第03讲一次函数的图象和性质(15考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第03讲 一次函数的图象和性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．认识正比例函数、一次函数的意义，掌握它们解析式的特点；(重点) 2．理解和掌握正比例、一次函数图象和性质，能利用所学知识解决相关实际问题；(难点) 3．运用待定系数法解求函数解析式； 4．通过一次函数图象和性质的研究，体会数形结合法在解决问题中的作用，并能运用性质、图象及数形结合法解决相关函数问题．(难点) 1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 2．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 3．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法： 经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2） 一次函数图象之间的位置关系： （3） 直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 4．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 5．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 6．正比例函数的性质 （1）单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． （2）对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] （3）对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 7．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 8．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 9．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 10．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 11．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 12．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 13．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 14．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 15. 一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:33:46；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:26:11；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 考点一：一次函数的定义 例1．（2023秋•裕安区校级月考）下列函数中，是的一次函数的是　　 A． B． C． D． 【变式1-1】（2023秋•瑶海区期末）下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】（2023秋•淮北月考）若是关于的一次函数，则的值为 　 　． 【变式1-3】（2023秋•瑶海区期末）已知是关于的一次函数，则为　 　． 考点二：正比例函数的定义 例2．（2023秋•霍邱县月考）若函数是正比例函数，则的值为　　 A．0 B．2 C． D． 【变式2-1】（2023秋•砀山县期中）若是关于的正比例函数，则的值为　　 A． B． C．2 D．3 【变式2-2】（2023秋•潜山市期中）已知一次函数是正比例函数，则的值为　　 A． B．2 C． D．1 【变式2-3】（2023秋•蚌山区期中）若是关于的正比例函数，则的值为 　 　． 考点三：一次函数的图象 例3．（2023秋•肥东县期末）直线和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 【变式3-1】（2023秋•包河区期末）两个关于的一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【变式3-2】（2024•埇桥区校级二模）如图，一次函数是常数且与一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【变式3-3】（2023秋•潜山市期末）已知，则一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 考点四：正比例函数的图象 例4．（2024春•莆田期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数为常数且和一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【变式4-1】（2023秋•庐阳区校级期末）在同一坐标系中，函数与的大致图象是　　 A． B． C． D． 【变式4-2】（2023秋•泗县期末）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 第一、【变式4-3】（2023秋•舒城县期末）下列图中，表示一次函数与正比例函数（其中、为常数，且的大致图象，其中表示正确的是　　 A． B． C． D． 考点五：一次函数的性质 例5．（2023秋•淮北期中）关于函数，下列结论正确的是　　 A．图象必经过点 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与直线平行 D．随的增大而增大 【变式5-1】（2023春•颍州区校级期末）若点，都在直线上，则下列大小关系成立的是　　 A． B． C． D． 【变式5-2】（2023秋•安庆期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【变式5-3】（2023秋•宣州区校级期中）一次函数的图象不经过哪个象限　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点六：正比例函数的性质 例6．（2022秋•濉溪县期末）已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【变式6-1】（2023•玉环市校级开学）若函数的图象上有两点，、，，当时，，则的值可以是　　 A． B．0 C．1 D．2 【变式6-2】（2022秋•定远县校级月考）若正比例函数中随的增大而增大，则一次函数的图象经过　　 A．第一、第三、第四象限 B．第一、第二、第三象限 C．第一、第二、第四象限 D．第二、第三、第四象限 【变式6-3】（2023秋•肥东县期末）对于正比例函数，当时，的最大值等于 　 　． 考点七：一次函数图象与系数的关系 例7．（2024•凤阳县一模）若直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的　　 A． B． C． D． 【变式7-1】（2023秋•大观区校级期中）两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的　　 A． B． C． D． 【变式7-2】（2023秋•贵池区期末）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式7-3】（2023秋•大东区期末）已知一次函数，随的增大而减小，则函数图象不过第　　象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点八：一次函数图象上点的坐标特征 例8．（2023秋•临泉县期末）函数的函数值随的增大而减小，当时，的值可以是　　 A．2 B．1 C． D． 【变式8-1】（2023秋•宿松县期末）直线与两坐标轴围成的三角形面积是　　 A．3 B．4 C．6 D．12 【变式8-2】（2023秋•固镇县期末）在一次函数的图象上任取不同两点，，，，则的正负情况是　　 A． B． C． D． 【变式8-3】（2023秋•包河区期末）关于一次函数的描述，下列说法正确的是　　 A．图象经过点 B．图象经过第一、二、三象限 C．随的增大而增大 D．图象与轴的交点坐标是 考点九：一次函数图象与几何变换 例9．（2023秋•蜀山区校级期中）一次函数的图象，可由函数的图象　　 A．向左平移2个单位长度而得到 B．向右平移2个单位长度而得到 C．向上平移2个单位长度而得到 D．向下平移2个单位长度而得到 【变式9-1】（2023秋•宿松县期末）把直线沿轴正方向向右平移2个单位得到直线，则直线的解析式为　　 A． B． C． D． 【变式9-2】（2023秋•利辛县校级期末）在平面直角坐标系中，若要使直线平移后得到直线，则应将直线　　 A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位 C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位 【变式9-3】（2023秋•亳州期末）将一次函数的图象向下平移个单位长度，使其成为正比例函数，则的值为　　 A． B． C．3 D．5 考点十：待定系数法求一次函数解析式 例10．（2023秋•贵池区期末）一次函数，当时，对应的函数值的取值范围为，求的值 　 　． 【变式10-1】（2023秋•长丰县期末）写一个图象与轴交于点，且随增大而减小的一次函数关系式　 　． 【变式10-2】（2023秋•贵池区期末）已知与成正比，当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）求当时的函数值． 【变式10-3】（2023秋•临泉县期末）已知一次函数的图象经过点，． （1）求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象； （2）若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．求的面积． 考点十一：待定系数法求正比例函数解析式 例11．（2023秋•埇桥区期中）已知与成正比例，当时，，则当时，的值是 　 　． 【变式11-1】（2023秋•淮北期末）已知中，其中与成正比例，与成正比例，且当时，；当时，． （1）求与的函数关系式； （2）若点在这个函数图象上，求的值． 【变式11-2】（2023秋•安庆期末）已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，求与之间的函数关系式． 【变式11-3】（2024春•无为市月考）已知与成正比例关系，且当时，． （1）求与之间的函数解析式． （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 考点十二：一次函数与一元一次方程 例12．（2023秋•大观区校级期中）画函数图象时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是　　 0 1 3 4 2 4 A． B． C． D． 【变式12-1】（2023秋•蜀山区期中）如图，直线与轴交点的横坐标为1，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 【变式12-2】（2023秋•包河区校级月考）如图，直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 【变式12-3】（2023春•阜阳期末）若关于的一次函数的图象经过点，则方程的解为　 　． 考点十三：一次函数与一元一次不等式 例13．（2023秋•固镇县期末）如图，直线和分别与轴交于点，点，则不等式组的解集为　　 A． B． C．或 D． 【变式13-1】（2024•含山县三模）已知一次函数的图象经过点和，其中，则下列结论正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 【变式13-2】（2023秋•庐阳区校级期末）如图，一次函数与轴，轴分别交于，两点，则不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【变式13-3】（2023春•庐江县期末）若函数和函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是　　 A． B． C． D． 考点十四：两条直线相交或平行问题 例14．（2023秋•全椒县期末）已知一次函数的图象经过点，且平行于直线，则的值为　　 A． B． C．1 D．4 【变式14-1】（2023秋•淮北期末）函数的图象与函数的图象平行，且与轴的交点为，则其函数表达式为　　 A． B． C． D． 【变式14-2】（2023秋•瑶海区期末）小王同学类比研究一次函数性质的方法，研究并得出函数的四条性质，其中错误的是　　 A．当时具有最小值为 B．如果的图象与直线有两个交点，则 C．当时， D．的图象与轴围成的几何图形的面积是4 【变式14-3】（2023秋•固镇县期末）已知直线与直线交点在坐标轴上，则　 　． 考点十五：一次函数与二元一次方程（组） 例15．（2023秋•六安月考）如图所示，一次函数，是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，下列判断错误的是　　 A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【变式15-1】（2023秋•贵池区期末）如图，直线、的交点坐标可以看作下列方程组　　的解． A． B． C． D． 【变式15-2】（2023秋•肥西县期末）如图所示，一次函数，是常数，且与正比例函数是常数，且的图象相交于点，下列判断正确的是　　 ①关于的方程的解是； ②关于，的方程组的解是； ③关于的不等式的解集是； ④当时，函数的值比函数的值大． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式15-3】（2023秋•长丰县期末）如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是　　 A． B． C． D． 1．（2024春•无为市月考）过，两点的直线不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2022秋•亳州月考）已知关于x的一次函数为y＝mx+4m+3，那么这个函数的图象一定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024•无为市三模）关于一次函数，下列说法正确的是　　 A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象与轴交于点 C．点在函数图象上 D．图象经过第二、三、四象限 4．（2024•全椒县三模）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，若点在直线上，则实数的值为　　 A． B．0 C．4 D．6 5．（2022春•泗县期中）如图，直线与相交于点，若点的横坐标为，则关于的不等式的解集是　　 A． B． C． D． 6．（2023春•颍东区校级期末）若一次函数的图象平移后经过原点，则下列平移方式正确的是　　 A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位 C．向下平移4个单位 D．向上平移4个单位 7．（2023秋•包河区期末）将一次函数的图象沿轴向上平移3个单位长度，所得直线对应的函数表达式为 　　． 8．（2023秋•蒙城县期末）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 　 　． 9．（2024春•埇桥区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和交于点，则关于的不等式的解集为 　 　． 10．（2023秋•宁国市期末）定义运算，：当时，，；当时，，；如：，；，；，．根据该定义运算完成下列问题： （1），　 　，当时，， 　 　； （2）如图，已知直线与相交于点，若，，结合图象，直接写出的取值范围是 　　 ； （3）若，，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一次函数的图象和性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．认识正比例函数、一次函数的意义，掌握它们解析式的特点；(重点) 2．理解和掌握正比例、一次函数图象和性质，能利用所学知识解决相关实际问题；(难点) 3．运用待定系数法解求函数解析式； 4．通过一次函数图象和性质的研究，体会数形结合法在解决问题中的作用，并能运用性质、图象及数形结合法解决相关函数问题．(难点) 1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 2．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 3．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法： 经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2） 一次函数图象之间的位置关系： （3） 直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 4．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 5．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 6．正比例函数的性质 （1）单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． （2）对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] （3）对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 7．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 8．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 9．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 10．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 11．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 12．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 13．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 14．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 15. 一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:33:46；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:26:11；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 考点一：一次函数的定义 例1．（2023秋•裕安区校级月考）下列函数中，是的一次函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义：，进行判断即可． 【解答】解：．是二次函数，不符合题意； ．是一次函数，符合题意； ．不是一次函数，不符合题意； ．不是一次函数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 【变式1-1】（2023秋•瑶海区期末）下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】 【分析】根据一次函数的定义：，逐一进行判断即可． 【解答】解：（1）是正比例函数，也是一次函数； （2）是一次函数； （3）的分母含有自变量，不是一次函数； （4）是二次函数，不是一次函数； （5）是正比例函数，也是一次函数． 是一次函数的有3个， 故选：． 【点评】本题考查一次函数的识别．熟练掌握一次函数的定义，是解题的关键． 【变式1-2】（2023秋•淮北月考）若是关于的一次函数，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于0即可求解． 【解答】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1． 【变式1-3】（2023秋•瑶海区期末）已知是关于的一次函数，则为　　． 【分析】根据一次函数定义可得，且，再解出的值即可． 【解答】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如，、是常数）的函数，叫做一次函数． 考点二：正比例函数的定义 例2．（2023秋•霍邱县月考）若函数是正比例函数，则的值为　　 A．0 B．2 C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义得出且，再求出即可． 【解答】解：中，是的正比例函数， 且， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数定义是解此题的关键，注意：形如、为常数，的函数叫一次函数，当时，函数也叫正比例函数． 【变式2-1】（2023秋•砀山县期中）若是关于的正比例函数，则的值为　　 A． B． C．2 D．3 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义解题即可． 【解答】解：是关于的正比例函数， 所以：且， 解得：． 故选：． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如 是常数，的函数，其中叫做比例系数． 【变式2-2】（2023秋•潜山市期中）已知一次函数是正比例函数，则的值为　　 A． B．2 C． D．1 【答案】 【分析】根据定义可得，即可求解． 【解答】解：一次函数是正比例函数， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查正比例函数的定义：一次项系数不为0，常数项等于0． 【变式2-3】（2023秋•蚌山区期中）若是关于的正比例函数，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】利用正比例函数的定义分析得出，再代入计算即可求解． 【解答】解：是关于的正比例函数， 且， 解得：， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键． 考点三：一次函数的图象 例3．（2023秋•肥东县期末）直线和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据各个图象的位置判断、的正负，比较即可． 【解答】解：、直线解析式中，，，直线解析式中，，，即，，一致，符合题意； 、直线解析式中，，，直线解析式中，，，矛盾，不符合题意； 、直线解析式中，，，直线解析式中，，，矛盾，不符合题意； 、直线解析式中，，，直线解析式中，，，矛盾，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查一次函数的性质与图象，解题的关键是掌握一次函数的性质． 【变式3-1】（2023秋•包河区期末）两个关于的一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定、的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确． 【解答】解：、对于，当，图象经过第一、三象限，则，也要经过第一、三象限，所以选项不符合题意； 、对于，当，图象经过第一、三象限，则，经过第二、四象限，与轴的交点在轴上方，所以选项符合题意； 、对于，当，图象经过第一、三象限，则，也要经过第一、三象限，所以选项不符合题意； 、对于，当，图象经过第二、四象限，若，则经过第一、三象限，所以选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为． 【变式3-2】（2024•埇桥区校级二模）如图，一次函数是常数且与一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求得令直线交点的横坐标，即可排除、，然后根据一次函数的图象和性质即可排除． 【解答】解：令，整理得， ，， ， 一次函数是常数且与一次函数的图象的交点的横坐标为1， 故、不合题意， 当时，一次函数的图象过一、二、三象限，一次函数的图象过一、二、三象限， 当时，一次函数的图象过一、三、四象限，一次函数的图象过一、二、四象限， 故符合题意，不合题意， 故选：． 【点评】本题考查一次函数的图象，解题关键是掌握一次函数图象及一次函数图象与系数的关系． 【变式3-3】（2023秋•潜山市期末）已知，则一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】判断一次函数的图象经过象限即可． 【解答】解：， ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限； 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数，当，时，图象过一、二、三象限；当，时，图象过一、三、四象限；，时，图象过一、二、四象限；，时，图象过二、三、四象限． 考点四：正比例函数的图象 例4．（2024春•莆田期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数为常数且和一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【解答】解：当，正比例函数图象经过第二、四象限，则一次函数图象经过第一、二、三象限，故选项正确，选项错误； 当，正比例函数图象经过第一、三象限，则一次函数图象经过第一、三、四象限，、选项错误；． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数、正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数图象与系数的关系是关键． 【变式4-1】（2023秋•庐阳区校级期末）在同一坐标系中，函数与的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数是常数，，我们通常称之为直线．当时，直线依次经过第三、一象限，从左向右上升，随的增大而增大；当时，直线依次经过第二、四象限，从左向右下降，随的增大而减小；一次函数中，看与轴交点，交与正半轴，交与负半轴，进而可得答案． 【解答】解：、函数的，函数中，则，两个的取值不一致，故此选项错误，不符合题意； 、函数的，函数中，则，两个的取值一致，故此选项正确，符合题意； 、函数的，函数中，则，两个的取值不一致，故此选项错误，不符合题意； 、图象中无正比例函数图象，故此选项错误，不符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了一次函数图象，关键是掌握正比例函数的性质，掌握一次函数的性质． 【变式4-2】（2023秋•泗县期末）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【解答】解：、正比例函数图象经过第二、四象限，则．所以，则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项符合题意； 、正比例函数图象经过第二、四象限，则．所以，则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项不符合题意； 、正比例函数图象经过第一、三象限，则．所以，则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项不符合题意； 、正比例函数图象经过第一、三象限，则．所以，则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法． 【变式4-3】（2023秋•舒城县期末）下列图中，表示一次函数与正比例函数（其中、为常数，且的大致图象，其中表示正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象即可解答． 【解答】解：．由一次函数图象可知，，则；正比例函数的图象可知不矛盾，故此选项正确，符合题意； ．由一次函数图象可知，；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； ．由一次函数图象可知，；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； ．由一次函数图象可知，；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是正确待定系数与的作用，本题属于基础题型． 考点五：一次函数的性质 例5．（2023秋•淮北期中）关于函数，下列结论正确的是　　 A．图象必经过点 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与直线平行 D．随的增大而增大 【答案】 【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：、当，，则点不在函数图象上，故本选项错误； 、由于，则函数的图象必过第二、四象限，，图象与轴的交点在的上方，则图象还过第一象限，故本选项错误； 、由于直线与直线的倾斜角相等且与轴交于不同的点，所以它们相互平行，故本选项正确； 、由于，则随增大而减小，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限，随增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随增大而减小；当，图象与轴的交点在的上方；当，图象经过原点；当，图象与轴的交点在的下方． 【变式5-1】（2023春•颍州区校级期末）若点，都在直线上，则下列大小关系成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出． 【解答】解：， 随的增大而减小， 又点，都在直线上，且， ． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 【变式5-2】（2023秋•安庆期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 【解答】解：， 随的增大而减小． 又，且点，，都在直线上， ． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 【变式5-3】（2023秋•宣州区校级期中）一次函数的图象不经过哪个象限　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】根据一次函数的性质一次项系数大于0，则函数一定经过一，三象限，常数项，则一定与轴负半轴相交，据此即可判断． 【解答】解：一次函数的图象一定不经过第二象限． 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质，对性质的理解一定要结合图象记忆． 考点六：正比例函数的性质 例6．（2022秋•濉溪县期末）已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据正比例函数的函数值随的增大而增大判断出的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：正比例函数的函数值随的增大而增大， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在一、二、四象限． 【变式6-1】（2023•玉环市校级开学）若函数的图象上有两点，、，，当时，，则的值可以是　　 A． B．0 C．1 D．2 【答案】 【分析】利用正比例函数的增减性求出的取值范围，结合选项即可得到答案． 【解答】解：正比例函数图象上有两点，，，，当时，， 随的增大而减小， ， 结合选项，四个选项中只有在的范围内． 故选：． 【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数图象与系数的关系是解题的关键． 【变式6-2】（2022秋•定远县校级月考）若正比例函数中随的增大而增大，则一次函数的图象经过　　 A．第一、第三、第四象限 B．第一、第二、第三象限 C．第一、第二、第四象限 D．第二、第三、第四象限 【答案】 【分析】先根据正比例函数的增减性得到，再根据一次函数图象与系数的关系求解即可． 【解答】解：正比例函数中随的增大而增大， ，即， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当，时，一次函数经过第一、二、三象限，当，时，一次函数经过第一、三、四象限，当，时，一次函数经过第一、二、四象限，当，时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键． 【变式6-3】（2023秋•肥东县期末）对于正比例函数，当时，的最大值等于 　12　． 【分析】先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论． 【解答】解：正比例函数中，， 随的增大而增大， ， 当时，． 故答案为：12． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 考点七：一次函数图象与系数的关系 例7．（2024•凤阳县一模）若直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论． 【解答】解：直线经过一、二、四象限， ，， ， 选项中图象符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 【变式7-1】（2023秋•大观区校级期中）两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先设定一个为一次函数的图象，再考虑另一条的，的值，看看是否矛盾即可． 【解答】解：、如果过第一、二、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误； 、如果过第一、二、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论不矛盾，故正确； 、如果过第一、二、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误； 、如果过第二、三、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误． 故选：． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况： ①当，，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 【变式7-2】（2023秋•贵池区期末）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据一次函数的图象不经过第三象限可得一次函数的图象经过第二、四象限或一次函数的图象经过第一、二、四象限，分两种情况进行计算即可得到答案． 【解答】解：一次函数的图象不经过第三象限， 一次函数的图象经过第二、四象限或一次函数的图象经过第一、二、四象限， 当一次函数的图象经过第二、四象限时，则有， 解得：， 当一次函数的图象经过第一、二、四象限时，则有， 解得：， 综上所述，的取值范围是：， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数、为常数，，当，时，图象经过一、二、三象限，当，时，图象经过一、三、四象限，当，时，图象经过一、二、四象限，当，时，图象经过二、三、四象限． 【变式7-3】（2023秋•大东区期末）已知一次函数，随的增大而减小，则函数图象不过第　　象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据已知函数图象的增减性来确定的符号． 【解答】解：一次函数的图象随的增大而减小， ．即该函数图象经过第二、四象限， ，即该函数图象与轴交于正半轴． 综上所述，该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：． 【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交． 考点八：一次函数图象上点的坐标特征 例8．（2023秋•临泉县期末）函数的函数值随的增大而减小，当时，的值可以是　　 A．2 B．1 C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，随的增大而减小，分别计算各选项中和值下的值，看哪个是负数，哪个就符合题意． 【解答】解：一次函数中，随的增大而减小， ， 、当，时，，不符合题意； 、当，时，，不符合题意； 、当，时，，不符合题意； 、当，时，，符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，能根据题意判断出是解题的关键． 【变式8-1】（2023秋•宿松县期末）直线与两坐标轴围成的三角形面积是　　 A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】 【分析】首先求出直线与轴、轴的交点的坐标，然后根据三角形的面积公式，得出结果． 【解答】解：令，则， 令，则， 故直线与两坐标轴的交点分别为、， 故直线与两坐标轴围成的三角形面积． 故选：． 【点评】此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数与轴的交点为，，与轴的交点为． 【变式8-2】（2023秋•固镇县期末）在一次函数的图象上任取不同两点，，，，则的正负情况是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与性质即可求解． 【解答】解：， 随的增大而减小， 当时，， ， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质． 【变式8-3】（2023秋•包河区期末）关于一次函数的描述，下列说法正确的是　　 A．图象经过点 B．图象经过第一、二、三象限 C．随的增大而增大 D．图象与轴的交点坐标是 【答案】 【分析】．利用一次函数图象上点的坐标特征可得出一次函数的图象不过点；．利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限；．利用一次函数的性质可得出随的增大而减小；．利用一次函数图象上点的坐标特征可得出一次函数的图象与轴的交点坐标是． 【解答】解：．当时，， 一次函数的图象不过点， 选项不正确，不符合题意； ．，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项不正确，不符合题意； ．， 随的增大而减小， 选项不正确，不符合题意； ．当时，， 一次函数的图象与轴的交点坐标是， 选项正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键． 考点九：一次函数图象与几何变换 例9．（2023秋•蜀山区校级期中）一次函数的图象，可由函数的图象　　 A．向左平移2个单位长度而得到 B．向右平移2个单位长度而得到 C．向上平移2个单位长度而得到 D．向下平移2个单位长度而得到 【答案】 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把一次函数的图象向下平移2个单位后所得直线的解析式为：． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 【变式9-1】（2023秋•宿松县期末）把直线沿轴正方向向右平移2个单位得到直线，则直线的解析式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：把直线沿轴正方向向右平移2个单位得到直线，则直线的解析式为，即． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键． 【变式9-2】（2023秋•利辛县校级期末）在平面直角坐标系中，若要使直线平移后得到直线，则应将直线　　 A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位 C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位 【答案】 【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案． 【解答】解：设将直线向左平移个单位后得到直线， ， 解得：， 故将直线向左平移个单位后得到直线， 同理可得，将直线向下平移5个单位后得到直线， 观察选项，只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查一次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象的平移规律：右加左减，上加下减． 【变式9-3】（2023秋•亳州期末）将一次函数的图象向下平移个单位长度，使其成为正比例函数，则的值为　　 A． B． C．3 D．5 【答案】 【分析】求出平移后的函数为，再由题意可得方程，求出的值即可． 【解答】解：将一次函数的图象向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式为， 平移后为正比例函数， ， 解得， 故选：． 【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，熟练掌握函数图象平移的性质，正比例函数的定义是解题的关键． 考点十：待定系数法求一次函数解析式 例10．（2023秋•贵池区期末）一次函数，当时，对应的函数值的取值范围为，求的值 　9或1　． 【答案】9或1． 【分析】当时，随的增大而增大，则时，，据此可求出的一个值；当时，随的增大而减小，则时，，据此也可求出的一个值，从而解答题目． 【解答】解：由一次函数的增减性可知，若该一次函数的值随的增大而增大， 则有时，，时，； 故有， 解得， ． 若该一次函数的值随的增大而减小，则有时，，时，； 故， 解得， ， 综上可知，或1． 故答案为：9或1． 【点评】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是要对进行分类讨论． 【变式10-1】（2023秋•长丰县期末）写一个图象与轴交于点，且随增大而减小的一次函数关系式　（答案不唯一）　． 【分析】根据随增大而减小，即可得到函数关系式中的系数；依据图象与轴交于点，即可得到，据此可得结论． 【解答】解：与轴交于点，且随增大而减小的一次函数关系式为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降． 【变式10-2】（2023秋•贵池区期末）已知与成正比，当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）求当时的函数值． 【答案】（1）； （2）0． 【分析】（1）设，再把，代入求出的值，进而可得出结论； （2）把代入（1）中的函数关系式，求出的值即可． 【解答】解：（1）与成正比， 设函数解析式为， 当时，， ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，． 【点评】本题考查的待定系数法求一次函数的解析式及一次函数的性质，根据题意设出函数解析式是解题的关键． 【变式10-3】（2023秋•临泉县期末）已知一次函数的图象经过点，． （1）求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象； （2）若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．求的面积． 【答案】（1）． （2）4． 【分析】（1）将点，代入解析式求出值即可，根据图像是直线确定两点坐标即可画出函数图象； （2）根据一次函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，依据三角形面积的计算公式计算即可． 【解答】解：（1）将点代入函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为． 令得，； 令得，； 所以一次函数的图象经过点和． 函数图象如图所示， ； （2）令时，， 令时，， 、，即，， ． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握一次函数的图象和性质是解答本题的关键． 考点十一：待定系数法求正比例函数解析式 例11．（2023秋•埇桥区期中）已知与成正比例，当时，，则当时，的值是 　6　． 【分析】设，把，代入并求得的值；然后求当时所对应的的值即可． 【解答】解：设， 把，代入，得． 解得． 所以当时，． 故答案为：6． 【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力． 【变式11-1】（2023秋•淮北期末）已知中，其中与成正比例，与成正比例，且当时，；当时，． （1）求与的函数关系式； （2）若点在这个函数图象上，求的值． 【分析】（1）与成正比例，可设，与成正比例，可把看成一个整体，设，利用待定系数法即可求解； （2）把，代入解析式解答即可． 【解答】解：（1）设，，则， 根据题意得， 解得：． ； （2）把，代入解析式， 可得：， 解得：． 【点评】此题考查待定系数法求正比例函数解析式，本题的思想应掌握：要求与之间的关系，先找与、与的关系，再根据条件，求出与之间的关系． 【变式11-2】（2023秋•安庆期末）已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，求与之间的函数关系式． 【答案】与之间的函数关系式为：． 【分析】根据题意设，，从而可得，然后把，和，代入联立方程组，进行计算即可解答． 【解答】解：设，， 则， 由题意得：， 解得：， 与之间的函数关系式为：， 即， 与之间的函数关系式为：． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【变式11-3】（2024春•无为市月考）已知与成正比例关系，且当时，． （1）求与之间的函数解析式． （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】（1）；（2）10． 【分析】（1）设关系式为，再将数值代入求值即可； （2）将点代入关系式，求出解即可． 【解答】解：（1）根据题意，设． 当时，， ， 解得， 与之间的函数解析式为． （2）把代入，得， 解得， 的值为10． 【点评】本题主要考查了求正比例函数关系式，熟练掌握待定系数法去函数解析式是关键． 考点十二：一次函数与一元一次方程 例12．（2023秋•大观区校级期中）画函数图象时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是　　 0 1 3 4 2 4 A． B． C． D． 【答案】 【分析】方程的根，即为的解，从表格看，当时，，当时，，即可求解． 【解答】解：方程的根，即为的解， 从表格看，当时，，当时，， 则在时，， 故选． 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程，一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与轴交点的横坐标． 【变式12-1】（2023秋•蜀山区期中）如图，直线与轴交点的横坐标为1，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由直线与轴交点的横坐标为1，可得，故，即可得答案． 【解答】解：直线与轴交点的横坐标为1， ， ， ，即， ， ， 故选：． 【点评】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是求出． 【变式12-2】（2023秋•包河区校级月考）如图，直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】方程的解其实就是当时一次函数与轴的交点横坐标． 【解答】解：直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，且，， ， 当时，， 关于的方程的解为：． 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 【变式12-3】（2023春•阜阳期末）若关于的一次函数的图象经过点，则方程的解为　　． 【答案】． 【分析】把点代入，求得，所以方程变为，即可求得方程的解． 【解答】解：关于的一次函数的图象经过点， ， ， 方程化为方程， ， ． 故答案为． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，求得是解题的关键． 考点十三：一次函数与一元一次不等式 例13．（2023秋•固镇县期末）如图，直线和分别与轴交于点，点，则不等式组的解集为　　 A． B． C．或 D． 【答案】 【分析】把，点代入不等式组，依据图象直接得出答案即可． 【解答】解：直线和分别与轴交于点，点， 的解集为， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据两条直线与轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集． 【变式13-1】（2024•含山县三模）已知一次函数的图象经过点和，其中，则下列结论正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】由题意可知，一次函数的图象过第二、三、四象限，即可求得，，则． 【解答】解：， ， 一次函数的图象经过点和，其中， 一次函数的图象过第二、三、四象限， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【变式13-2】（2023秋•庐阳区校级期末）如图，一次函数与轴，轴分别交于，两点，则不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由一次函数的图象过点，且随的增大而减小，从而得出不等式的解集． 【解答】解：由一次函数的图象可知，此函数是减函数，即随的增大而减小， 一次函数的图象与轴交于点， 当时，有． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 【变式13-3】（2023春•庐江县期末）若函数和函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：观察函数图象得时，， 所以关于的不等式的解集为． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式（组之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键． 考点十四：两条直线相交或平行问题 例14．（2023秋•全椒县期末）已知一次函数的图象经过点，且平行于直线，则的值为　　 A． B． C．1 D．4 【答案】 【分析】先根据两直线平行的问题得到，然后把代入中可计算出的值． 【解答】解：直线与直线平行， ， 直线过点， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同． 【变式14-1】（2023秋•淮北期末）函数的图象与函数的图象平行，且与轴的交点为，则其函数表达式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】两条直线平行，则一次函数的一次项系数相等，则．把代入函数解析式即可求得的值，得到函数解析式． 【解答】解：根据题意得： 把代入得： 则函数的解析式是： 故选：． 【点评】本题主要考查了函数解析式与图象上的点的坐标之间的关系，点在直线上即点的坐标满足函数的解析式． 【变式14-2】（2023秋•瑶海区期末）小王同学类比研究一次函数性质的方法，研究并得出函数的四条性质，其中错误的是　　 A．当时具有最小值为 B．如果的图象与直线有两个交点，则 C．当时， D．的图象与轴围成的几何图形的面积是4 【答案】 【分析】画出函数的大致图象，即可求解． 【解答】解：函数的大致图象如下： ．当时具有最小值为，正确； ．如果的图象与直线有两个交点，则，故错误； ．当时，，正确； ．的图象与轴围成的几何图形的面积，正确， 故选：． 【点评】本题考查的是两条直线相交或平行问题，涉及到一次函数，正确画出函数图象是解题的关键． 【变式14-3】（2023秋•固镇县期末）已知直线与直线交点在坐标轴上，则　2或　． 【答案】2或． 【分析】求出直线与轴轴的交点坐标，即得直线与直线在坐标轴上的交点坐标，把两交点坐标分别代入即得的值． 【解答】解：在中， 当时，， 当时，，， 图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为， 直线与直线交点在坐标轴上， ，或， 或． 故答案为：2或． 【点评】本题主要考查了两直线在坐标轴上的交点．熟练掌握一次函数与一元一次方程，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 考点十五：一次函数与二元一次方程（组） 例15．（2023秋•六安月考）如图所示，一次函数，是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，下列判断错误的是　　 A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【答案】 【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【解答】解：一次函数，是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， 关于的方程的解是，选项判断正确，不符合题意； 关于的不等式的解集是，选项判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项判断正确，符合题意； 关于，的方程组的解是，选项判断正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键． 【变式15-1】（2023秋•贵池区期末）如图，直线、的交点坐标可以看作下列方程组　　的解． A． B． C． D． 【答案】 【分析】两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组． 【解答】解：由图可知： 直线过，，因此直线的函数解析式为：； 直线过，，因此直线的函数解析式为：； 因此所求的二元一次方程组为： ． 故选：． 【点评】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 【变式15-2】（2023秋•肥西县期末）如图所示，一次函数，是常数，且与正比例函数是常数，且的图象相交于点，下列判断正确的是　　 ①关于的方程的解是； ②关于，的方程组的解是； ③关于的不等式的解集是； ④当时，函数的值比函数的值大． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】 【分析】根据两直线的交点坐标即可判断①②，根据图象即可判断③④． 【解答】解：两直线相交于点， 方程的解是， 方程组的解是：， 故①②正确； 当时，直线在直线的下方， 当时，，整理得：，故③错误； 当时，直线在直线的上方， 当时，函数的值比函数的值大，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质；图象法解一元一次方程和解二元一次方程组的方法， 【变式15-3】（2023秋•长丰县期末）如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【解答】解：当时，， 解得，则点的坐标为， 所以关于，的二元一次方程组中的解为． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 1．（2024春•无为市月考）过，两点的直线不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】利用待定系数法求出直线解析式，再根据一次函数的性质，即可判断． 【解答】解：设直线解析式为， 直线经过，两点， ， 解得：， ， 经过，两点的直线经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． 2．（2022秋•亳州月考）已知关于x的一次函数为y＝mx+4m+3，那么这个函数的图象一定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】当x＝﹣4时，可求出y＝3，由此即可得出答案． 【解答】解：当x＝﹣4时，y＝﹣4m+4m+3＝3， 即此一次函数的图象经过定点（﹣4，3）， 因为点（﹣4，3）位于第二象限，所以这个函数的图象一定经过第二象限． 故选：B． 【点评】本查了一次函数的图象，求出一次函数的图象经过定点是解题的关键． 3．（2024•无为市三模）关于一次函数，下列说法正确的是　　 A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象与轴交于点 C．点在函数图象上 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】 【分析】．由，利用一次函数的性质，可得出函数值随自变量的增大而减小； ．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出一次函数的图象与轴交于点； ．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点不在一次函数的图象上； ．由，，利用一次函数图象与吸收的关系，可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限． 【解答】解：．， 函数值随自变量的增大而减小，选项符合题意； ．当时，， 解得：， 一次函数的图象与轴交于点，选项不符合题意； ．当时，，， 点不在一次函数的图象上，选项不符合题意； ．，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与吸收的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键． 4．（2024•全椒县三模）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，若点在直线上，则实数的值为　　 A． B．0 C．4 D．6 【答案】 【分析】根据点，之间的关系，可得出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值． 【解答】解：把点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， 点的坐标为． 点在直线上， ， 解得：， 实数的值为． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化平移，根据点的平移，找出点的坐标是解题的关键． 5．（2022春•泗县期中）如图，直线与相交于点，若点的横坐标为，则关于的不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以不等式的解集为． 【解答】解：当时，， 即不等式的解集为． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 6．（2023春•颍东区校级期末）若一次函数的图象平移后经过原点，则下列平移方式正确的是　　 A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位 C．向下平移4个单位 D．向上平移4个单位 【答案】 【分析】根据一次函数的性质可以求出函数图象与轴的交点坐标，然后根据上加下减的平移法则可得结果． 【解答】解：当时，， 一次函数的图象与轴交于， 当一次函数的图象向下平移4个单位长度可过原点． 故选：． 【点评】此题主要是考查了一次函数的平移，应该熟记一次函数的平移规律：上加下减． 7．（2023秋•包河区期末）将一次函数的图象沿轴向上平移3个单位长度，所得直线对应的函数表达式为 　　． 【答案】． 【分析】根据一次函数图象的平移规律“上加下减”求解即可． 【解答】解：将一次函数的图象沿轴向上平移3个单位长度，平移后的直线表达式为， 平移后的直线对应的函数表达式为， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 8．（2023秋•蒙城县期末）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 　　． 【答案】． 【分析】写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：由得到：． 根据图象可知：两函数的交点为， 所以关于的一元一次不等式的解集是，即关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 9．（2024春•埇桥区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和交于点，则关于的不等式的解集为 　　． 【答案】． 【分析】利用数形结合的思想即可解决问题． 【解答】解：直线和交于点， ， 解得， 点的坐标为． 将点坐标代入得， ， 解得， ． 令得， ， 解得， 直线与轴的交点坐标为， 当时，直线在轴上方，即； 当时，直线在直线的下方，即， 关于的不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 10．（2023秋•宁国市期末）定义运算，：当时，，；当时，，；如：，；，；，．根据该定义运算完成下列问题： （1），　　，当时，，　　； （2）如图，已知直线与相交于点，若，，结合图象，直接写出的取值范围是 　　； （3）若，，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【分析】（1）由定理可知：，的值就是取和3的较小值，即；同理可得另一个式子的结果； （2）根据图象可知：当，； （3）由定义列不等式解出即可． 【解答】解：（1）根据定义，得，， 当 时，，， 故答案为：，； （2），， 根据图象，可得的取值范围：． 故答案为：； （3），， ， 解得． 的取值范围是：． 【点评】本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解，此类题目要认真阅读并理解新定义的内含：结果取最小值，第二问利用数形结合的思想求解更简便． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$