1.1.1空间向量及其线性运算(5知识点+9题型）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019））

1.1.1空间向量及其线性运算 明确学习目标 课标要求 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算． 4.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件. 5.会证明空间三点共线、四点共面． 重点难点 掌握空间向量的线性运算；掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量的概念 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)空间向量不能比较大小． (4)空间向量共线不具备传递性(非零向量除外)． 知识点2 空间向量的加减运算 空间向量的加减运算 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 注意点： (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点． (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用． (3)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即＋＋＋…＋＝. (4)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即＋＋＋…＋＝0. 知识点3 空间向量的数乘运算 空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 注意点： (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (3)向量λa与向量a一定是共线向量． 知识点4 空间向量共线的充要条件 1．对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定． (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上． (3)向量共线的判定及应用 ①判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立． ②判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ. 知识点5 空间向量共面的充要条件 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明． ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 2提升学科能力 题型一 空间向量的有关概念 例1．在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 跟训1-1．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 跟训1-2．下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 跟训1-3．下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 题型二 空间向量的加减运算 例2．在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 跟训2-1．（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（　　）    A． B． C． D． 跟训2-2．化简：． 跟训2-3．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 题型三 空间向量加减的几何表示 例3．已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 跟训3-1．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（   ）    A． B． C． D． 跟训3-2．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 跟训3-3．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若一组基底为，，，则 . 题型四 空间向量共线的判定 例4．若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 跟训4-1．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 跟训4-2．如图，在平行六面体中，点在对角线上，且，点在对角线上，且．求证：、、三点共线．    跟训4-3．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    题型五 由空间向量共线求参数 例5．已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 跟训5-1．已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 跟训5-2．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 跟训5-3．设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 题型六 空间向量共面的判定 例6．对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 跟训6-1．已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．，共线 B．，共线 C．，，共面 D．，，不共面 跟训6-2．下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 跟训6-3．下列选项中正确的是（    ） A．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面； B．若与共面，则存在实数x，y，使； C．若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线； D．若是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 题型七 空间向量共面求参数 例7．已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 跟训7-1．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 跟训7-2．已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 跟训7-3．已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 题型八 空间向量的数乘运算 例8．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 跟训8-1．在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 跟训8-2．已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 跟训8-3．如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 题型九 空间向量数乘运算的几何表示 例9．在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 跟训9-1．如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 跟训9-2．如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 跟训9-3．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 3质量检测评价 一、单选题 1．已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ） A． B． C． D． 2．已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 3．在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列命题不正确的是（       ） A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有= B．“”是“共线”的充要条件 C．若共线，则与所在直线平行 D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面 8．如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 10．已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为 . 11．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，用，，表示 ． 四、解答题 12．如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示以下各向量： (1)； (2)； (3). 13．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1空间向量及其线性运算 明确学习目标 课标要求 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算． 4.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件. 5.会证明空间三点共线、四点共面． 重点难点 掌握空间向量的线性运算；掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量的概念 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)空间向量不能比较大小． (4)空间向量共线不具备传递性(非零向量除外)． 知识点2 空间向量的加减运算 空间向量的加减运算 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 注意点： (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点． (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用． (3)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即＋＋＋…＋＝. (4)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即＋＋＋…＋＝0. 知识点3 空间向量的数乘运算 空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 注意点： (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (3)向量λa与向量a一定是共线向量． 知识点4 空间向量共线的充要条件 1．对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定． (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上． (3)向量共线的判定及应用 ①判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立． ②判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ. 知识点5 空间向量共面的充要条件 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明． ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 2提升学科能力 题型一 空间向量的有关概念 例1．在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可. 【详解】    如图所示，可知是的相反向量. 故选：A 跟训1-1．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【答案】D 【分析】根据向量的相关定义即可求解ABC,根据向量的减法运算即可求解D. 【详解】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 跟训1-2．下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C. 【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 跟训1-1．下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【分析】根据向量相等的定义可判断A，B；根据向量的相等具有传递性，判断C；根据相反向量的含义结合零向量判断D. 【详解】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 题型二 空间向量的加减运算 例2．在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】, 故选:A    跟训2-1．（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形即可求解. 【详解】A：，故A符合题意；    B：，故B符合题意；    C：，故C符合题意；    D：，故D不符合题意；    故选：ABC. 跟训2-2．化简：． 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算及运算律即可求解。 【详解】原式． 跟训2-3．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示，    题型三 空间向量加减的几何表示 例3．已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算，用，，表示出. 【详解】点M，N分别为线段AB，OC的中点， 则 故选：D 跟训3-1．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算求解即可. 【详解】连接BD，E为PD的中点，    ． 故选：C． 跟训3-2．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量基本定理表示出，得到答案． 【详解】. 故选：B． 跟训3-3．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若一组基底为，，，则 . 【答案】 【分析】根据图形的几何性质，即可得出答案. 【详解】由已知可得，为与的中点， 所以，. 所以， . 故答案为：. 题型四 空间向量共线的判定 例4．若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【答案】A 【分析】根据四点共面、三点共线的知识求得正确答案. 【详解】由于，所以四点共面， 由于，所以三点共线， 根据平行四边形法则可知：是线段上，靠近的三等分点（如下图所示）. 所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 跟训4-1．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A. 【详解】对于A，若，则且，不能得到，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误， 故选：B 跟训4-2．如图，在平行六面体中，点在对角线上，且，点在对角线上，且．求证：、、三点共线．    【答案】证明见解析. 【分析】取空间的一个基底，结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答. 【详解】在平行六面体中，令，，， 则，，， 因此， 又，， 因此， 于是，即有，而与有公共点， 所以、、三点共线． 跟训4-3．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【详解】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    题型五 由空间向量共线求参数 例5．已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据空间向量共线的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得解. 【详解】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，， 若与共线，设，即， 可得，解得，故. 故选：D. 跟训5-1．已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 跟训5-2．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C 跟训5-3．设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解. 【详解】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 题型六 空间向量共面的判定 例6．对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【详解】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 跟训6-1．已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．，共线 B．，共线 C．，，共面 D．，，不共面 【答案】C 【分析】根据共面向量定理可作出判断 【详解】由题知，，是空间两个不共线的向量，， 由共线向量定理知，A，B，C三点共线， 由共面向量定理知，，，共面. 故选：C 跟训6-2．下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对，可以利用线性运算转化为，再进行判断. 【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 跟训6-3．下列选项中正确的是（    ） A．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面； B．若与共面，则存在实数x，y，使； C．若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线； D．若是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 【答案】AC 【分析】由空间向量共面定理即可判断AB，由共线向量的概念即可判断C，由空间向量基本定理即可判断D 【详解】由向量共面定理可知，若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面，故A正确； 若共线，不与共线，则不存在实数x，y，使，故B错误； 若向量所在的直线是异面直线，则的方向不相同也不相反，且所在直线也不 相交，所以向量一定不共线，故C正确； 若是空间三个基底向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使，故D错误； 故选：AC 题型七 空间向量共面求参数 例7．已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】利用向量共面得到线性表示，再化简求值即可. 【详解】因为共面，所以存在实数，使得，所以，解得. 故选：A. 跟训7-1．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 跟训7-2．已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项. 【详解】因为为空间任意一点，， 所以， 所以， 因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 跟训7-3．已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量共面的推论求解即可. 【详解】四点共面且任意三点不共线，， ，． 故答案为： 题型八 空间向量的数乘运算 例8．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得. 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 跟训8-1．在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：C 跟训8-2．已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，正确； 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：AC 跟训8-3．如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】根据题意，， 又，所以，    故选：A. 题型九 空间向量数乘运算的几何表示 例9．在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意， . 故选：C. 跟训9-1．如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到，然后将表示出来并代入的表示中，由此可得结果. 【详解】连接，如下图所示， 因为，， 所以，所以． 故选：A. 跟训9-2．如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 跟训9-3．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【详解】（1）， 向量如图所示，    （2）； 向量如图所示，    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示，    3质量检测评价 一、单选题 1．已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以， 故D错误.    故选：D. 2．已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据向量线性运算、相等向量和相反向量定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，，， ， 与是一对相反向量，①正确；    对于②，，，又， 与不是相反向量，②错误； 对于③，，，，， ， 与是一对相反向量，③正确； 对于④，，，又， 与是一对相反向量，④正确. 故选：C. 3．在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接,利用空间向量的基本定理求解即可. 【详解】连接，因为是线段的中点，所以 因为，所以 所以 故选：D 4．如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的定义及题设条件即可化简得到结论. 【详解】由点在上，且，知；由为的中点，知. 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对向量加法定义的运用. 5．设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 6．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点， 得，于是， 由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以. 故选：C 二、多选题 7．下列命题不正确的是（       ） A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有= B．“”是“共线”的充要条件 C．若共线，则与所在直线平行 D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面 【答案】BCD 【分析】根据向量的多边形法则可知A正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B错误； 根据共线向量的定义可知，C错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D错误． 【详解】对A，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确； 对B，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要性不成立，错误； 对C，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，错误； 对D，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面，错误． 故选：BCD． 8．如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用空间向量的基底表示向量，再结合空间向量线性运算，逐一对各项计算判断即可得出结果. 【详解】空间四边形中，，，点是线段的中点， ， ，所以选项D正确； 对于选项A，，所以选项A错误； 对于选项B，，所以选项B错误； 对于选项C，，所以选项C正确， 故选：CD. 三、填空题 9．若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 【答案】－/ 【分析】根据空间共线向量可得，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，存在实数λ使得， 即，解得. 故答案为： 10．已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由向量的线性运算可知，再由共面定理可知，即可得解. 【详解】由， 得， 即， 又，，，四点共面， 即，，共面， 所以存在唯一实数对，使， 所以， 解得， 故答案为：. 11．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，用，，表示 ． 【答案】， 【分析】根据向量的拆分即可求解. 【详解】. 故答案为：. 四、解答题 12．如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示以下各向量： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 根据空间向量的线性运算，结合图形依次求解即可. 【详解】（1） ∵是的中点， ∴； （2） ∵是的中点， ∴； （3） ∵是的中点， ∴. 13．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，结合向量减法法则求解； （2）根据向量加法法则求解即可； （3）根据向量加法法求解即可. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$