专题1.16 构造三角形全等方法——截长补短和倍长中线（专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.16 构造三角形全等方法—-截长补短和倍长中线 （专项练习） 1．（22-23八年级上·山东滨州·期末）如图，是的中线，，，求中线的取值范围． 2． 如图，，，，直线过点交于，交于点．求证：． 3． 如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD． 4． 如图在中，，、分别是、的平分线，、相交于点．   （1）请你判断并写出与之间的数量关系； （2）试判断线段、与之间的数量关系并说明理由． 5． 我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题： （1）求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形． (2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD； ②求证：AC＝2OP． 5． 如图，在中，，BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD，若． （1）猜想BD=________BE； （2）完成（1）的证明过程． 7．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点D是的中点，分别以为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，连接． （1）请写出与的数量关系，并说明理由． （2）延长交于点F，求的度数． 8． 在四边形中，，点E在DC上，AE平分，BE平分 （1）判定△AEB的形状，并说明理由. （2）求证： 9． 如图所示，AD平分∠BAC，P是射线AD上一点，P与A不重合，． 求证：． 10． 已知，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． （1）若、分别为线段、的中点，如图1所示，试说明和的面积相等； （2）若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； （3） 在（2）的条件下，若，试说明：． 11．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图1，求的度数； （3）如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 12．（23-24八年级上·吉林·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】 （1）如图①，与的数量关系是 ，位置关系是 ； 【初步应用】 （2）如图②，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图③，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．    13．（23-24八年级上·河北沧州·期末）嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索： 他剪了一个如图所示的，其中，然后把纸片折叠，使得与重合，且点B落在延长线上的处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系．    （1）请你完成证明过程： 证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ ① （      ②    ） 又∵是的一个外角 ∴（   ③         ） ∴ ☆                                即（等量代换） ∴在中，若，则 （2）请用（1）的结论解决问题：在中，若，是边上的中线，请探索和的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长到点H，使，连接）    14．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 15．（23-24八年级上·全国·期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是　　． ．      ．      ．        ． （2）求得的取值范围是　　． ．   ．  ．  ． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 16．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 17．（15-16八年级上·江苏镇江·期中）阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明． （1）请完成下题的证明过程： 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD=AC． 证明：在AC上截取AE=AB，连接DE． （2）如图，，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC． 18．（21-22八年级上·河北保定·期末）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： （1）为什么？写出推理过程； （2）求出的取值范围； （3）如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 19．（21-22七年级下·广东深圳·期末）（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围； （2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 20．（18-19八年级上·湖北孝感·期中）如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD． （1）试证明：△ACD≌△EBD； （2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求证：BG＝AC． 21．（20-21八年级上·海南海口·期中）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程． （1）求证：△ABD≌△ECD 证明：延长AD到点E，使DE＝AD 在△ABD和△ECD中 ∵AD＝ED（已作） ∠ADB＝∠EDC（ ） CD＝ （中点定义） ∴△ABD≌△ECD（ ） （2）由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如下图，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长． 22．（20-21八年级上·江西宜春·阶段练习）阅读理解： （1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______． （2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【分析】延长到，使,证明两边之和大于，两边之差小于，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 2．详见解析 【分析】在线段上取，连接，易证≌，可得，因为得，∠D+∠C=180°，再根据邻补角∠AFE+∠BFE=180°，可得∠BFE=∠C，可证≌，可得BC=BF，再进行等量代换即可得出答案. 【详解】解：在线段上取，连接， 在与中，， ∴≌（SAS）． ∴． 由又可得， ∴． 又， ∴． 在与中，， ∴≌（AAS）． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形证明中辅助线其中一种截长补短的方法，在遇到两条线段和等于第三条线段的时候可用截长补短构造全等三角形，即在较长的线段上截取某条较短线段长度，或者延长一条较短线段长度使之等于另一条线段长度. 3．见解析 【分析】延长AD到E，使FD＝AD，连接BF，易证△ADC≌△FDB，得到BF＝AC，∠F＝∠CAD，而BE＝AC，所以BF＝BE，得∠BED＝∠F，等量代换即可． 【详解】证明：延长AD到E，使FD＝AD，连接BF 在△ADC和△FDB中， ∴（SAS） ∴BF＝AC，∠F＝∠CAD． ∵BE＝AC， ∴BF＝BE ∴∠BED＝∠F， ∴∠BED＝∠CAD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，倍长中线构造全等三角形是解题的关键． 4．（1）；（2），见解析 【分析】（1）在上截取，利用SAS证出，从而得出，，然后利用ASA证出，从而得出，即可得出结论； （2）根据（1）中两个全等三角形可得，，从而证出结论． 【详解】解：（1）与的关系是， 在上截取，    、分别是、的平分线， ， 在△AEF和△AHF中 ， ， ∵∠B=60° ∴∠BAC＋∠BCA=180°－∠B=120° ∵、分别是、的平分线， ∴∠FAC＋∠FCA=＋==60° ∴180°－（∠FAC＋∠FCA）=120°，=∠FAC＋∠FCA=60° ， ， ， 在△CFH和△CFD中 ， ， （2） 理由：由（1）知：， ， ， 即 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握构造全等三角形的方法和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键． 5．(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD； ②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°， 又∵AO=OB，OC=OD， ∴△OAC和△OBD是兄弟三角形； （2）①证明：延长OP至E，使PE=OP， ∵P为BD的中点， ∴BP=PD， 又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP， ∴△BPE≌△DPO（SAS）， ∴BE=OD； ②证明：∵△BPE≌△DPO， ∴∠E=∠DOP， ∴BEOD， ∴∠EBO+∠BOD=180°， 又∵∠BOD+∠AOC=180°， ∴∠EBO=∠AOC， ∵BE=OD，OD=OC， ∴BE=OC， 又∵OB=OA， ∴△EBO≌△COA（SAS）， ∴OE=AC， 又∵OE=2OP， ∴AC=2OP． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 6．(1)2 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）延长BE至F，使得EF=BE，连接CF，易证，则有，由题意易得，，然后可证，则，进而问题可求证． 【详解】（1）解： ； 延长BE至F，使得EF=BE，连接CF，如图所示： ∵BE是AC的中线， ∴， ∵， ∴（SAS）， ∴， ∵，且，， ∴，， ∵， ∴（AAS）， ∴． 故答案为2； （2）证明：延长BE至F，使得EF=BE，连接CF，如图所示： ∵BE是AC的中线， ∴， ∵， ∴（SAS）， ∴， ∵，且，， ∴，， ∵， ∴（AAS）， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 7．(1)，见解析 (2) 【分析】此题主要考查了倍长中线法，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，利用倍长中线法作出辅助线是解本题的关键． （1）延长至E，使，连接则，证明，得出，进而判断出进而判断出，得出，即可得出结论； （2）结合（1），可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，延长至E，使，连接 ∵点D是的中点， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． （2）解：延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（1）△AEB为直角三角形，理由见解析；（2）见解析. 【分析】（1）根据平行线性质得出∠DAB+∠ABC=180°，由角平分线得出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，可得∠EAB+∠ABE=90°，根据三角形内角和定理求出∠AEB=90°，即可得出答案； （2）在AB上截取线段AF=AD，连接EF，构建全等三角形△ADE≌△AFE（SAS）、△BFE≌△BCE（AAS），根据全等三角形的对应边相等得到BC=BF，再利用AB=AF+BF等量代换即可得证 【详解】（1）解：△AEB为直角三角形，理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC=180°， ∵AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC， ∴∠EAB=∠DAB,∠EBA=∠ABC， ∴∠EAB+∠ABE=×180°=90°， ∴∠AEB=180°−90°=90°, ∴△AEB为直角三角形； (2)证明：如图，在边AB上截取线段AF=AD，连接EF， ∵AE平分∠BAD， ∴∠FAE=∠DAE， 在△ADE和△AFE中, ， ∴△ADE≌△AFE(SAS)， ∴∠AED=∠AEF， ∵AE⊥BE， ∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°， ∴∠BEC=∠BEF， 又∵在△BFE与△BCE中, ∴△BFE≌△BCE(AAS)， ∴BF=BC， ∵AB=AF+BF， ∴AB=AD+BC. 【点睛】本题考查全等三角形的综合问题，是“截长补短”模型的典型题目，熟练掌握此模型辅助线的作法，构造全等三角形是解决本题的关键. 9．详见解析 【分析】在AC上截取AE=AB，连接PE，利用SAS可证明△BAP≌△EAP，可得PB=PE，利用三角形的三边关系即可得答案． 【详解】在AC上截取AE=AB，连接PE， ∵AD平分， ∴． 在和中， ∴． 在中，， ∵，AE=AB， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，正确作出辅助线构建全等三角形并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 10．（1）证明见解析；（2）∠AOC=90°+∠ABC，证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）根据三角形中线平分三角形的面积即可得出结论； （2）结合角平分线的定义和三角形外角的性质可得∠AOC=90°+∠ABC； （3）在AC上截取AM=AE，分别证明△AOE≌△AOM和△COD≌△COM即可得出结论． 【详解】解：（1）、分别为线段、的中点， ∴AD和CE分别为△ABC，AB和BC边上的中线， ∴,, ∴, ∴,即； （2）∠AOC=90°+∠ABC 理由如下： ∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA， ∴∠BAD=∠BAC，∠BCE=∠BCA ∵∠AOC=∠ADC+∠BCE=∠ABC+∠BAD+∠BCE ∴∠AOC=∠B+（∠ABC+∠BCA+∠BAC）=90°+∠ABC； （3）如图：在AC上截取AM=AE，连接OM ∵∠B=60°，∠AOC=90°+∠B ∴∠AOC=120° ∴∠AOE=∠COD=60° ∵AE=AM，∠BAD=∠DAC，AO=AO ∴△AOE≌△AOM（SAS） ∴∠AOE=∠AOM=60° ∴∠COM=60° ∴∠COM=∠COD=60°且CO=CO，∠BCE=∠ACE ∴△COD≌△COM（ASA） ∴CM=CD ∵AC=AM+MC=AE+CD． 【点睛】本题考查三角形中线有关的面积问题，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角定理．（1）中理解三角形中线平分三角形的面积是解题关键；（2）中能正确识图，完成角度之间的转换是解题关键；（3）正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 11．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数； （3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系． 此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示： ，， ，， ， （2）解：在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）解：、、的数量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图2所示： 是的高，， ，， 在和中， ， ， ，， 由（2）可知：，即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 12．（1），，（2）；（3），，理由见解析 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】解：（1）是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， （2）如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接，    由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 13．(1)①，②全等三角形的对应角相等，③ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆； (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据全等三角形性质及三角形外角的性质解答即可； （2）延长到点H，使，连接，先证明，可得，再解答即可． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ （全等三角形的对应角相等） 又∵是的一个外角 ∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴                           即（等量代换） ∴在中，若，则 故答案为：①，②全等三角形的对应角相等，③ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆； （2）解：，理由如下： 延长到点H，使，连接 ∵是边上的中线         ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 14．（1）已作；对顶角相等；； （2） （3）6 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； （2）由（1）得：，且，， ， 在中，， ； （3）延长交的延长线于F， ，， ， 在和中， ， ，， 又且 ， ， ， ． 即：的长是6． 15．（1）B；（2）C；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：在和中 ， ， 故选B； （2）解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ， 故选C． （3）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ， 即． 16．(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系． （1）由作图可得，根据“”证得，得到，在中，根据三角形的三边关系有，代入即可求解； （2）延长到M，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，故； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，证得得到，证得得到． 延长交于F，由三角形的三边关系得到，即． 【详解】（1）∵， ∴ ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴． 故答案为： （2）， 理由：如图，延长到M，使得，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、， ∵点M是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， 延长交于F， 则，且， ∴， ∴， 即． 17．(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）在AC上截取AE=AB，连接DE，证明，得到 ，再证明ED=EC即可； （2）先过E作，交于，则 ，，因为EA、EB分别平分和，所以AF=EF=FB，再根据梯形中位线定理得出AB=AD+BC． 【详解】（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD=∠BAD 在△AED和△ABD中， ∴△AED△ABD（SAS）， ∴ED=BD，∠AED=∠B， ∵∠B=2∠C ∴∠AED=2∠C， 又∵∠AED为△CED的外角， ∴∠AED=∠C+∠EDC， ∴∠C=∠EDC， ∴EC=ED ∴EC=BD， ∴AC=AE+EC=AB+BD． （2）在AB上截取AF=AD，连接EF ∵AE平分∠DAB ∴∠DAE=∠FAE 又∵AE=AE，AF=AD ∴△DAE△FAE（SAS） ∴∠D=∠AFE ∵ ∴∠C+∠D=180º ∵∠AFE+∠BFE=180º ∴∠BFE=∠C 又∵∠FBE=∠CBE，BE=BE ∴（AAS） ∴BF=BC ∴AB=AF+BF=AD+BC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，此题利用了全等三角形常见的辅助线中的截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题的最常见解法，注意熟悉掌握． 18．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使，且， ∴． （2）解：由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴． （3）证明：如图，延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 19．（1）2＜DG＜5（2）AD=CD+AB，证明见解析 【分析】（1）延长DG至M，使GM=DG，连接MF，利用SAS可证得，利用全等三角形的对应边相等可得到DE=MF，再利用三角形的三边关系定理，可求出DG的取值范围； （2）延长AE，DC相交于点F， 利用平行线的性质可知∠BAE=∠F，利用AAS可证得△ABE≌△FCE，利用全等三角形的性质可证得AB=CF，∠F=∠DAF；利用角平分线的定义去证明∠F=∠DAF，利用等角对等边可证得AD=DF，然后根据DF=DC+CF，代入可证得结论． 【详解】（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF， 在和中， ∴(SAS)， ∴DE=MF=3， ∵DF-MF＜DM＜DF+MF， ∴7-3＜DM＜7+3， 即4＜DM＜10， ∵， ∴4＜2DG＜10， ∴2＜DG＜5； （2）AD=CD+AB，理由如下： 解：延长AE，DC相交于点F， ∵， ∴∠BAE=∠F， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， 在和中， ∴（AAS）， ∴AB=CF， ∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE， ∴∠F=∠DAF， ∴AD=FD， ∵FD=CD+CF，CF=AB， ∴AD=CD+AB． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点并添加辅助线． 20．（1）详见解析；（2）详见解析． 【分析】（1）根据中线的定义，即可得到BD＝CD，再根据SAS即可判定△ACD≌△EBD． （2）延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，根据SAS证△ADC≌△FDB，推出BF＝AC，∠CAD＝∠F，根据AM＝GM，推出∠CAD＝∠AGM＝∠BGF，求出∠BGF＝∠F，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ACD和△EBD中， ， ∴△ACD≌△EBD（SAS）． （2）证明：延长AD到F，使AD＝DF，连接BF， ∵AD是△ABC中线， ∴BD＝DC， ∵在△ADC和△FDB中 ， ∴△ADC≌△FDB（SAS）， ∴BF＝AC，∠CAD＝∠F， ∵AM＝GM， ∴∠CAD＝∠AGM， ∵∠AGM＝∠BGF， ∴∠BGF＝∠CAD＝∠F， ∴BG＝BF＝AC， 即BG＝AC． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键. 21．(1)对顶角相等；BD；SAS (2) (3) 【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ABD≌△ECD； （2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算； （3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根据全等三角形的性质解答． 【详解】（1）延长AD到点E，使DE＝AD 在△ABD和△ECD中 ∵AD＝ED（已作） ∠ADB＝∠EDC（对顶角相等） CD＝BD（中点定义） ∴△ABD≌△ECD（SAS） 故答案为：对顶角相等；BD；SAS （2）∵△ABD≌△ECD ，AB＝6，AC＝8， ， ， ， 故答案为； （3）延长AD交EC的延长线于F， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 又∵∠FDE＝∠ADE＝90° ED＝ED ∴△ADE≌△FDE ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件． 22．（1）；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）如图1延长到点，使得，再连接，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三边关系即可， （2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中 由三边关系， （3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由是边上的中点，得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案， 【详解】（1）如图1延长到点，使得，再连接， ∵AD为中线， ∴BD=CD， 在△ADC和△    EDB中， ∵CD=BD， ∠ADC=∠EDB， AD=ED， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴AC=EB=6， ， ∵， ∴， ∴， （2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG， 由D为BC中点，BD=CD， 在△FDC和△GDB中， ∵CD=BD， ∠FDC=∠GDB， FD=GD， ∴△FCD≌△GBD（SAS）， ∴FC=GB， ∵，DF=DG， ∴EF=EG， 在△BEG中EG<EB+BG，即， （3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG， 由是边上的中点， ∴BD=CD， 在△ADC和△GDB中， ∵CD=BD， ∠ADC=∠GDB， AD=GD， ∴△ACD≌△GBD（SAS）， ∴AC=GB，∠DAC=∠G， ∵BE=AC， ∴BE=BG， ∴∠BED=∠G=∠CAD． 【点睛】本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$