1.1探索勾股定理第2课时（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

1.1 探索勾股定理 主讲： 北师大版 八年级 上册 第1章 勾股定理 第2课时 学习目标 1．掌握用面积法验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题．（重点） 2．经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.（难点） 2.字母表示： 如果用a，b和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边， 那么 . 直角三角形两 的平方和等于 的平方. 1.勾股定理： 新课导入 a2 + b2 = c2 直角边 斜边 新课导入 事实上，现在已经有数百种勾股定理的验证方法，这节课我们就来验证一下勾股定理. 上一节课，我们探究发现了勾股定理，在右图中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗? 你是如何做的?与同伴进行交流. a c b 新课讲授 探究一：验证勾股定理 做一做：为了计算上图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后得到下图①和图②. a c b A C B D 图① a c b A B C D 图② (1)将所有三角形和正方形的面积用含a,b,c的关系式表示出来; 补 割 新课讲授 a c b A C B D 图① a c b A B C D 图② (2)图①和图②中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流. 新课讲授 如图①：大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . (a+b)2 c2 +4×ab ∵ (a+b)2 = c2 + 4×ab ∴a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴ a2+b2=c2 a c b A C B D 图① 毕达哥拉斯证法. a b b b a a (3)你能分别利用图①和图②验证勾股定理吗？ 新课讲授 如图②：大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . ∵ c2= 4×ab +(b-a)2 ∴c2=2ab+b2-2ab+a2 ∴ a2+b2=c2 c2 4×ab+(b- a)2 割补法求面积是几何证明题中常用的方法，要注意这种方法的应用.你还能用其他方法证明勾股定理吗？ a c b A B C D 图② 赵爽弦图 新课讲授 知识归纳 勾股定理的证明方法很多，常见的是面积法. 用面积法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. b c a b c a A B C D 1.如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积法证明勾股定理． 新课讲授 证明：∵ S梯形ABCD = S△ABE+S△BCE+S△EDA， 又∵ S梯形ABCD = (a+b)2，S△BCE = S△EDA =ab，S△ABE =c2， ∴ (a+b)2 = 2×ab+c2， ∴ a2+b2 = c2，即勾股定理得证． 美国总统证法. 议一议：前面已经讨论了直角三角形的三边长满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形是否也满足这一关系呢？观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2. 新课讲授 如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边长a，b，c不满足a2+b2=c2. 注意：勾股定理的应用前提是“在直角三角形中”. 新课讲授 探究二：勾股定理的简单应用 做一做：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 公路 B C A 400m 500m 解:在Rt△ABC中，由勾股定理得， BC2+AC2=AB2， 即 BC2+4002=5002， ∴BC=300. 300÷10=30m/s 答：敌方汽车的速度是30m/s. 2.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本为5 000万元/km，该沿江高速公路的造价预计是多少？ 新课讲授 解:在Rt△OMN中，根据勾股定理得MN 2+ON 2 = OM 2， ∴ 302+402 = OM 2，∴ OM = 50 km. 同理OQ = 130 km， ∴ 造价为（50+130）×5 000 = 900 000（万元）. 答：造价预计是900 000万元. 例1：作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，再作三个边长分别为a，b，c的正方形，将它们如下图所示拼成两个正方形．证明：a2+b2 = c2. 典例分析 证明：由图易知，这两个正方形的边长都是a+b，∴ 它们的面积相等． 左边大正方形面积可表示为a2+b2+ab×4， 右边大正方形面积可表示为c2+ab×4. ∵ a2+b2+ab×4 = c2+ab×4， ∴ a2+b2 = c2. 例2：如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，AD=13m，∠B=∠ACD=90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 典例分析 解：在Rt△ABC中,由勾股定理, 得 AC2=AB2+BC2，即AC2=32+42，∴AC=5m， 在Rt△ACD中,由勾股定理, 得 CD2=AD2－AC2，即CD2=132-52，∴CD=12m， ∴S草坪=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AC•DC =(3×4+5×12)=36 m2． 故需要的费用为36×100=3600元． 学以致用 1.若等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为( )A．30 cm2 B．130 cm2C．120 cm2 D．60 cm2 2.放学以后，小丽和小红从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家.若小丽和小红行走的速度都是40 m/min，小丽走了15 min回到家，小红走了20 min回到家，则小丽家和小红家间的距离为( )A．600 m B．800 mC．1 000 m D．不确定 D C 3.如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，阳光透过的最大面积是_________. 学以致用 200m2 4.直角三角形两直角边长分别为8 cm，15cm，则斜边上的高为______. 5.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现在需要在相对的顶点间用一块木板加固，则这块木板的长为______. 2.5 m 6.如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处.旗杆原来有多高? 12 m 9 m 学以致用 解：设旗杆顶部到折断处的距离为x m， 根据勾股定理得 解得x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m. 7.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1 = 2 km，BB1 = 4 km，A1B1 = 8 km.现要在高速公路上A1，B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离之和． 学以致用 解：如图作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交A1B1于点P，连接BP.则AP+BP = AP+PB′ = AB′，易知点P即为到点A，B距离之和最短的点．过点A作AE⊥BB′于点E，则AE = A1B1 = 8 km，B′E = AA1+BB1 = 2+4 = 6( km)．由勾股定理，得B′A2 = AE 2+B′E 2 = 82+62，∴ AB′ = 10 km，即AP+BP = AB′ = 10 km.故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10 km. 毕达哥拉斯证法 课堂小结 探索勾股定理2 勾股定理的应用前提 只有在直角三角形中，三边才满足勾股定理. 勾股定理的验证 赵爽弦图 美国总统证法 面积法 作业布置 教材习题1.2 感谢聆听 $$