专题1.15 构造三角形全等方法——截长补短和倍长中线（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.15 构造三角形全等方法——截长补短和倍长中线 （知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 当不能直接证明两个三角形全等时，可以通过添加适当的辅助线，使它们在两个合适的三角形之中，再证这两个三角形全等，本专题介绍截长补短法和倍长中线法. 【知识点一】截长补短法 截长法：在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证明剩下的线段与另一短边相等。 补短法：延长较短线段至与另一条已知的较短线段的长度相等，然后证明新线段与最长的已知线段的关系。 【知识点二】倍长中线法 倍长中线：是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明） 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】截长补短 【例1】（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【变式1】（20-21八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，已知在中，平分，，则 . （用含的代数式表示）. 【题型2】倍长中线 【例2】（23-24八年级上·河北廊坊·期末）下面是多媒体上的一道习题： 如图是的中线，，，求的取值范围．    请将下面的解题过程补充完整 解：延长至点E，使，连接．    ∵是的中线， ∴__________， 在和中， ∴（__________填判定定理用字母表示） ∴_________， 在中，根据“三角形三边关系可知： __________________ 又∵ ∴__________________ 【变式1】（2024·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． . 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例】（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： （1）由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； （2）如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【例2】（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.15 构造三角形全等方法——截长补短和倍长中线 （知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 当不能直接证明两个三角形全等时，可以通过添加适当的辅助线，使它们在两个合适的三角形之中，再证这两个三角形全等，本专题介绍截长补短法和倍长中线法. 【知识点一】截长补短法 截长法：在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证明剩下的线段与另一短边相等。 补短法：延长较短线段至与另一条已知的较短线段的长度相等，然后证明新线段与最长的已知线段的关系。 【知识点二】倍长中线法 倍长中线：是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明） 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】截长补短 【例1】（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线、相交于点O， 求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式1】（20-21八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长． 解：在线段AC上作AF=AB， ∵AE是的平分线， ∴∠CAE=∠BAE， 又∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEB（SAS）， ∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB， ∵AB∥CD， ∴∠D+∠B=180°， ∵∠AFE+∠CFE=180°， ∴∠D=∠CFE， ∵， ∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠CEF=∠CED， 在△CEF和△CED中 ∵, ∴△CEF≌△CED（AAS） ∴CE=CF， ∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=， 故选：B． 【点拨】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式2】．如图，已知在中，平分，，则 . （用含的代数式表示）. 【答案】a-b 【分析】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，根据SAS证明△ADC≌△A′DC，根据△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A，再证明DA′=A′B即可解决问题. 解：在CB上截取CA′=CA，连接DA′， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠A′CD， 在△ADC和△A′DC中， ， ∴△ADC≌△A′DC（SAS）， ∴DA′=DA，∠CA′D=∠A， ∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB， ∴∠A′DB=∠B， ∴BA′=A′D=AD， ∴BC=CA′+BA′=AC+AD ∴AD=BC-AC=a-b， 故答案为：a-b. 【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 【题型2】倍长中线 【例2】（23-24八年级上·河北廊坊·期末）下面是多媒体上的一道习题： 如图是的中线，，，求的取值范围．    请将下面的解题过程补充完整 解：延长至点E，使，连接．    ∵是的中线， ∴__________， 在和中， ∴（__________填判定定理用字母表示） ∴_________， 在中，根据“三角形三边关系可知： __________________ 又∵ ∴__________________ 【分析】主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识，延长至点E，使．证明，推出，再利用三角形的三边关系，可得结论； 解：延长至点E，使，连接，    ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知： ， 又∵， ∴． 【变式1】（2024·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ，故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． . 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长至，使，连接，根据证明，则，根据可得，由此可得，即可得出，然后利用线段的和差即可求出的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 解： 如图，延长至G，使，连接， 在和中 ， ， ． ，， ， ， ， ． ， ， ． 故答案为： 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例】（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题． 【详解】如图，反向延长中线至，使得，连接， 是的内角平分线， 可设AB＝2k，AC＝3k， 在△ABC中，BC＝5， ∴5k＞5，k＜5， ∴1＜k＜5， 由三角形三边关系可知， ∴ 故答案为：． 【点拨】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： （1）由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； （2）如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1)；(2)，证明见解析；(3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点， 为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, 同理可得: , ∴， 此时, 延长交于 点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【例2】（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2）①AC   ②DF，见解析 （3） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$