精品解析：河南省伊川县第一高中2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试卷

伊川一高2023-2024学年下学期高一期末模拟考试 数学试题 出题人：张航旗 审题人：刘永亮 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数 满足（为虚数单位），则 在复平面上所对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求复数 ，再结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为，则， 所以 在复平面上所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2. 某校高一年级有女生504人，男生596人．学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，经计算这50个女生的平均体重为，60个男生的平均体重为，依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合按比例分配的分层抽样即可求解. 【详解】高一年级有女生504人，男生596人．总人数为， 从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，没有按照比例分配的方式进行抽样， 不能直接用样本平均数估计总体平均数， 需要按照女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重， 即，即D选项最合理. 故选：D 3. 已知甲乙两组数据分别为和，则下列说法中不正确的是（ ） A. 甲组数据中第70百分位数为23 B. 甲乙两组数据的极差相同 C. 乙组数据的中位数为25.5 D. 甲乙两组数据的方差相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位数的定义可得甲组数据中第70百分位数为24；计算可知两组数据的极差都为5；由中位数定义可求出乙组数据的中位数为25.5；利用方差公式计算可求得甲乙两组数据的方差均为. 【详解】对于A，每组数据为6个，因为， 所以甲组数据中第70百分位数为第5个数，即为24，所以A错误； 对于B，甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，即B正确； 对于C，乙组数据的中位数为第三个数和第四个数的平均数，即，所以C正确； 对于D，易知甲组数据的平均数为22.5， 则甲组数据的方差为； 乙组数据的方差为； 因此甲乙两组数据的方差相同，即D正确. 故选：A 4. 设m、n为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（ ） A. 若m上有两个点到平面的距离相等，则 B. 若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件 C. 若，，，则 D. 若m、n是异面直线，，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，m与可以相交，直线m上关于交点对称的两点到平面的距离相等；对于B，C，根据面面垂直的判定及性质进行判断；对于D，根据面面平行的判定定理进行判断. 【详解】对于A，当直线m与相交时，直线m上关于交点对称的两点到平面的距离相等，故A错误； 对于B，若，，，则，又，所以；当时，，当时，，可以相交，所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 对于C，若，，，m与n位置关系不固定，可以是各自平面内的任意直线，故C错误； 对于D，若m、n是异面直线，，，，，则在直线任取一点 ，过直线 与点 确定平面，，又，则，，，所以，又，，所以，故D正确. 故选：D. 5. 若正实数满足，且恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再由乘1法和基本不等式可得最小值，由二次不等式的解法可得所求范围． 【详解】正实数满足，所以， 由恒成立，可得， ， 当且仅当时上式取等号， 则，解得， 故实数 的取值范围是， 故选：B. 6. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算棱台与棱台的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量. 【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 由题可知，四边形为等腰梯形，设，因为， 所以， 设棱台的高为 ，体积为，棱台的高为，体积为， 则， ，所以，又， 所以.所以该“方斗”可盛米的总质量为112kg. 故选：D. 7. 如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在 点处测得某山顶 的俯角为，经过后在 点处测得该山顶的俯角为，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（ ）（，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求出，再由可求出结果. 【详解】依题意得，， 在中，米，， 由正弦定理得，得米， 又 所以该山顶的海拔高度为米. 故选：B 8. 已知 是定义在R上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得m的取值范围. 【详解】设，由， 得， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递增， 因为 是定义在R上的偶函数，所以， 所以对任意的， ， 所以，函数为上的偶函数，且， 由，可得，即， 即，所以，解得， 故选：D 【点睛】方法点睛：形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分． 9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量模的坐标求法可判断A；根据平面向量垂直的定义和数量积的坐标运算可判断B；根据平面向量夹角的坐标求法可判断C；根据投影向量的求法可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：若，则，又，， 所以，故C错误； 对于D：若，则在上的投影向量为，故D正确． 故选：ABD. 10. 洛阳市某中学高二某班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示． 记事件A:“在班级里随机选一人，选到男生” 事件B:“在班级里随机选一人，选到团员” 下列说法正确的是（ ） 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 A. 事件A的对立事件为：“在班级里随机选一人，选到女生” B. 事件A与事件B互斥 C. D. 事件A与事件B相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，直接根据对立事件的定义即可；对于B，说明两事件可能同时发生即可；对于C，直接用古典概型概率的计算方法计算即可；对于D，直接使用两事件独立的定义验证即可. 【详解】对于A，由于事件A不发生当且仅当选到的不是男生，故其对立事件正是“在班级里随机选一人，选到女生”，故A正确； 对于B，由于存在既是团员也是男生的人，故事件A与事件B可能同时发生，从而不是互斥事件，故B错误； 对于C，直接计算即得，，故C正确； 对于D，由于，从而事件A与事件B不相互独立，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则（ ） A. 若相邻两条对称轴的距离为，则 B. 当的最小正周期为，时， C. 当时，的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为 D. 若在区间上有且仅有两个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对原函数化简；对于A，直接求出即可；对于B，求出在指定区间的最值，判断即可；对于C，直接求出平移后的函数解析式即可；对于D，由整体法直接求出的取值范围即可. 【详解】由题意知：， 对于A，，所以，所以，故A正确； 对于B，由，所以，由，， 所以当时，即时，， 当，即时，， 故B错误； 对于C，当时， 的图象向右平移个单位长度， 得到函数解析式为，故C正确； 对于D，若在区间上有且仅有两个零点，则， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 12. 如图，点 是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 若点 满足，则动点 的轨迹长度为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 当直线 与 所成的角为时，点 的轨迹长度为 D. 当 在底面 上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质定理可得动点 的轨迹为矩形，其周长为；显然三棱锥体积的最大值即为正四面体，易知最大值为；易知当点 在线段和弧上时，直线 与 所成的角为，可知其轨迹长度为；根据面面平行的判定定理可求出点 在底面 上的轨迹为三角形，易知长度的最大值为. 【详解】对于A，易知平面平面，故动点 的轨迹为矩形， 动点 的轨迹长度为矩形的周长，即为，所以错误； 对于B，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点 到平面的距离最大， 易知点 是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为，所以，B错误； 对于C：连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示， 当点 在线段和弧上时，直线 与 所成的角为， 又， 弧长度，故点 的轨迹长度为，故 正确； 对于D，取的中点分别为， 连接，如图2所示， 因为 平面平面，故 平面， ，平面平面，故 平面； 又平面，故平面 平面； 又 ， 故平面与平面是同一个平面. 则点 的轨迹为线段： 在三角形中， 则， 故三角形是以为直角的直角三角形； 故，故长度的最大值为，故正确. 故选：. 【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若向量不共线，且，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，可设为一组基向量，利用向量共线定理和向量基本定理运算求解. 【详解】因为不共线，所以可设为一组基向量， 因为，所以，使得， 所以，所以，消去，得． 故答案为：1. 14. 欲利用随机数表从00，01，02，…，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为______. 【答案】10 【解析】 【分析】根据随机数表，写出样本的前4个个体的编号，即可得出结果 【详解】从随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位编号有：16，95，55，67，19，98，10，……，不大于59的有16，55，19，10，……，第4个被抽取的样本的编号为10. 故答案为：10 15. 已知函数和，其中、均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象有交点的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件联立两函数，解得，结合、的取值，根据古典概型求概率公式即可求解. 【详解】根据已知条件联立，即，整理有：， 因为两函数图象有交点，所以，即， 当时，无解；当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；综上，满足条件的、共对， 又根据已知条件、的所有取值情况为种， 所以两函数图象有交点的概率为. 故答案为： 16. 已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数 的模，是以 轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程（n为正整数）有 个不同的复数根． （1）设，则___________； （2）满足方程的复数 的值所组成的集合为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得. （2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解. 【详解】（1）依题意，， 所以. （2）设，则， 因此，，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的 依次为， 所以所求的集合是. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对已知条件的理解辨析，以及复数乘法的计算. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知z是复数，和均为实数，其中i是虚数单位. （1）求复数z的共轭复数； （2）记，若复数对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，分别代入和，再根据两者均为实数可求得，，进而可求得复数z的共轭复数； （2）化简，再根据复数对应的点在第三象限可建立不等式组，求解即可. 【小问1详解】 设，则 由为实数，则，所以， 由为实数，则，所以 则，复数z的共轭复数. 【小问2详解】 由（1）可知， 由对应的点在第三象限，得，即， 解得 故实数m的取值范围为 18. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）若的外接圆半径为 ，且，求； （2）若，求锐角的面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由已知及正弦定理得到，然后据（1）的条件得到，进一步可得到，最后使用余弦定理解出； （2）先由已知及是锐角三角形，得到，再对任意的构造满足题目条件且面积等于的，即可得到的面积的取值范围是. 【小问1详解】 由及正弦定理得. 故，得. 所以，知. 记的外接圆半径为 ，则，且，故. 又有， 所以，即. 故， 解得. 【小问2详解】 我们已有，记的外接圆半径为 ，则. 是锐角三角形当且仅当，即，故的范围是. 又因为 . 故由的范围是，知的范围是，所以的范围是. 而，所以的面积的取值范围是. 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1），增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简，然后由周期公式和正弦函数单调性即可求解； （2）利用整体代入法结合正弦函数性质求解可得. 【小问1详解】 由 ， 可得函数的最小正周期为， 令，可得， 故函数的增区间为； 【小问2详解】 由，有， 所以， 所以， 所以，函数在区间上的值域为. 20. 某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. （1）求 和乙样本直方图中 的值； （2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）. （3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率. 【答案】（1）；； （2）平均值81.5，中位数82； （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率定义即可求出 ，再根据小矩形面积和为1即可求出 值； （2）根据平均数和中位数定义计算即可； （3）列出所有情况和满足题意的情况，再利用古典概率公式即可. 【小问1详解】 由直方图可知，乙样本中数据在的频率为， 则，解得； 由乙样本数据直方图可知，， 解得； 【小问2详解】 甲样本数据的平均值估计值为 ， 乙样本数据直方图中前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为 ， ， 解得，所以乙样本数据的中位数为82. 【小问3详解】 由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人， 将从分数在中抽取的2名学生分别记为，从分数在中抽取的4名学生分别记为， 则从这6人中随机抽取2人的基本事件有 ，共15个， 所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个，所以所求概率为. 21. 已知函数是定义域上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）设函数，若在上有两个零点，求实数m的取值范围； （3）设函数，若对，，都有，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质和已知列方程求出a，b，然后得到函数的解析式； （2）利用一元二次方程根的分布列不等式组求解可得； （3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得. 【小问1详解】 由，且 是奇函数，得， 于是，解得，即． 经验证，函数满足定义域，成立， 所以. 【小问2详解】 函数在上有两个零点，即方程在上有两个不相等的实数根， 所以在上有两个不相等的实数根， 则，解得． 【小问3详解】 任取，且， 则， 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以，函数 在上单调递减． 当，且， 则，，∴， ∴，即 所以，函数 在上单调递增． 由题意知， 令，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， ∴， 因为函数的对称轴方程为， ∴函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的都有恒成立， ∴， 即，解得， 又∵，所以的取值范围是． 【点睛】方法点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可. 22. 如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以 为直角顶点的等腰直角三角形，且. （1）证明： 平面； （2）求点 到面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出 的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：连接， 在三棱台中，； ，四边形为等腰梯形且， 设，则. 由余弦定理得：， ，； 平面平面，平面平面，平面， 平面，又 平面，； 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，， ，平面，平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据棱台的性质、长度关系和勾股定理可证得；由面面垂直和线面垂直的性质可证得，结合 可证得结论； （2）延长交于一点 ，根据可求得，利用体积桥可构造方程求得结果； （3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出 ，由二面角大小可构造方程求得 ，进而得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由棱台性质知：延长交于一点 ， ，，， ； 平面，即 平面 ， 即为三棱锥中，点 到平面 的距离， 由（1）中所设：，， 为等边三角形，， ，； ，， ， 设所求点 到平面的距离为，即为点 到面的距离， ，，解得：. 即点 到平面的距离为. 【小问3详解】 平面， 平面，平面平面 ， 平面平面 取 中点 ，在正中，，平面， 又平面，平面平面． 作，平面平面，则平面， 作，连接 ，则 即 在平面上的射影， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，，即二面角的平面角. 设， 在中，作， ，，又平面，平面， ，解得：， 由（2）知：，， ，， ，， ，， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得：， ， 存在满足题意的点，. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于长度的方程，从而求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 伊川一高2023-2024学年下学期高一期末模拟考试 数学试题 出题人：张航旗 审题人：刘永亮 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面上所对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某校高一年级有女生504人，男生596人．学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，经计算这50个女生的平均体重为，60个男生的平均体重为，依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为（ ） A. B. C. D. 3. 已知甲乙两组数据分别为和，则下列说法中不正确的是（ ） A. 甲组数据中第70百分位数为23 B. 甲乙两组数据的极差相同 C. 乙组数据的中位数为25.5 D. 甲乙两组数据的方差相同 4. 设m、n为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（ ） A. 若m上有两个点到平面的距离相等，则 B. 若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件 C. 若，，，则 D. 若m、n是异面直线，，，，，则 5. 若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在 点处测得某山顶的俯角为，经过后在 点处测得该山顶的俯角为，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（ ）（，） A. B. C. D. 8. 已知 是定义在R上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分． 9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 10. 洛阳市某中学高二某班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示． 记事件A:“在班级里随机选一人，选到男生” 事件B:“在班级里随机选一人，选到团员” 下列说法正确的是（ ） 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 A. 事件A的对立事件为：“在班级里随机选一人，选到女生” B. 事件A与事件B互斥 C. D. 事件A与事件B相互独立 11. 已知函数，则（ ） A. 若相邻两条对称轴的距离为，则 B. 当的最小正周期为，时， C. 当时，的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为 D. 若在区间上有且仅有两个零点，则 12. 如图，点 是棱长为2的正方体的表面上一个动点， 是线段的中点，则（ ） A. 若点 满足，则动点 的轨迹长度为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 当直线 与 所成的角为时，点 的轨迹长度为 D. 当 在底面 上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若向量不共线，且，则的值为______． 14. 欲利用随机数表从00，01，02，…，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为______. 15. 已知函数和，其中、均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象有交点的概率为________. 16. 已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中 是复数的模， 是以 轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程（n为正整数）有 个不同的复数根． （1）设，则___________； （2）满足方程的复数 的值所组成的集合为___________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知z是复数，和均为实数，其中i是虚数单位. （1）求复数z的共轭复数； （2）记，若复数对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 18. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）若的外接圆半径为 ，且，求； （2）若，求锐角的面积的取值范围． 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）求函数在区间上的值域. 20. 某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. （1）求 和乙样本直方图中的值； （2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）. （3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率. 21. 已知函数是定义域上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）设函数，若在上有两个零点，求实数m的取值范围； （3）设函数，若对，，都有，求实数t的取值范围． 22. 如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以 为直角顶点的等腰直角三角形，且. （1）证明：平面； （2）求点 到面的距离； （3）在线段上是否存在点 ，使得二面角的大小为，若存在，求出 的长，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $