第06讲 空间向量及其运算的坐标表示（七大题型）-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第06讲 空间向量及其运算的坐标表示 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 知识点三、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 【典例例题】 题型一：空间向量的坐标表示 【典例1-1】（2024·高二·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·广东揭阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高二·湖北武汉·期中）在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 【变式1-3】（2024·高二·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·高二·山东聊城·阶段练习）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    题型二：空间向量的直角坐标运算 【典例2-1】（2024·高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 【典例2-2】（2024·高二·上海·课后作业）已知平行四边形中的三个顶点的坐标分别为、与，求顶点的坐标. 【变式2-1】（2024·高二·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标． 【变式2-2】（2024·高二·江西景德镇·期末）已知，则 ． 【变式2-3】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则 ． 题型三：空间向量的共线与共面 【典例3-1】（2024·高二·山东威海·期末）已知向量，，，若共面，则 . 【典例3-2】（2024·高二·河南·阶段练习）若空间向量 共面， 则实数 【变式3-1】（2024·高二·北京丰台·期末）已知向量，，若与共线，则 . 【变式3-2】（2024·高二·广东·期末）已知向量与共线，则 . 【变式3-3】（2024·高二·河南信阳·期末）若向量与向量共线，则 . 【变式3-4】（2024·高二·福建漳州·阶段练习）已知空间三点，，共线，则 ． 【变式3-5】（2024·高二·河南安阳·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，若四点共面，则 . 题型四：空间向量模长坐标表示 【典例4-1】（2024·高二·甘肃·阶段练习）已知，则 ． 【典例4-2】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【变式4-1】（2024·高二·北京·期中）已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高二·江苏淮安·期中）已知向量则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·高三·四川·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ． 【变式4-4】（2024·高二·北京昌平·期中）在空间直角坐标系中，若点，且，则的值为 . 题型五：空间向量平行坐标表示 【典例5-1】（2024·高二·河南·阶段练习）已知向量，，若，则 ． 【典例5-2】（2024·高二·全国·专题练习）设空间向量，，若，则 . 【变式5-1】（2024·西藏拉萨·一模）已知，空间向量．若，则 ． 【变式5-2】（2024·高二·安徽合肥·期末）已知直线过点，，且是直线的一个方向向量，则 . 【变式5-3】（2024·高二·湖北·期末）已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为 . 题型六：空间向量垂直坐标表示 【典例6-1】（2024·高二·河北张家口·阶段练习）已知空间有三点，，，若在直线上存在一点，使得，则点的坐标为 ． 【典例6-2】（2024·高二·湖北黄石·期中）已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为 ． 【变式6-1】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知向量，，且，则 ． 【变式6-2】（2024·高二·江苏常州·阶段练习）已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为 . 【变式6-3】（2024·高二·福建南平·期末）已知向量，若，则 . 【变式6-4】（2024·高一·重庆黔江·阶段练习）由二维平面向量可以类比得到三维空间向量一些公式，比如若， 则，等.非零向量，若.若，，则与、向量垂直的单位向量的坐标是（写出一个即可） 【变式6-5】（2024·高三·云南曲靖·阶段练习）正方体的棱长为1，M为线段的中点，平面平面，若点为平面与侧面相交的线段上的一动点，为线段上一动点，则的最小值为 ． 【变式6-6】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在空间直角坐标系中，，，，点H在平面内，则当取最小时，点H的坐标是 ． 题型七：空间向量夹角坐标表示 【典例7-1】（2024·高二·辽宁大连·期中）已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 【典例7-2】（2024·高二·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·高二·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【变式7-2】（2024·高二·安徽宿州·期中）空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面点法式方程为，经过点且一个方向向量为的空间直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：若空间直线的方程是，直线是两个平面与的交线，则直线夹角为 ． 【变式7-3】（2024·高二·北京通州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 . 【变式7-4】（2024·高二·广东佛山·阶段练习）在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为. (1)求的坐标 (2)求. 【过关测试】 1．（2024·高二·广东·期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·山西临汾·期中）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·北京丰台·期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·山东烟台·期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C． D． 6．（多选题）（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）下列说法正确的是（     ） A．若向量，，共面，则它们所在的直线共面 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则A，B，C，G四点共面 D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 7．（多选题）（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知向量，则下列向量中与共面的向量是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2024·高二·河南·阶段练习）设向量，且，则（   ） A．向量与z轴正方向的夹角为定值（与c、d之值无关） B．的最大值为4 C．与夹角的最大值为 D．的最大值为3 9．（多选题）（2024·高二·山西朔州·阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·高二·青海海东·阶段练习）已知空间向量，则 . 11．（2024·高二·海南·期中）在空间直角坐标系中，，，则 ． 12．（2024·高二·全国·课后作业）已知为单位正交基底，且，则向量的坐标是 . 13．（2024·高三·上海宝山·期末）已知空间向量.若四点共面，则 . 14．（2024·高二·湖北·期中）已知空间向量，，，若，，共面，则实数 ． 15．（2024·高二·广东湛江·开学考试）已知向量，，，若三个向量共面，则 ． 16．（2024·高二·北京·期中）已知空间向量，则 ． 17．（2024·高二·贵州黔南·阶段练习）已知，是空间中相互垂直的两个单位向量，且，，则的最小值是 . 18．（2024·高二·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 19．（2024·高二·贵州黔东南·期末）若三点共线，则 ． 20．（2024·高二·四川南充·阶段练习）若向量若与的夹角为锐角，则的范围为 . 21．（2024·高二·辽宁大连·期末）已知，，若直线l的方向向量与直线AB的方向向量平行，则 . 22．（2024·高二·上海杨浦·期末）已知，，若，则 ． 23．（2024·高二·湖北·开学考试）已知，，其中，，若，则的最小值为 ． 24．（2024·高二·江苏·课前预习）已知空间向量，若与垂直，则 . 25．（2024·高二·山西吕梁·阶段练习）在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为 . 26．（2024·高二·湖南常德·阶段练习）如图，正方体的棱长为6，点M为的中点，点P为底面上的动点，满足的点P的轨迹长度为 27．（2024·高二·广东佛山·阶段练习）在空间直角坐标系中，点，则向量在上的投影向量的坐标为 . 28．（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）若空间两个单位向量、与的夹角都等于θ，则当θ取最小值时， ． 29．（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）已知空间三点，，． (1)求以和为邻边的平行四边形的面积； (2)试判别点与点，，是否共面？请说明理由． 30．（2024·高三·全国·专题练习）如图四棱锥，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且.求证：四点共面. 31．（2024·高二·江苏淮安·期中）已知点 (1)表示出，并求 (2)证明：与四点共面 32．（2024·高二·江苏盐城·期中）已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值. 33．（2024·高二·湖南常德·开学考试）已知空间向量，，． (1)若向量与向量垂直，求x的值； (2)在（1）的条件下判断向量，，是否共面? 34．（2024·高二·浙江·期末）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，    (1)求证； (2)若点E为PB的中点，点F为CD的中点，点M为棱AB上一点．当时，求的值． 35．（2024·高二·广东江门·阶段练习）已知向量，，点，. (1)求的值； (2)在直线上存在一点E，使得，求点E的坐标. 36．（2024·高二·全国·期末）已知向量，，，，． (1)求向量，，； (2)求向量与所成角的余弦值． 37．（2024·高二·北京海淀·阶段练习）已知空间向量，，. (1)若，求； (2)若，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 空间向量及其运算的坐标表示 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 知识点三、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 【典例例题】 题型一：空间向量的坐标表示 【典例1-1】（2024·高二·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则， 所以，解得， 所以点坐标为. 故选：B. 【典例1-2】（2024·高二·广东揭阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 设，故， 故，解得， 故. 故选：B 【变式1-1】（2024·高二·湖北武汉·期中）在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点关于原点中心对称的点为， 则点关于轴对称的点为，. 故选：A 【变式1-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 【答案】C 【解析】由图可得，则点关于直线对称的点为，故A正确； 由于，所以点关于点对称的点为，故B正确； 点的坐标为，故C不正确； 由于点，则点关于平面对称的点为，故D正确. 故选：C. 【变式1-3】（2024·高二·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 所以，解得：，，． 所以点的坐标为． 故选：D 【变式1-4】（2024·高二·山东聊城·阶段练习）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    【解析】易知的中线长为，则， ， 设分别是轴正方向上的单位向量，轴与的交点为， 则， . . 题型二：空间向量的直角坐标运算 【典例2-1】（2024·高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1） ． （2） ． （3）. 【典例2-2】（2024·高二·上海·课后作业）已知平行四边形中的三个顶点的坐标分别为、与，求顶点的坐标. 【解析】设，因为、与， 则，， 因为是平行四边形，所以， 即， 所以，解得，所以. 【变式2-1】（2024·高二·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标． 【解析】（1）由已知， 则，， （2）, . 【变式2-2】（2024·高二·江西景德镇·期末）已知，则 ． 【答案】 【解析】依题意，. 故答案为： 【变式2-3】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以. 故答案为：. 题型三：空间向量的共线与共面 【典例3-1】（2024·高二·山东威海·期末）已知向量，，，若共面，则 . 【答案】2 【解析】由题意设，所以，解得. 故答案为：2. 【典例3-2】（2024·高二·河南·阶段练习）若空间向量 共面， 则实数 【答案】1 【解析】由题可知 ， 即 ， 所以，故 ． 故答案为：1. 【变式3-1】（2024·高二·北京丰台·期末）已知向量，，若与共线，则 . 【答案】 【解析】向量，，若与共线， 则有，解得. 故答案为： 【变式3-2】（2024·高二·广东·期末）已知向量与共线，则 . 【答案】15 【解析】由，得，解得. 故答案为：15 【变式3-3】（2024·高二·河南信阳·期末）若向量与向量共线，则 . 【答案】 【解析】当时，此时，，故不共线， 当时，向量，共线，所以， ∴. 故答案为： 【变式3-4】（2024·高二·福建漳州·阶段练习）已知空间三点，，共线，则 ． 【答案】 【解析】由已知得：. 因为三点共线,所以. 所以，解得：. 所以. 故答案为:. 【变式3-5】（2024·高二·河南安阳·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，若四点共面，则 . 【答案】1 【解析】∵， ∴，，， 又∵四点共面， ∴由平面向量基本定理可知存在实数使成立, ∴, ∴，解得， 故答案为：1 题型四：空间向量模长坐标表示 【典例4-1】（2024·高二·甘肃·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【解析】由， 有． 故答案为： 【典例4-2】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【解析】由， 由，. 所以. 故选：D 【变式4-1】（2024·高二·北京·期中）已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 又，即， 所以， 所以， 故选：D. 【变式4-2】（2024·高二·江苏淮安·期中）已知向量则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D 【变式4-3】（2024·高三·四川·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ． 【答案】 【解析】以D为原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，则， ，又，所以， 即，则． 当时，，设，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF， 所以，， ， 当时，，当时，， 所以线段的长度的取值范围是． 【变式4-4】（2024·高二·北京昌平·期中）在空间直角坐标系中，若点，且，则的值为 . 【答案】 【解析】设点，因为，， 所以， 则，解得，即， 又，所以，所以. 故答案为：. 题型五：空间向量平行坐标表示 【典例5-1】（2024·高二·河南·阶段练习）已知向量，，若，则 ． 【答案】/ 【解析】，，，. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高二·全国·专题练习）设空间向量，，若，则 . 【答案】9 【解析】因为空间向量，，且， 所以设，即 可得，解得，， 所以，，则， 所以. 故答案为：. 故答案为： 【变式5-1】（2024·西藏拉萨·一模）已知，空间向量．若，则 ． 【答案】1 【解析】因为，所以，即，得． 故答案为：. 【变式5-2】（2024·高二·安徽合肥·期末）已知直线过点，，且是直线的一个方向向量，则 . 【答案】 【解析】由题得， 因为是直线的一个方向向量， 所以，所以， 所以. 故答案为： 【变式5-3】（2024·高二·湖北·期末）已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为 . 【答案】 【解析】因，，则， 因与同向，则设，因此，， 于是得，解得，则， 所以向量的坐标为. 故答案为： 题型六：空间向量垂直坐标表示 【典例6-1】（2024·高二·河北张家口·阶段练习）已知空间有三点，，，若在直线上存在一点，使得，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】设，则， 又，， 则解得，即点的坐标为． 故答案为：． 【典例6-2】（2024·高二·湖北黄石·期中）已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为 ． 【答案】 【解析】因为，，， 所以，且点在直线上， 所以，所以存在实数使得， 设，则，所以， 可得，即， 又因为，所以， 因为，， 所以，可得， 所以点， 故答案为： 【变式6-1】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知向量，，且，则 ． 【答案】2 【解析】由于，所以，解得， 故答案为：2 【变式6-2】（2024·高二·江苏常州·阶段练习）已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为 . 【答案】 【解析】设， 则， 由，即， 因为共线，故存在实数使得，即 所以，解得， 所以点H的坐标为. 故答案为： 【变式6-3】（2024·高二·福建南平·期末）已知向量，若，则 . 【答案】 【解析】已知向量，若，则，解得. 故答案为：. 【变式6-4】（2024·高一·重庆黔江·阶段练习）由二维平面向量可以类比得到三维空间向量一些公式，比如若， 则，等.非零向量，若.若，，则与、向量垂直的单位向量的坐标是（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】设向量与、垂直，则，取得， 所以，与共线的单位向量的坐标为或. 故答案为：（答案不唯一） 【变式6-5】（2024·高三·云南曲靖·阶段练习）正方体的棱长为1，M为线段的中点，平面平面，若点为平面与侧面相交的线段上的一动点，为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 由题意可得：，即，可知， 又因为为线段上一动点，设， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式6-6】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在空间直角坐标系中，，，，点H在平面内，则当取最小时，点H的坐标是 ． 【答案】 【解析】不妨设点H的坐标是，则， 因为，，， 所以， 由题意若要取最小，则只需平面， 只需，即， 不妨令，所以解得， 且注意到点H在平面内， 所以由四点共面的充要条件有， 即，解得， 所以，所以此时点H的坐标是. 综上所述：当取最小时，点H的坐标是. 故答案为：. 题型七：空间向量夹角坐标表示 【典例7-1】（2024·高二·辽宁大连·期中）已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】且 【解析】因为， 所以，， 因为向量与的夹角为锐角， 所以，解得， 当时，，解得， 所以实数的取值范围为且. 故答案为：且. 【典例7-2】（2024·高二·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ， ∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为． 故选：C 【变式7-1】（2024·高二·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】C 【解析】由题意，向量， 得，解得或， 故选：C 【变式7-2】（2024·高二·安徽宿州·期中）空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面点法式方程为，经过点且一个方向向量为的空间直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：若空间直线的方程是，直线是两个平面与的交线，则直线夹角为 ． 【答案】/ 【解析】由题意空间直线：的方向向量为， 直线是两个平面与的交线， 所以直线上的点满足，不妨设，则， 所以， 所以直线的方程为， 从而直线：的方向向量为， 设直线夹角为，所以， 所以. 故答案为：. 【变式7-3】（2024·高二·北京通州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 . 【答案】 /0.5 【解析】因为，，， 所以，， 所以， 在的投影向量为. 故答案为：；. 【变式7-4】（2024·高二·广东佛山·阶段练习）在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为. (1)求的坐标 (2)求. 【解析】（1）设，因为AC和BD的中点相同， 且， 所以， 所以， 所以； （2）由（1）知：， 则， 所以. 【过关测试】 1．（2024·高二·广东·期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，所以， 所以. 故选：D 2．（2024·高二·山西临汾·期中）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为. 故选：C. 3．（2024·高二·北京丰台·期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，， 显然，不共线， 根据向量基本定理可得， 故C点坐标为， 经验算只有B选项符合条件， 此时， 故选：B 4．（2024·高二·山东烟台·期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以， 因为与垂直，所以，所以， 解得，所以，所以. 故选：B. 5．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C． D． 【答案】C 【解析】对于A：，因为，所以与不平行，故A错误； 对于B：与夹角的余弦值为，故B错误； 对于C：，，则，即，故C正确； 对于D：，，故D错误； 故选：C 6．（多选题）（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）下列说法正确的是（     ） A．若向量，，共面，则它们所在的直线共面 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则A，B，C，G四点共面 D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【解析】对于选项A：根据共面向量的定义可得它们所在的直线不一定在同一个平面上， 故A错误； 对于选项B：设，，，， 则，，， 又因为是底面的重心，则， 所以成立，故B正确； 对于选项C：因为，但， 所以A，B，C，G四点不共面，故C错误； 对于选项D：设在基底下的坐标为， 则， 因为在基底下的坐标为，所以，解得， 所以在基底下的坐标为，即D正确. 故选：BD. 7．（多选题）（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知向量，则下列向量中与共面的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，设，则得，解得，即，故A正确； 对于B，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故B错误； 对于C，设，则得，解得，即，故C正确； 对于D，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故D错误. 故选：AC. 8．（多选题）（2024·高二·河南·阶段练习）设向量，且，则（   ） A．向量与z轴正方向的夹角为定值（与c、d之值无关） B．的最大值为4 C．与夹角的最大值为 D．的最大值为3 【答案】ACD 【解析】对于A，取与轴正方向同向的单位向量，设向量与轴正方向的夹角为， 则，又，解得，A正确； 对于B：，由，得 ，即， 当且仅当时取等号，B错误； 对于C，设与夹角的为，则， 由B知，，于是，又，则， 因此与夹角的最大值为，C正确； 对于D， ，当且仅当时取等号， 因此，D正确； 故选：ACD 9．（多选题）（2024·高二·山西朔州·阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为向量，可得， 对于A中，由，设，即， 可得，此时方程组无解，所以与不平行，所以A错误； 对于B中，由， 所以，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：BCD. 10．（2024·高二·青海海东·阶段练习）已知空间向量，则 . 【答案】 【解析】因为，，所以. 故答案为： 11．（2024·高二·海南·期中）在空间直角坐标系中，，，则 ． 【答案】 【解析】因为，则， 所以. 故答案为： 12．（2024·高二·全国·课后作业）已知为单位正交基底，且，则向量的坐标是 . 【答案】 【解析】由得 ，则. 故答案为： 13．（2024·高三·上海宝山·期末）已知空间向量.若四点共面，则 . 【答案】 【解析】因为四点共面，所以共面， 所以存在唯一实数对，使得， 即，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 14．（2024·高二·湖北·期中）已知空间向量，，，若，，共面，则实数 ． 【答案】1 【解析】因为，，，且，，共面， 所以，又，得到，，，解得， 故答案为：. 15．（2024·高二·广东湛江·开学考试）已知向量，，，若三个向量共面，则 ． 【答案】 【解析】因为三向量共面，所以可设， 即， 所以，解得，，所以. 故答案为：-4 16．（2024·高二·北京·期中）已知空间向量，则 ． 【答案】 【解析】已知空间向量， 则， 则． 故答案为：． 17．（2024·高二·贵州黔南·阶段练习）已知，是空间中相互垂直的两个单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】3 【解析】因为，是空间中相互垂直的两个单位向量，设，设， 又，所以，则， 又，所以，所以，其中， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值是3. 故答案为：3 18．（2024·高二·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 19．（2024·高二·贵州黔东南·期末）若三点共线，则 ． 【答案】 【解析】，且三点共线， 存在实数，使得． 即， 解得 故答案为：. 20．（2024·高二·四川南充·阶段练习）若向量若与的夹角为锐角，则的范围为 . 【答案】 【解析】因为向量若与的夹角为锐角， 所以，且、不同向共线. 只需满足，解得：或. 所以的范围为. 故答案为：. 21．（2024·高二·辽宁大连·期末）已知，，若直线l的方向向量与直线AB的方向向量平行，则 . 【答案】 【解析】，， 由已知，，即，解得 故答案为： 22．（2024·高二·上海杨浦·期末）已知，，若，则 ． 【答案】 【解析】因为，且， 所以，即，所以，解得， 所以. 故答案为： 23．（2024·高二·湖北·开学考试）已知，，其中，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，故即， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故答案为：. 24．（2024·高二·江苏·课前预习）已知空间向量，若与垂直，则 . 【答案】/ 【解析】由向量，可得， 因为与垂直，可得， 解得. 故答案为：. 25．（2024·高二·山西吕梁·阶段练习）在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为 . 【答案】 【解析】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 因为点，分别为棱，的中点，所以，， 设，，其中，， 则，. 因为，则，解得， 又因为，，则， 可得， 所以，此时，即线段的长度的最小值为. 故答案为：. 26．（2024·高二·湖南常德·阶段练习）如图，正方体的棱长为6，点M为的中点，点P为底面上的动点，满足的点P的轨迹长度为 【答案】 【解析】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则设 则 由得： 即， 又由于所以 所以点的轨迹为面上的线段：，，即图中的线段, 由图知： 故答案为： 27．（2024·高二·广东佛山·阶段练习）在空间直角坐标系中，点，则向量在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【解析】根据题意可得，所以， 则； 因此向量在上的投影向量为， 因此投影向量的坐标为. 故答案为： 28．（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）若空间两个单位向量、与的夹角都等于θ，则当θ取最小值时， ． 【答案】/0.5 【解析】由题意可得，则， 由， 故，当且仅当或时等号成立， 故，由于，故当时，此时θ取最小值时， 故， 故答案为： 29．（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）已知空间三点，，． (1)求以和为邻边的平行四边形的面积； (2)试判别点与点，，是否共面？请说明理由． 【解析】（1）由已知可得，，， ， 又，. 所以以为邻边的平行四边形的面积为. （2）由题，，，， 假设存在实数，使得， 则解得. ，即与是共面向量， 所以点与点共面. 30．（2024·高三·全国·专题练习）如图四棱锥，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且.求证：四点共面. 【解析】证明：由，且， 取的中点，连接，则，且， 所以， 又是以为直角的等腰直角三角形，所以. 过点作，垂足为，则点为的中点，且， 因为平面平面，且平面平面， 所以平面， 故以所在的直线分别为轴，轴，过点作垂直于平面的轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 因为为棱的中点，所以，又因为点在棱上，且， 所以，则，，， 令， 则， 则，解得， 故，则共面，且向量有公共点， 所以四点共面. 31．（2024·高二·江苏淮安·期中）已知点 (1)表示出，并求 (2)证明：与四点共面 【解析】（1）,所以，故， （2）设， 解的， ，则共面 又因为为公共点，所以这四个点共面 32．（2024·高二·江苏盐城·期中）已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值. 【解析】（1）因为，所以 解得，即， 由，且得 ，解得， 即的值为. （2）因为向量与向量，共面，所以设，R， 因此， 即解得， 所以的值为. 33．（2024·高二·湖南常德·开学考试）已知空间向量，，． (1)若向量与向量垂直，求x的值； (2)在（1）的条件下判断向量，，是否共面? 【解析】（1）由题可得，若向量与垂直， 则，即，解得. （2）由（1）， 假设共面，则存在实数，使得， 即， ，，矛盾， 故不存在实数，即向量不共面. 34．（2024·高二·浙江·期末）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，    (1)求证； (2)若点E为PB的中点，点F为CD的中点，点M为棱AB上一点．当时，求的值． 【解析】（1）因为为等腰直角三角形，，， 所以， 又，，所以， 而，，故， 因，平面，故平面， 又平面，所以； （2）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 设，而，所以， 所以，所以，又， 因为，故， 所以，解得， 所以． 35．（2024·高二·广东江门·阶段练习）已知向量，，点，. (1)求的值； (2)在直线上存在一点E，使得，求点E的坐标. 【解析】（1）因为向量，， 所以向量，， 因此， 所以； （2）因为，， 所以， 因为点E在直线上， 所以设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 因此点E的坐标. 36．（2024·高二·全国·期末）已知向量，，，，． (1)求向量，，； (2)求向量与所成角的余弦值． 【解析】（1）因为，，，且，， 所以不为， 所以，解得，，， 所以，，. （2）由（1）可得，， 所以， ，， 所以向量与所成角的余弦值. 37．（2024·高二·北京海淀·阶段练习）已知空间向量，，. (1)若，求； (2)若，求的值. 【解析】（1）空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得， 则． （2）因为，则，解得， 所以， 故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$