第一章 整式的乘除——-整式的乘法、乘法公式 讲义 2023—2024学年北师大版数学七年级下册

专题03 整式的乘法与除法 【知识网络】 重难突破 【基础巩固】 考点一：单项式乘单项式 法则：单项式与单项式相乘，把它们的___________、___________________分别相乘，其余字母连同它的指数_________，作为积的因式． 注意： ①单项式乘单项式的结果仍是单项式； ②单项式乘单项式的法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用； ③注意运算顺序：有乘方先算乘方，再算乘法． 【习题练习】 1. 计算的结果是__________. 2. 计算的结果是____________. 3．下列计算错误的是 ( ) A．(-2.4 x2 y3)·(0.5 x4)＝-1.2 x6 y3 B．(-8 a3bc)·= a4 b2cx C．(-2 an) 2·(3 a2)3＝-54 a2n+6 D．x2n+2·(-3 xn+2)=-3x3n+4 4.计算下列各式 ①a3 x3(-2 ax2) ②(xn) 2+5 xn-2·xn+2 ③(0.1ab3)·(0.3a3bc) ④(-x5) 2·(-x5·x2) 2 ⑤(-3 an+2b) 3(-4abn+3)2； ⑥(4×103) 3·(-0. 125×102) 2 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 考点二：单项式乘多项式 法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 注意： ①计算时要注意符号问题，多项式中的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号； ②对于混合运算，应注意运算顺序，先算积的乘方与幂的乘方，再算乘法，最后有同类项时必须合并，从而得到最简结果； ③单项式与多项式相乘，结果为多项式． 【习题练习】 1. 下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 2. 化简，结果正确的是　　 A． B． C． D． 3. 今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内上应填写（ ） A． B． C． D．1 4.计算下列各式 ①2 xy(x2+xy+y2)； ② ③0.5mn(5 m2 +10 mn-4 n2)； ④an (an- a2-2)； ⑤(-0.5a)． ⑥xn+1 (xn- xn-1+ x)(n>1)； 考点三：多项式乘多项式 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 法则的指导思想是将多项式相乘的问题转化为单项式与多项式相乘的问题． 注意： 多项式乘以多项式，仍得多项式，但通常有同类项可合并；在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式的项数之积。这是检查多项式相乘是否漏乘的方法． 【习题练习】 1. 已知：，则的值为　　． 2. 若的展开式中不含有的一次项，则的值是____________. 3. 若三角形的底边长为，该底边上的高为，则此三角形的面积为________________. 4．若，则　 　． 5．已知，，则的值是　 　． 6．若的展开式中不含项、项，为常数），则　 　． 7．设，，则　 　．（填，， 8. 计算下列各式 ①(x-3)(x+4) ②(x+7)(x-6)-(x-2) 考点四：整式的除法 1.单项式除以单项式 单项式相除，把　 　 　、________________分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式． 注意： ①第一步，系数与系数相除，结果作为商的系数；第二步，同底数幂相除，结果作为商的一个因式；第三步，只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式； ②注意运算顺序，被除式和除式中含有乘方运算时，应先进行乘方运算，再进行除法运算； ③相同的两个单项式相除结果是　 　 ，不是0． 2.多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 注意： ①多项式除以单项式的实质是转化为单项式除以单项式，其商是一个多项式，商的项数与多项式的项数相同，不要漏项； ②商中每一项的符号是由被除式中每项的符号与除式的符号共同决定的。运算时注意运算符号，防止出错． 【习题练习】 1. 计算　 　．　 　． 2. 面积为的长方形一边长为，另一边长为　 　． 3. 计算下列各式 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 专题04 乘法公式 【知识网络】 【基础巩固】 考点一：平方差公式 1. 公式的推导 2. 两种表达方式 数学语言：___________________；文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 注意： ①平方差公式适用于两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项完全相同，另一项只是符号相反，计算结果是相同项的平方减去相反项的平方； ②运用公式时，关键是确定公式中的a和b，完全相同的项是a，符号相反的项是b，然后再套用公式； ③公式的拓展：公式中的两个二项式相乘可以拓展到两个多项式相乘，只要满足有完全相同的部分，其余部分正好符号相反即可套用平方差公式． 3.平方差公式的几何意义 4.利用平方差公式进行简便运算 【习题练习】 1. 计算：　　． 2. 下列各式中不能用平方差公式进行计算的是　　 A． B． C． D． 3. 如果，则的值为　　． 4. 若．则　　． 5. 如图（1），从边长为的大正方形的四个角中挖去四个边长为的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到　　 A． B． C． D． 6.计算算下列各式 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 考点二：完全平方公式 1. 完全平方公式 文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式． 速记口诀：首平方，尾平方，首尾2倍放中央，符号确定看前方。 注意： ①两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同； ②公式的拓展：公式中的a，b可以是数，也可以是单项式或多项式； ③完全平方公式的变形公式： 2. 完全平方公式的几何意义 表示图①中大正方形的面积，可以得到： 表示图②中左下正方形的面积，可以得到： 图① 图② 3.利用完全平方公式进行简便运算 【习题练习】 1. 若 则 2. 是一个完全平方式，则 3. 若是一个完全平方式，则 4. 5. 要使成为一个完全平方式，则=___________. A．10 B． C．20 D． 6. 若，，则　　 A．184 B．196 C．208 D．212 7. 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图（1）可以用来解释．那么通过图（2）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是　　 A． B． C． D． 8. 计算算下列各式 （6） （12） (13) （14） 考点三：整式的化简求值 化简求值的一般步骤： 第一步：运用相关的乘法公式将代数式展开； 第二步：寻找代数式中的同类项，合并成最简形式； 第三步：将字母的值代入化简后的代数式，并计算得出结果． 【习题练习】 1. 先化简，再求值：，其中，． 2.先化简，再求值：，其中，． 3. 已知，求代数式的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$专题03 整式的乘法与除法 【知识网络】 重难突破 【基础巩固】 考点一：单项式乘单项式 法则：单项式与单项式相乘，把它们的_ 系数___、__相同字母的幂__分别相乘，其余字母连同它的指数不变_，作为积的因式． 注意： ①单项式乘单项式的结果仍是单项式； ②单项式乘单项式的法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用； ③注意运算顺序：有乘方先算乘方，再算乘法． 【习题练习】 1. 计算的结果是__-4x6y2__. 2. 计算的结果是__-64a6x6 _. 3．下列计算错误的是 ( C ) A．(-2.4 x2 y3)·(0.5 x4)＝-1.2 x6 y3 B．(-8 a3bc)·= a4 b2cx C．(-2 an) 2·(3 a2)3＝-54 a2n+6 D．x2n+2·(-3 xn+2)=-3x3n+4 4.计算下列各式 ①a3 x3(-2 ax2) ②(xn) 2+5 xn-2·xn+2 ③(0.1ab3)·(0.3a3bc) =-2a4 x5 =6x2n =0.03a4b4c ④(-x5) 2·(-x5·x2) 2 ⑤(-3 an+2b) 3(-4abn+3)2； ⑥(4×103) 3·(-0. 125×102) 2 =x24 =-432a3n+8b2n+9 =1013 1 学科网（北京）股份有限公司 考点二：单项式乘多项式 法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 注意： ①计算时要注意符号问题，多项式中的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号； ②对于混合运算，应注意运算顺序，先算积的乘方与幂的乘方，再算乘法，最后有同类项时必须合并，从而得到最简结果； ③单项式与多项式相乘，结果为多项式． 【习题练习】 1. 下列运算正确的是　A　 A． B． C． D． 2. 化简，结果正确的是　B　 A． B． C． D． 3. 今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内上应填写（ A ） A． B． C． D．1 4.计算下列各式 ①2 xy(x2+xy+y2)； ② ③0.5mn(5 m2 +10 mn-4 n2)； =2 x3y+2 x2y2+2 xy3 =-6 a3b2+10 a3b3 =2.5m3n+5m2n2-2 mn3 ④an (an- a2-2)； ⑤(-0.5a)． ⑥xn+1 (xn- xn-1+ x)(n>1)； =a2n-an+2-2an =a3+a2-a =x2n+1- x2n + xn+2 考点三：多项式乘多项式 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 法则的指导思想是将多项式相乘的问题转化为单项式与多项式相乘的问题． 注意： 多项式乘以多项式，仍得多项式，但通常有同类项可合并；在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式的项数之积。这是检查多项式相乘是否漏乘的方法． 【习题练习】 1. 已知：，则的值为　5　． 2. 若的展开式中不含有的一次项，则的值是___6____. 3. 若三角形的底边长为，该底边上的高为，则此三角形的面积为　2a2 - 　． 4．若，则　 -5 　． 5．已知，，则的值是　 -2 　． 6．若的展开式中不含项、项，为常数），则　27 　． 7．设，，则　 ＜ 　．（填，， 8. 计算下列各式 ①(x-3)(x+4) ②(x+7)(x-6)-(x-2) =x2+x-12 =x2-40 =2x3+5 x2y- 3 xy2+2x2 +5xy- 3y2 考点四：整式的除法 1.单项式除以单项式 单项式相除，把　系数 　、___同底数幂____分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式． 注意： ①第一步，系数与系数相除，结果作为商的系数；第二步，同底数幂相除，结果作为商的一个因式；第三步，只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式； ②注意运算顺序，被除式和除式中含有乘方运算时，应先进行乘方运算，再进行除法运算； ③相同的两个单项式相除结果是　 1　 ，不是0． 2.多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 注意： ①多项式除以单项式的实质是转化为单项式除以单项式，其商是一个多项式，商的项数与多项式的项数相同，不要漏项； ②商中每一项的符号是由被除式中每项的符号与除式的符号共同决定的。运算时注意运算符号，防止出错． 【习题练习】 1. 计算　xy 　．　 a-2b 　． 2. 面积为的长方形一边长为，另一边长为　3a-2b+1 　． 3. 计算下列各式 ① ② ③ ④ =-a3 =(n-m)5 =a3 b3 =3x+1 ⑤ ⑥ ⑦ =3a-2+2b =m4n2-2m =-3xy+5y2+1 专题04 乘法公式 【知识网络】 【基础巩固】 考点一：平方差公式 1. 公式的推导 2. 两种表达方式 数学语言：（a+b）（a-b）=a2-b2 ；文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 注意： ①平方差公式适用于两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项完全相同，另一项只是符号相反，计算结果是相同项的平方减去相反项的平方； ②运用公式时，关键是确定公式中的a和b，完全相同的项是a，符号相反的项是b，然后再套用公式； ③公式的拓展：公式中的两个二项式相乘可以拓展到两个多项式相乘，只要满足有完全相同的部分，其余部分正好符号相反即可套用平方差公式． 3.平方差公式的几何意义 4.利用平方差公式进行简便运算 【习题练习】 1. 计算：　-1　． 2. 下列各式中不能用平方差公式进行计算的是　B　 A． B． C． D． 3. 如果，则的值为　±7　． 4. 若．则　-1　． 5. 如图（1），从边长为的大正方形的四个角中挖去四个边长为的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到　C　 A． B． C． D． 6.计算算下列各式 ① ② ③ = y2 = m4-16 =0.04x2-0.09 ④ ⑤ ⑥ = m2n2-9n2 = a2-b2 -4b-4 =-4x2-4xy -y2+4 ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ = 9x2+xy = 999991 =12096 =-1 考点二：完全平方公式 1. 完全平方公式 文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式． 速记口诀：首平方，尾平方，首尾2倍放中央，符号确定看前方。 注意： ①两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同； ②公式的拓展：公式中的a，b可以是数，也可以是单项式或多项式； ③完全平方公式的变形公式： 2. 完全平方公式的几何意义 表示图①中大正方形的面积，可以得到： 表示图②中左下正方形的面积，可以得到： 图① 图② 3.利用完全平方公式进行简便运算 【习题练习】 1. 若 则 2. 是一个完全平方式，则 3. 若是一个完全平方式，则 4. 5. 要使成为一个完全平方式，则= D . A．10 B． C．20 D． 6. 若，，则　C　 A．184 B．196 C．208 D．212 7. 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图（1）可以用来解释．那么通过图（2）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是　B　 A． B． C． D． 8. 计算算下列各式 =4x2+20xy+25y2 =m2-m+ =4t2+4t+1 =c2d2+2cd+1 （6） =x2+2xy+y2 =x2-y4 =10404 =38809 =-4x-1 =4ab =24mn （12） (13) （14） =a4+2a3-a2+4a-8 =a2+2ab+b2-9 =a2-b2+6b-9 =4x2+4xy+y2-1 =4x2-y2+2y-1 =4a2-b2-8b-16 考点三：整式的化简求值 化简求值的一般步骤： 第一步：运用相关的乘法公式将代数式展开； 第二步：寻找代数式中的同类项，合并成最简形式； 第三步：将字母的值代入化简后的代数式，并计算得出结果． 【习题练习】 1. 先化简，再求值：，其中，． 解： =a2-4b2-（a2-4ab+4b2）+8b2 =a2-4b2-a2+4ab-4b2+8b2 =4ab 当a=-2，b=时，原式=4×（-2）×=-4 2.先化简，再求值：，其中，． 解： =x2-4xy+（4x2-y2）-（4x2-4xy+y2） =x2-4xy+4x2-y2-4x2+4xy-y2 =x2-2y2 当x=-2，y=1时，原式=（-2）2-2×12=2 3. 已知，求代数式的值． 解： ∵ =x2-1+x2+2x ∴ x2+x=1 =2x2+2x-1 ∴原式=2x2+2x-1=2(x2+x) -1=2×1-1=1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$