小茗根据对数的定义，尝试进行了下列探究： （1），； ，； ，； ，　　； 计算：　　； （2）计算后小茗观察（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：　　；（用对数表示结果） （3）于是他猜想：　　且，，． 请你将小茗的探究过程补充完整，并再举一个例子验证（3）中他的猜想． 专题02 幂的乘方与积的乘方 【知识网络】 【基础巩固】 考点一：幂的乘方 1.幂的乘方 数学语言：__________________（m，n都是正整数）； 文字语言：幂的乘方，底数_________，指数_________． 注意： ①a可以表示数，也可以表示单项式或多项式，如：； ②法则的拓展：（m，n，p都是正整数） 2.幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 即将幂指数的乘法运算转化为幂的乘方运算． 【习题练习】 1. 下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 2. 计算等于　　 A． B．2 C． D． 3. 已知，则的值是　 　． 4. 计算： ① ② ③ 考点二：积的乘方 1. 积的乘方 数学语言：______________（n为正整数）； 文字语言：积的乘方，等于积中每个因式乘方的积． 注意： ①三个或三个以上的数的积的乘方，也具有这一性质，如 （n为正整数） ②进行积的乘方运算时，不要漏掉数字因数的乘方，如 ③表达式中的a，b可以表示一个数或一个单项式或一个多项式； 2. 积的乘方法则逆用 （n为正整数） 即几个因式的乘方（指数相同）的积，等于它们积的乘方． 【习题练习】 1. 下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 2. 下列各题中计算错误的是　　 A． B． C． D． 3. 计算：等于　 　． 4.计算： ① (5xy)3 ② （-3n）3 ③ ④ (ab3) n ⑤ ⑥ ⑦ 【强化提升】 一、单选题 1． 的计算结果是　　 A． B． C． D． 2．计算的结果是　　 A． B． C． D． 3．下列运算结果为的是　　 A． B． C． D． 4．若，那么的值是　　 A．10 B．52 C．20 D．32 5．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 6．已知：，，那么用的代数式表示正确的是　　 A． B． C． D． 二、填空题 7．若，则　 　． 8．　 　． 9．若，，则的值为　 　． 10．已知，，则　 　． 三、解答题 11．计算：． 【培优训练】 1.已知， ， ， 则a，b，c的大小关系是　 　 　． 2．（1）已知，．求的值； （2）已知为正整数，且．求的值． 3．规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ①　　，　　； ②若，则　　． （2）若，，，试说明下列等式成立的理由：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 同底数幂的乘法与除法 【知识网络】 【基础巩固】 考点一：同底数幂的乘法 1.同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 ，即 am·an=am+n （、都是正整数）． 注意： ①同底数幂的乘法公式运用的前提是底数必须相同； ②单独一个字母的指数是1，而不是0； ③公式中的底数可以取任何数或代数式，但指数必须是正整数． 2.同底数幂乘法法则的推广及逆用 ①同底数幂的乘法运算法则可推广到三个或三个以上同底数幂相乘的情况，即 ②逆用同底数幂的乘法法则可以将一个幂分解成两个同底数幂的乘积的形式， 即（、都是正整数）． 注意： 将幂转化成几个同底数幂的乘法，转化后指数的和应等于原指数． 【习题练习】 1.若，则等于 16 . 2. 计算的结果是 4×108 . 3.计算下列各式. （1）(x+y)3 · (x+y)4 （2） （3） （4）（m是正整数） =(x+y)7 =-x8 =-(a-b)8 =a5m-1 考点二：同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 ，即 am÷an=am-n .（，，是正整数，）． 注意： ①底数a≠0，因为当a=0时，a的非零次幂都是0，而0不能作除数，所以a≠0； ②三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质； ③同底数幂的除法法则的逆用：． 2. 零指数幂 一般地，规定 a0=1 ），即任何 不等于0 的数的0次幂等于1． 3. 负整数指数幂 一般地，规定（，是正整数），即任何不等于0的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数． 4. 用科学记数法表示绝对值较小的数 将小于1的数表示成 a×10n 的形式，其中，n是一个负整数． 【习题练习】 1. 下列运算中，正确的是　B　 A． B． C． D． 2. 用科学记数法表示：0.0000108是 1.08×10-5 . 3. 已知，则 -17 ． 4.填空：（1）（2）　（3）＝ 5.计算下列各式. （1） （2） （3）（-ab）5÷（ab）2、 =b2m =(x-y)3 =-a3b3 　 （5） （6） =(n-m)5 =-y2m-4 =- 【强化提升】 1．计算的结果正确的是　A　 A． B． C． D．5 2．化简所得的结果是　B　 A． B． C． D． 3．纳米是一种长度单位，1米纳米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示这种花粉的直径为　B　 A．米 B．米 C．米 D．米 4．若，，则等于　C　 A．2 B．6 C．8 D．16 5．已知，则的值为　B　 A．64 B．8 C．6 D．12 二、填空题 7．． 8．． 9．若，，则　10　． 10．若，则的值为　5　． 11．若，则　3　． 三、解答题 12．计算： （1）； （2） =-x9 =a13 （3）； （4）． =0 =-2x9 【培优训练】 1．若，，，，则　D　 A． B． C． D． 2. 我们知道，同底数幂的除法法则为（其中，，为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：（其中，都为正数），请根据这种新运算填空： （1）若（2），（3），则（1） 2 ； （2）若，（2），那么（用含的代数式表示，其中． 3．学习平方根的过程中，同学们总结出：在中，已知底数和指数，求幂的运算是乘方运算；已知幂和指数，求底数的运算是开方运算．小茗提出一个问题：“如果已知底数和幂，求指数是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小茗善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究． 小茗课后借助网络查到了对数的定义： 对数的定义： 如果，那么数叫做以为底的对数，记作：．其中，叫作对数的底数，叫作真数． 小茗根据对数的定义，尝试进行了下列探究： （1），； ，； ，； ，　4　； 计算：　5　； （2）计算后小茗观察（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：；（用对数表示结果） （3）于是他猜想：且，，． 请你将小茗的探究过程补充完整，并再举一个例子验证（3）中他的猜想． 专题02 幂的乘方与积的乘方 【知识网络】 【基础巩固】 考点一：幂的乘方 1.幂的乘方 数学语言： (am)n=amn （m，n都是正整数）； 文字语言：幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 ． 注意： ①a可以表示数，也可以表示单项式或多项式，如：； ②法则的拓展：（m，n，p都是正整数） 2.幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 即将幂指数的乘法运算转化为幂的乘方运算． 【习题练习】 1. 下列运算正确的是　D　 A． B． C． D． 2. 计算等于　B　 A． B．2 C． D． 3. 已知，则的值是 32 ． 4. 计算： ① ② ③ =-x2m =y7 =a12 考点二：积的乘方 1. 积的乘方 数学语言： (ab)n=anbn （n为正整数）； 文字语言：积的乘方，等于积中每个因式乘方的积． 注意： ①三个或三个以上的数的积的乘方，也具有这一性质，如 （n为正整数） ②进行积的乘方运算时，不要漏掉数字因数的乘方，如 ③表达式中的a，b可以表示一个数或一个单项式或一个多项式； 2. 积的乘方法则逆用 （n为正整数） 即几个因式的乘方（指数相同）的积，等于它们积的乘方． 【习题练习】 1. 下列计算正确的是　D　 A． B． C． D． 2. 下列各题中计算错误的是　C　 A． B． C． D． 3. 计算：等于． 4.计算： ① (5xy)3 ② （-3n）3 ③ ④ (ab3) n =125x3 y3 =-27n3 =x3 =anb3n ⑤ ⑥ ⑦ =-55x6 =3x2 y7 =x2 y6n +xny6n 【强化提升】 一、单选题 1． 的计算结果是　B　 A． B． C． D． 2．计算的结果是　A　 A． B． C． D． 3．下列运算结果为的是　B　 A． B． C． D． 4．若，那么的值是　A　 A．10 B．52 C．20 D．32 5．下列运算正确的是　A　 A． B． C． D． 6．已知：，，那么用的代数式表示正确的是　A　 A． B． C． D． 二、填空题 7．若，则 5 ． 8．　 3 　． 9．若，，则的值为　 18 　． 10．已知，，则　 4 　． 三、解答题 11．计算：． =15x8 【培优训练】 1.已知， ， ， 则a，b，c的大小关系是 a＞b＞c ． 2．（1）已知，．求的值； （2）已知为正整数，且．求的值． 解：（1）∵am·an=am+n，∴am+n=am·an=2×3=6 （2） ∵，∴7（x3n）2-3（x2）2n=7（x2n）3-3（x2n）2=7×73-3×72=2254 3．规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ①　3　，　5　； ②若，则　2　． （2）若，，，试说明下列等式成立的理由：． 解：∵，，，∴4a=5，4b=6，4b=30，∵5×6=30，∴4a·4b=4c， ∴。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$