周测12 指数函数，对数函数图象与性质的综合应用- 【蓝海启航·启航金卷周周测】2024-2025学年高中数学必修一册（人教A版2019）

周测12指数函数、对数函数图象与性质的综合应用 云已知商数了x=(+协的周象站原点，且无眼接近直线y=但又不与该直线相交：测下 列说法正确的是 A.w■-2.h■8 其/x)的值域为（一0,2） (时间.0分种分值，100分) C,若x<y<0,期frfy) D若f《c)=f《y+且xy,期r十y=0 一，选择是本题共5小题，每小题分，其器分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是料合驱 长甲，乙、内、丁四个物体同时从某一点出发向司一方向运动，其路程了，《言1：=，2,3,4)关于时 日要求的 到a(r30的m数关系式分别为(x=2-1,,(r》=,f(r=f,(r)=g:r十1 1知m数儿=-2 ,附(：的倒象大效是 则以下结论正确的是 x-1 A,当x>1时，甲走在最前自 B当<时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 鼎歌 C.两石可能走在最角面，血不可像走在量后留 几如果它们一直运动下去，都么最终麦在最角面的是甲 选择通餐是栏 昭号 3,若而数(r的出象与质数g《x)=()了的倒象关于直线义=r对称.期f(2:一的单调通 答案 或区闻为 三，填空题（客通共4小题，每小延5分，共20分》 A.(-0m.12 且[1，+o) C,(0,11 n.[1,2J 身，写指个满是了(ry1=/《:1+/《y》的增数/(F1= 长 ,近年来，中帽加大了电动汽车的纤究与推广，颜计再2丽年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透 10记1-Q25于+g2+g2×g5十(g5,则关Fx的方程手+21-1一0的解第为 常有星葛过70%，新型动力电池随之也迎素了篷结发候的机碧，已知蓄电池的容量广（单旋： A·h.放电时可（单位：h与放电电流（单位：A)之可的美来为C一下·t,其中划一g:名在 1,设网数：二+心《：为白然对数的账数：“为會数)，者：1为钱函数：烟实数： 电法容量不变的条件下，当放电电德了=0A时，教电时何1=订，瑞当故电电流=1听A时， 著对Y:∈R,了(x1恒成这，实数Q的取值范围是 教 放电时间为 1比已知两数)-一2+》，ga)-m·r+2（m<以若对V毛[宁+ A.28h 且，28,5h ,29h D,29,5 h 3r,∈1,2，使得/(.，》十(1：>6或立，则m的取值范国是 点已知雨数fr-。《a>0,且a1.若>1对干任章的xe(0,)摇成文，别而数 回，解若题（本愿共1小题，共40分.解苦应写出文字说明，证阴过程或演算步骤） (x的单湖这增区间为 1 13(木小篮情分日分)已知两数/〔x)=%(9+1)一k:〔∈R)是偶函数 A(哈+ (片t c.(, n-o,制 (1)求去的值： 帮五已知雨数1-品++s,且u十山一4>6，附安致a的取值夜调为 ()若方程x)-0(”十)有解.求实数的取植范围。 A.-4.10 H,(-3.2) C(0.a) 1八4-m,-4》U(1,+o1 舞标三，透择慧〔本戴共3小藏：每小题5分：共1分，在每小感给出的西个法项中，有多项是行合婚日 要求的，全都志对的得5分，选对包不全的得2分，有选错的不得分》 成关于看意-出，有下列结险，其中正的的是 A.其图象关于y绍对称 R(x的量小值g3 C.当x0时，了《x)是增雨数：当不<0时，《x)是减雨数 Df(x)的单调递增区可是（一1.0）.4I,十》 司测1？登数清数，月营函数阁象与性质的除合攻用 14.本小短演分3分E知所数f=e。>,且。一 我体小框腊分分已知商数rg=g>且。中1g的定 (1》试列断函登x1的奇属性： 义域关于原点对路，了(0)一双， (2》当a-2时，求函数f《x)的值域1 (1)求春的值，判所两数《2)的奇国性并说明里出： 43)已知e(r1--2F,若a,∈[-4，，3：e[0,].搜得r)-e(:)>3,米实数 (2)求两数了(：)的值城： 的和值范围， (3)若美于x的方程m[/x)产-（世一1f《r)一=0有解，求实数m的取植范围， 线 你 州风测数学必榨第一看A版 ·0是-}-25-k9-e要-2如g吾六 3 3 ,令1=1+ a 2二与则画数1-1+2在[1,3门上单调遥 1 111 21ogm10g.15,故-+， ,22+1 减，又y=1og14在[1,3]上单调递增， ∴·其(r)在[1,3]上单调递减，g(x)m.=g(1)=og4=2. 误，故选AC 当a=0时+f(x)=一2，则一2<g(x)m,满足题意： 7.ACD解析：对于画数f(r)=nx十n(2一x),有 当a<0时，f(x)在[一2,1门上单调递减， 2-1>0.可得0<r<2,即画载fx)的定又裁为02)，且 x>0, ∴.f(r）.=f(-2)=-2a-2, ∴.-2a-2<2,解得-2<a<0: f(x)=ln[x(2-x)](x∈(0,2)) 者a>0时，f(x)在[一2,1门上单调递增， 令1=x(2-x)=-(x-1)十1∈(0.1]，则g(1)=n1∈ ∴.f(x).=f(1)=4一2， (一∞，0]，D对： .d-2<2,解得0<a<4. 西数1=x(2一x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减， 棕上所述，实数（的取值范围为（一2,4）， 又函数y=ln1为增西数，所以函数f(x)在(0,1)上单调递 13,解：(1)因为锅数了(x)=l0gr的图象过点(9,2)，所以 增，在(1,2)上单调递减，A对，B塔： 10g9=2,所以a=3,即f(x)=log1x, 图为f(2-x)=ln(2-x)+1n[2-(2-x)]=ln(2-x)+ (2)国为f(x)在(0，十∞)上单调递增，所以3x一1>-x+ In x=f(x), 所以y=f(r)的图象关于直线F一1对称，C对.放选ACD 5>0,即不等式的解集远（受，） 8.ABD解析：因为2°+a=l0g:b+b=2,所以2=2一a 14,解：(1)由 logb=2-h,故a,b分别为函数y=2,y=logx与y=2 2+1之0解得-2<1<2， 12-x>0, r图象交点的横坐标，而西数y=2,y=0g:x互为反西数， 即函数f(x)的定义城为（一2,2）. 它们的围象关于直线y=x对称，在可一坐标系中画出y= 2十 2,y=l0g,y=2-x的图象，如图， f()=log.(+)-log.(2-r)-log.2 2十立>0→2一x 当a>1时.f(x)>0=l0g2-x 2+工>1，解符0< x<2: 当0<u<1时，fx)>0=l0g.2- ?牛>0=0<2牛上<1，解 2-x 得-2<r<0. 综上，当a>1时，f(x)>0的解集为(0,2)： 当0<a<1时，f《r)>0的解集为（一2,0）. (2)当d>1时，y=10g.(2+x)在定义城上为增品数，y 由图知，点A(d,2)与B(b,logb)关于直线y=r对称，于 一0g(2一x)在定义战上也为增函数， 是得a>0.b>0,a≠b,a十b=2, 所以f(x)=log(2+x)-log(2-x)在(-2,2)上为培 6<(兰）'-1当且仅有。-6时取”，又u≠0，故 函数， 所以f(x)=og(2+x)一log(2-r)在[一1,1]上为增 h<1,A正确： 函数， 又6=2a,则24=2-=2->21=1 所以f(x)m.=f(1)=log3-log1=log3=2, B正确： 所以a2=3.解得a=√3（舍负）. loga+logb=log:(ab)<log:1=0,C错谋： 15.解：D由已知十1>0解得-1<x≤2，A=(-1,2]. 日+6a+(位+若)-(2++÷)≥(e 1,11 12一x20, (2)当re-1,2时，◆1-（号）广∈[日： +2√会·吾)=2当凰仅当a=6时取=，又a6,故 则（行）-4·（得）广+3≥m,牌r-和+3≥m在 。+>2.D正确.故达ABD. [日)上饭成立， 9.一2解析：g了 -21g5=g41-g52=-(1g4+ 令h(1)=9r3一4十3，则h(1≥m, lg5)m-1g(4×25)=-1g102=-2. 又：画载)的图泉的对格轴为4=号，且号∈[写3)： 10,(一co,2]解析：由一x2十4r+5>0,得一1<x<5, 设1=一x2十4+5，则=-x2十4x十5=-(x-2)2十9 h0=h(号）=9x(号）)-4x号+8-9 因为一1x5,所以0<1≤9， 所以l0g1≤0g9=2,所以函数f(x)的值城为（一©©，2]. am<器 1.-5解折：周为f=h一2，E（-2,2》, 周测12指数函数、对数函数图象 2+一2 所法f-r)=n2-正 与性质的综合应用 L,D解析：函数f(x)的定义战为{xx≠士1 所以+--b帚+h告-=[（()× 在定义城内有f(-x)=二2二2)=2-22 1-x|-1 x-1 (）门-4=4 f(x）, 所以函数∫(x)在定义域{xx≠士1)上是偶函数，则A选项 则f(a)+f(-4)=-4, 错误： 又周为f(a)=1,所以f(一a)=一5 12.(一2,4)解析：对任意的r1E[一2,1]，总存在r:∈[1 又() ×2-g ② 3],使得f(x1)<g(rg)成立f(x)<g(x）… 0,则B,C选项错误. 牛=e(+22 ()=log:21-log:21 故选D, ·77· 答案全解全析 2.C解析：由题意知，函数x)是画数g)-(分)广的反 的单调递增区间是（一1,0），(1，十©)，故D正确.故 速ABD. 画数，所以f(x)=log1x.即f(2x-x)=log1(2x-x2 7.AD解析：，f(x)过原，点，，f(0)=0,a十bm0.① 令2x-x>0,解得0<x<2, 0 又f(x)=logr是减函数，1=2r-x在(0,1)上单调递 增，在(1,2)上单调递减， ∴一士o时fu)-a(） +b…b. 由复合函数的单调性知，「(2x一x2)的单词递减区间为(0， 由f(x)的图象无限接近直线y=2,得6=2.② 1).故选C 由①②知，a=一2，b=2,故A正确： 3,B解析：由题意可得C=57×10°， 当1=15A时，则57×10”=15"·1。 x)=-2()+2x(）∈01.-2(） -n×()-7×(号)-57×[（侵）'门 十2∈[0,2)，故B错误： f(x)的图象如图所示， 57×[(号)门'-57×2--2.选 4,D解析：令w=2x-x,则一元二次函数M=2x2一x的图 象开口向上：时将为x= 所以当x= 时=一当=0=时=0，所 0 由圈知，f(r)在（一∞，0]上单调地减，：x<y<0,则 以=2r-re[-go) f(x)>f(y).故C错误： f(一r)=f(x),∴f(x)为得函数， 要使f)>1对于任意的x∈(0，号）恒成立，脚。>@ 又，f(r)=f(y),且T≠y.f(x)在（一o∞，0]上单调造减， f(x)在[0，十∞)上单调递增，一工■y,.x十y■0，数D 恒成立。 正确，故选AD. 则需y=a在[言0)上单河造减，所以0<<1，时y 8.B以CD解析：路程f(.x)(i=1,2.3,4)关于时间x(x≥0)的 函数关系式是f(x=2”一1，f1(x)=x,f(x)=x a”在R上单调递减. f,(,r)=1g:(r十1)，它们相应的虽数模型分别是指数型函 由于=2r-r在(-0，)上单调递减：在（行+e） 数，二次画数，一次画数和对铁型函数， 当x=2时，f1(2)=3,∫，(2)=4，命题A不正确： 上单调追增， 根据四种函数图象的变化特点，对数型函数图票的变化是先 所以根搭复合函数单调性“同增异减”的法尉可知，「(x)的 快后慢，当x=1时，甲、乙，两，丁四个物体又重合，从而可 单满递增区间是(-©，）故选D 知，当0<x<时，下走在最前面，当r>】时，丁走在最后 面，命题B正确： 5,D解析：令g(x)一 3-1 +3x,别g(x)■f(x)-3. 指数型品数图象的变化是先慢后快，当运动的时间足够长。 3+1 走在最前面的一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是 3++3+3-1 x∈R,R)+g(-x)-1 甲物体，.命题D正确。 3+1 -3x 结合对数型和指数型函数的图象变化情说，可知丙不可能走 3'-1,1-3 3”+i+3+=0. 在最前面，也不可能走在最后面，.命题C正确，故速BCD. 9,gr(答案不唯一)解析：由题意可知，函数f(x)=gx满 g(x)为奇函数 足条件， 证明：周为f(xy)=lg(xy)=gx十lgy=f(x)十f(y), 又：g(r)=1一3十+3x,由画数单调性的性质知， 所以满足f(xy)=f(r)十f(y), g(x)为R上的增函数 又西数f(x)=gx在(0，十o∞)上为增西数， f(a)+f(3a-4)>6,.f(a2)-3十f(3a-4)-3>0, 所以f(x)=gx特合条件. ∴g(a2)+g(3a-4)>0,则g(a2)>-g(3a-4)=g(4 3a) 10.011 解析：图为a=0.125T+lg2+g2×g5+(g5)产- .a>43a,解得4<一4或a>1,故aE(一o,一4)U(1, 十o∞).故选D (日）+g2+g5×g2+g5到 6AD解折：对于A,画数了)-g出的定又线为 =8+lg2+1g5×1g10=(2)于+1g2+g5=2+1=3 (一0∞，0)U(0,十)，文满足f(-r)=f(x),故f(r)为偶 所以方程4+2+1一入=0可化为4十+21一3=0， 函数，所以西数y=「(x)的图象美于y抽对称，故A正确： 令t=2(>0),别4+2+1-3=0可化为2+2t-3=0, 对于队品数)= 解得1=1或t=一3（舍去）， -(x≠0)，当r>0时，令1=x 所以2=1=2°，故x=0, 所以方程4+2+1一入=0的解集为0. 子孩高能麦为y=g1,1=十>2，当且仪当x=1时取 11.1 [有+）解析：由f-r)=f(x),得e+g=马 等芳，函数∫(x)又是偶画数，所以函数「(r)的最小值是 e-E g2,故B正确： 时子心，画长)计红学0，当>0时，◆= +ae,即a-D(e-）=0证成立，所以a=l.吉十 ae≥1领成立，等价于a≥- 子又1=+子在(0.）上是减画数，在[1，十四)上是增函 数，所以f(x)在(0,1)上是减函数，在[1，十o》上是增函数， ◆号-1>0，则y=-+1-(-合）'+4e0, 故C错误： 对于D,由C,结合y=f(x)的图象关于y抽对称可得f(x) +∞)=子t宾数u的取值花国[子+） 1 周周测数学必修第一册A版 ·78· 12(吉0）解折：国为对千V,∈[合+）小1： 14.解：(1)f(x)的定义城为R, [1,2].使得f(x1)+g(x)>6成立. 县-)-g-- 即Lf(x)一6]m>[一g(x》]n: 故f(x)是偶函数， 即[f(x)一6]n>一g(x)a, 图为f(r)=1g:(x2一2x+9),函数f(x)在(1，+o)上单 2s。-2时u)-b-(2+) 调递增，在（一⊙，1）上单训递减， 所以f(r)m=f(1)=3,即-3>-g(x)…◆ 用为2r>0,所以2十≥2，当理仪当=0时：取=，所 即g(x).>3. 以f(x)≥1， 又g(x)=m·4'十2+(m<0), 即f(r)的值城是[1，十∞). 设1=2，期t∈[2,4].h(t)=mt十21，图象的对称抽为 (3)x1∈[-4.4]，3x:∈[0,4].使得f(x1)-g(x:) 2,等价于g(r)<f(x)一2. 又g(x)=x-2E=(F)-2F+1-1=(wF-1)2 ①当一动≥4，即-≤m<0时，A)=A(40=16m+ 1,所以g(r)m=g(1)=-1. 8,中16m十8>3，解得m>-是所以-子<m<0 令画数46x)=g+分E[0,+eo 取Yx1x∈[0，十∞)，当x1>x2时， 有h)-h)三2+2二2二2方=1-22+】 21 、1 <m<-子时u=(）=- =-012)0 21-2 中-六>3，解得- m<0, 所以h(x)在[0，十6∞)上单调递增. 于是，当a>1时，f(x)在[0,4]上单调逆增，故f(r)m= f(0)=log.2, 所以10g2一2>一1，解得a<2,即实数a的取值范围为 ③当一日≤2，即m≤-专时，h0）=A(2)=4m十4，即 1<a<2t 当0<a<1时，f(x)在[0,4]上单调递减， 4m十4>3，解得m>一年，此时解集为0. 257 257 故fr)=f电=og6,所以og.6-2>-L.无解 1 棕上，m的取位范国是（一30 综上，实数a的取值范围为(1,2). 13.解：(1)因为9+1>0在R上恒成立， 15.解：1)由薄客，得（)=的定义减 所以f(r)=log。(9+1)一x(k∈R)的定义战为R. F+6>0,即 (x一1)(x+b》>0的解集关于原点对称，根据二次函数的 又周为f《r)是偶西数，所以Mx∈R,有f(一r)=f(x), 性质可得x=1与x=一b关于原点对称，故b=1. 所以log,(9+1)+kx=log(9+1)-kx对Vx∈R每 成主， 此时g(r)=log 工十定义城美于原点对称，g(一) x-1 脚2kr=1og(9+1)-1og,(9+1)=logg+1 9+1 gg片国为g)+g(-r)=e用 一x一1 ,+L log9=x对Vx∈R板成立： 即x(2k-1)=0对Hx∈R恒成立. +log,+1 -（片×胄）-e1-o, 国为工不恒为0，所以=了，经检验，符合题意 故g(一x)=一g(r),g(x)为年函数. （2)由1)择，f)=l6g(9+1》-方=lg,（g+1) 2南1*，-多行又10)=0，故写行-0，解释 c1,故fx)-2-1 2 =e=e(e+》: 2+1 1一2有国为2+1>1，故0< 2，故-1<12子1<1，即f)的值城为(-1， 2 2 则方程f)=10g,(+1）有解，即方程1og（3+ 1), )=16g(+1)有解 (3)由(2)知，f(x)的值战为（一1,1），故关于x的方程 mLf(x)一(m一1）f(x）一2=0有解，即m= 又周为对数函数y=10gx在(0，十6∞)上单调递增，所以方 程+一器+1有解。 了x)P-在fr)∈(-1,0U0,)上有解，令1= 2-f(r》 令1=3，到>0，方程化为1+上=四+1，即方程m 2-x)e1,2)U(2.3),即求y=2-)-2-) 1 -1+1在(0，十co)上有解， 令g(t)=t一1十1，荆y=m与g(1)的图象在(0，十0∞》上 12 —在1∈(1,2)U(2,3)上的值城即可. -3 有交点 因为了=g)的圈象开口向上，对轴为1=宁 因为1+2-8≥2√仪子-3=22-3，音且仅当1=E 所以g)在(@，安）上单润递减，在（分+四）上单调递 时取等号，且当与1-1时1+是-8-0，当1-3时，8+号 3=号故1+子-3e[2E-8,0U(0.号)故y ·79· 答案全解全析 (一，-3-22]U(受十），即实煮m的取值范国为1，ACD解析：南题高得10g士-120，学g士-12，所以 (-,--2U(+ 7。=105,所以1，=10m/m,且Li=10g101)=120+ 周测13函数的应用（二） 10lgI,故A正确： 若L.i=70dB.即10lg1=一50，则1=10m/m°： 1.C解析：函数f(x)=xlnr十2r一6在(2,3)上是连埃不断 若Li=80dB,即10lg1=一40，则1=100/m2,故歌唱家 的曲线。 唱歌时的声强范圈为[10-，10门（单位：w/m),故C正确： 由于f(2)<0,f(2.25)>0,所以f(2)·(2.25)<0, 设声强变为原来的k倍，对应声强级增加10dB, 由函数零，点存在定理得f(x)=xlnx十2x一6的零点所在 则[120+101g(kI)]-(120+10lgI)=10,解得k=10, 区问为(2,2.25). 即如果声强变为原来的10倍，则对应声强领增加10dB,故 所以方程xlnx十2x一6■0在区间(2,2.25)内一定有根，故 B错误，D正确.故选ACD 选C 8,AD解析：如图为函数f(x)的图象 2.B解折：因为画较y=81nr与y=一（行） -80在(0， 十o)上均为增西数， 所以f(x)在(0，十o∞)上为增函数. 因为f(2)=81n2-83<0.f(3)=81川n3-81>0: 所以函数「(x)的零点位于区间(2,3)内.故这B. 3,B解析：将转殊环境温度20℃，特陳环境下的初始温度 1o0℃，时间12min代入T=-12n0-0中. e1一tea 1e-20 得12=一12n00-20,解得u*0.4℃，故经过12min,这 物质的温度最挂近50℃.故选B. 由图可知，当∈(0,1)时，y=f(x)与y=a存在六个交点， 4.C解析：令了(x)=0,则 即方程f(x)=有六个不列的解，故A正确： 1og一子，在月一生标系 由围及西数解析式可知，r1十r:=一8，且一og:r:= agx4·可得x=1,所以T1十T十·x=一7，故B 中，分别画出y=logr|和= 错误： 3的图象，如图，不好设 由周可知，x:∈（山，2），-1（红1+2）+16 =8x1+ xm·x 0<m<1<,且函教y=3 1 628x1·5162,当且仪当8：=，即=2时 单词递减，由图可知，llDg2m>|logn,即一l0gm>l0gn, 所以l0gn十l0gn=log(mn)<0,所以0<mm<1.故选C 苹号成立.令g(r)=8+16 则g(1)=g(2)=24.所以 5.C解桥：令x)-enr-2-0得1h-2() 一，，十x,)+16∈[162,24，数C错误： x1·xi 令g(x)=lnr|,剩g(r)的图象是y=nx的图象保留x 由解析式可知，f(x)=f(2,),即logr,1=r。一4-1 抽上方的部分，网时将x轴下方的部分沿着上轴向上翩折得 剩的图象，如图所示， →-log,=-5,所以f2=(x-) x+: -8 令A(x)=2(日）)广，剩()的图象是y=(日）广'的圈象的 -5x共中x∈(5,6).令h(x)=-8,别h(x） 8 纵坐标扩大2倍，横坐标保持不变得到的图象，如图所示 在(5,6)上单训递减，又h(5)=0,h(6)=- 3 函数g(x)与4(xr)的图象有两个交点， 了，所以 即函数f(r)■e|lnr一2有两个零点，故这C ∈(-子0），故D医残.故选D rFIr h(r) 9.f(x)=(x一2)子（答案不唯一）解析：f(x)=(x一2)2的因 象在(1,3)上是连续不断的曲线，由「(1)=f(3)=1得 f(1)f(3)=1>0,在(1,3)上存在零点2. 1a(] 解析：设f(x1)=f(x:)=f(x)=k,别x1T:· r:为方程f(x)=表的解，所以x1,r:,P1为函数f(r)的 6,BCD解析：山于函数图象过点(1,1)和(2,3)，所以a=1, 图象与画数y=k的图象的交点的操坐标， 在可一坐标系中，作函数f(x)和y=k的图象如图， ka=3,解得a=3,k=3,故y=3 被函数为曲线型函数，故浮莽每月增加的面积不相等，A 错误， 每月增长率为一3 3一=3-1=2=200%，B正确： 当1=6时.y=3=243>200,C正确： =/ 由y-31-10,故1-lg10+1,同理4-1og20+1, 1:=log:40+1, 则11+t1=1og10+1+1og,40+1-1og400+2=2(1og20+ 1)=2t,D正确.故选CD. 周周测数学必修第一册A版 ·80·