周测8 抽象函数的性质- 【蓝海启航·启航金卷周周测】2024-2025学年高中数学必修一册（人教A版2019）

&已知函敷x)的定义域为《0，+，满足戏任意±，￥E(0,+回1，都有f(y)-/r)· 周测8抽象函数的性质 f(y)-f(r一/y)+2.且当r>1时，/x1>名厨下列说法正确的基 A./1》=2 (时间.60分种分值：100夺) B当rem,1)时，1<fa)1 C二/4)在0,1)上是减两数 一，选择题《本题共五小，每小题石分，共25分，在每小题给出的西个选项中，只有一项是行合题 D存在实数女，使每商数y-八x)十寿在0,1》上是减函散 日要求的 照1，前数y=r在区间(-4,7上是增函数，蝶楚鞋y一一)为蜡函数的区创为 遗择题苦短栏 A.【-2,39 弘(-1,7) C.(-1,101 D.(=10,=4 稻号 3.已知时任意实数x,y,函数f《x)满是(：￥十11=f《x十1)十(y十1》，喇 苦案 A:》的图象有对称中心 且.f《x)的图象有对称箱 三，墙空题〔本题共4小题，每小是5分：共20分》 Cf(r》晶增雨数 Df(x》是减函数 9.已知商数g(x)x》十2，若f(x)是春属教，且g1》一3，阑g(一1)= 五定义在k上的偶函数：)调是：对任意的，∈0，+（≠r:有二儿》0， 1a.设奇函数在0.+m)上为减雨数，且/1)=0，喇不等式)二<0的解集为 1 期一，(。}：(3)的大小关系为 11,己知是义在R上的函数/(x)满是了《1一x)一/(1+上》，且了(2)在1，+}上为单调遗减雨 A(号)<f-3<-2 Bf-2<号)<-》 数，则当「= 时，了(？)取得经大值，若不等式f0)<(四)成立，谢两的取值查围是 Cf-<-2< D-<八2}<-2 位定义在K(-1.上的雨数/0情是：1)--1（品，当2e《一0）时， 1.已知定义在民上的雨数/《：)在[一2，+©)上单到送增，且/《k一2)是周两数，则横足/2：)< (x十2》的x的取值范国为 )<0若#=f）+宁》：6=八宁}=fo.则= 三个实数：灯中最大 (导2到 且(-94-2)U(2,十) 的为 四，解答通（本愿热小霜，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或清算步骤） 31-2,2) D.(-.)U(2.+0) 13(本小题满分13分)已知桶数y=f(r)的定义城为《一1,1，且对任意4，hEt,都有了(a十 b1=f4》+/( 元上知雨数1的定文城是(0，十0，且南是fy1=了)+1（号）=l,如果对于0< (1)求了(0)的值： <x,那有fx>f八y),期不等式f2x十f8-一x≥一2的屏集为 1 (2)证明.了(z)为奇函数 A.[1,2] B.(-c.1U[2.+oe) 3)若了(2)在定义线上单周谨减，且「1一：)十(1一)0，求￥的取值范国. C0,1)U42,39 D.40,1门U[2,3》 二、选择题（本题共3小题，每小题5分.共5分，在每小题给出的西个选项中，有多项是特合婚目 要求的，全郎选对的得5分，建对恒不全的得2分，有选睛的不得分) 经板i已知肩数f是定文在鼠上的地的数：若：∈聚则 A.(+1)2>142u1 且.f(a+1》>f(w) C.f(2a)<f(a十+21 Dj(a'1>/a1 7.已知前数f的定文城为限，若Y,:RLx,产，)二<一么，照 h.(-1)>f1》+4 且.f(a)>《r+1)+2 C(w了1+2，wx3/0y n++2a+2+5 19 同测线轴象函数的性质 14(木小想满分18分记知定又在区问0，+一止的函数：)对于任意的：消足宁白）+ 1反（本小题惜分4分）已知前数)在定文城R上加为正，2)=，对任应的，6e,杯有 /(1:》=f(,2,且当x>14,f(z)<0 f《a)·f6)=f(w十4，当x<0时，f(r之L. 1》求(1)的值： 1)求/(0，/(8)的值： 42》判断（的单两住并用单离生定风加以证明： ()用定义正明：了(x)为R上的藏函数， 42若(3)==1.解不等式了(1r1>一2. 3求不等式-6>的都鬼 翠 明风测数学必榨第一看A版 ·0·一元二次西数y=一x一3r十4的图象开口向下，对称轴 因为1≤x1<x:≤4.所以xx:>1,x1一x:<0, 为一子又画纸y-厅在[0，十)止举调递增：根据 周此fr)-f,)=-a+ <0→f(r1) : 复合画数单调性“问增异域”的法则可知，∫(x)的单调递增 f(x,)0, .3 区阀是一4，一2」 即f(x1)<了(r:),所以函数f(x)在[1,4门上单调递增. (3)由(2)可知，函数f(x)在[1,4门上单羽递增， 11,(2,十o9)解析：因为f(.r)=一r一x,定义战为R,所以 所以当r∈[1,4门时，f(r）.=f(4)=4一1=3， f(-x)=一（一x)1一（一x)=-(一x1-x)=一f(x),所 以虽数f()=一x2一x是奇面数， .解：由画数二是定义在（一2,2）上的寺画 又函数f(x)=一x2一x为R上的减函数，所以由不等式 f(x+2)+f(3x-10)<0得f(x+2)<-f(3x-10) 数：符f0)--0,解降b-0, f(10-3r),即x十2>10-3x.解得x>2. 所以不等式f(x十2)十f(3r一10)<0的解集为(2，十o). a(-x》 12.-1≤a≤2解析：f(r)≥0在R上恒成立， 经检险，当6=0时，f(-r)=-)=一一云 则当x≤1时，十x-2≥0恒成立，所以a≥-x-2|, 又x-2<0,即≥r一2， -心，所以)=是(-2,2)上的寺画数，满足 故当x=1时，(x一2)a=一1，所以a≥-1： 题意。 当r>1时x-2ar+2a≥0放成立，所以a≤2(r-d a I 又f1)=4一下=3，解符a=1, =士+=市士 又2r-1）=2x-1) 2 故fx)=a6(-2.2 1 x-1 1 (2)函数f(x)在（一2,2）上为增函数，证明如下： 2x-D+1≥2√2 2(F-D+1=2, 在（一2,2）上任取t1T:且r1x:· 当且仅当一1 2 2x-D,即上=2时，等号成立，所以 1 附∫(x)-f()=一 =2,所以4≤2 (x-x1)(4十x1x:》 L2(x-1)J. (4-x)(4-t) 综上，实数a的取值范周是一1≤a2. 图为x:-x1>0,4十x1x:>0,4-x>0,4-x>0, 13,解：(1)因为当x≥0时，f(r)= 所以f(x:)一f(r1)>0,即f(r:)>f(x1), rti' 所以f(x)在(-2.2)上为增函数. 设x<0,-x>0,则（-)=(x)+12+ -(-x》 -x (3)因为「(x)为寺函数，所以一f(x)=∫（一x), 不等式f(1一1)+f(1)0可化为f(t一1)<-f(t) 又f(x)是定义在R上的奇函数， 即f(1一1)<f(-1), 所以f(r)=-f(-r)= 1=1-t, r+1 又f(x)在（一2,2）上是增函数，所以一2<1一1<2，解 -x -2<-12, 故∫(x)= x2+1r≥0. 2+1x<0 (2)函数f(x)在[0，十四)上单调递减，证明如下： 所以美于1的不等式的解华为（一1，） 当x∈[0，十∞)时，f(x)= x 2-(x+1)+1=-1 x2+1 x+1 周测8抽象函数的性质 1 +中 1,C解析：函处y=f(x一3)的图象可以看作函数=「(x》 的图象向右平移3个单位所得到，故由函散F(x)在区间 任取x1x,∈[0，+o),且x1<r2 (一4,7)上是增函数，得y=f(x一3)在区间（一1,10）上是增 期)f-1+(-1+) 1 面数，故选 2,B解析：令x=y=1,得f(2)=f(2)十f(2),.f(2)=0. _(1-x)(x1+x2) 令r=y=-1,得f(2)=2f(0)=0,∴.f(0)=0, (xi+1)(r+1) 令y=-1,得f(1-x)=f(x十1)+f(0)=f(1十x). 固为x1xa∈[0，十oo),且x,x2, ∴…f(x)的图象关于直线r■1对称.故选B 所以工1一r<0,十r>0,(i+1)(x+1)>0, 3.D解析：，对任盒的1，x1∈(0，十o)(x,≠x,),有 故f(x1)一f(x:)>0,则f(x1)>f(r), fx)-fx<0. 所以虽数f(x)在[0，十6©)上单调递减. 14.解：(1)因为函教f(x)=x十丝的图象经过点(1，一3)， f(x)在(0，十o)上单调递减，又f(x)为R上的锅画数， 所以有1十a=一3→a=-4,所以f(r)=x-4 ∴fx)在(-0)上单调通增，且f(受)=-) 其定义 城为{xx≠01， ∴f-3)<f(-号)<f(-2).即f(-3)<f(2）< 又f-r)=-x+4=-(x-）=-f),所以fx) f(一2).故德D. 1,C解析：由西数f(x一2)是偶函数，得函数y=f(x一2)的 是奇晶数， 图象关于y轴对称，而函数y=「(x)的图象可由函数y (2)函数f(x)在[1,4门上单调递增，证明如下： 「(x一2)的图象向左平移2个单位而得到，因此画数y 设1x1<r:4, f(r)的图象关于直线x=一2对称。义函数「(x)在[一2， 则1)-f)=-县-(-) 十0©)上单调遥增， 于是|2r-(-2)|<1x+2-(-2)|,聊(2x+2)2< (r1-x:)(x1x,+4) (x十4)，整理得x一4<0，解得一2<x<2, 所以所求。的取值莞周为（一2,2）.故选C ·69· 答案全解全析 5.D解析：由于f(xy)=f(x)十f(y),令x=y=1,得 f(1)=2f(1),脚f(1)=0, =-…[(）-]+[()-] 所以f)=f(2×2）-f2)+f(3)=0,又f(2) =1-fx,门·[()-2 1,所以f(2)=-1,所以f(4)=2f(2)=-2. 对于0<r<y,都有∫(x)>f(y),所以f(r)在(0，+o)上 0<<11 单调说减， 不等式f(2x)+f(3-x)≥-2，即f[2x(3-x)]≥f(4), 1<fx)2(）>2, 2x>0, 所以3一x>0,解得0<r≤1或2≤x<3,聊不等式的 2x(3-x)≤4， -f·[U()-0, 解集为(0,1]U[2,3).故选D. f(x,)<f(re）, 6.BC解析：因为a2+1-2a=(a-1)≥0，所以a2+1≥2a, 函数f(x)在(0,1)上为增函数，故C错误： 所以f(a2十1)≥f(2a),故A选项猾误： ,品数f(x)在(0,1)上为增函数，所以y=f(x)十k在(0， 因为42+1-a=(e-名）'+是>0，所以a+1>0,所以 1)上也为增函级， 若y=|f(r)十k在(0,1)上单调递减，则当x∈(0,1)时， f(a十1)>f(a),故B选项正确： y=|f(x)+k|=一f(r)一， 因为a2+2-2a=(a-1)2+1>0.所以a2+2>2a,所以 .当x∈(0,1时，f(x)+k<0,即k<-f(x. f(2a)<f(a2+2),故C选项正确； 又当「∈(0,1)时，1<f(r)<2,所以k≤-2，故D正确 故选ABD. 而对于与：无法比较大小，故D选项错误.故法BC, 7.ABD解析：设1>x·则f(x1)一f(r:)<-2(1一r:), 9,1解析：由题意知，g(1)=f(1)+2=3,f(1)=1. 脚f(x,)+2x1<f(x:)+2x. ,f(x)是奇函数， 令g(x)=f(x)十2r.则g(x1)<g(x:) ∴f(-1)=-f(1)=-1.-g(-1)=f(-1)+2=-1+ 2=1. 所以g(x)在R上单调递减， 由g(-1)>g(1),得f(-1)-2>f(1)+2, 10.(一©，一1)U(1,十8o)解析：f(x)为奇画数， 即f(-1>f(1)+4,A正确： )-f-D<0.2<0. 因为x<x十1，所以g(x》>g(x十1)， pf(x)+2xr>f(x+1)+2(x+1), ,f(x)在(0，十o)上为减函数且f(1)=0, 即f(x)>f(x+1)十2，B正确： .当x>1时，f(x)<0. ,奇函数困象关于原点时称 图为vF≥0，所以g〈W不)≤g0), ,在（一∞，0）上，f(r)为减函数且f(一1)=0，即x<一1 即f(vF)+2V斤≤f(0),C错溪： 时，fx)>0. 因为x+订≥2√·可=2（多仅当= 给上.2f<0的解集为(-，-1DU(1,十∞. 11.1(0,2)解析：由f(1-x)=f(1+x)如，∫(r)的园象英 即r=士1时等号成立)： 于直线r=1对称，又f(x)在[1，十∞)上单调递减，则 所以x(x+)≤2.降以/(+)+2( f()在（一o⊙，1门上单调递增，所以当x=1时，f(x)取到 最大值，由对称性可知f(0)=(2),所以由f(0)<「(m》, +)K2)+<f2)+5.DE角，故选AD 得0<m<2,即m的取值范国为(0,2)， 12.06解析：令x=y=0,得f(0)一f(0)=f(0),解得 8.A)解析：令x=y=1,则f(1)=f(1)·f(1)一f(1) f(0)=0,故c0. f(1)+2.即f(1)-3f(1)+2=0,解得f(1)=1或f(1) 设x<y,且满足一1<r<y<1·别(x十1)(y一1)=y一E 十y一1<0，所以一(1一xy)x一y 当f1)=1时，令x=1,y=2,则f(2)=f(1》·f(2) f(1)一f(2)+2,解得f(2)=1, 因为1一≥0，所以-1长号器 与当x>1时，f(x)>2矛盾，∴f(1)=2,故A正瑞： 国为一y0,得以高<0 当x∈0.1)时，>1，故(）>2 上.1< +2, 周为当r(-1.0)时，f(x)<0,故f(=)<0. 整理得fx)·f(）-fx)-f(）-0,则fx) 即f)-f)=/()<0,则f)< 故函数f(x)在（一1,1）上单调递增 ) 国为x)=/()+八 (）-1 (）- 取y=3,y1 “f(）>2(）-1>1.0< ）- 期a-()+(行）-（号）： 1<f(x)<2,故B正确： 因为0<号<号<1 设0<x1<x<1: fx)-f(x)=f(m)-f(x·）=fx) 所以f0)<f(号)<f(号)： 即c<a<h, [·()-fu)-()+2] 故三个实数a,b,(中最大的为6， 13.解：1)令a=h=0.得f(0)=2f(0),所以f(0)=0. =2fx)-x,)·1(）+()-2 (2)证明：虽数f(x)的定义城为（一1,1》，关于原，点对称， 设a=r,bm一x,则f[x十(-x)]=f(x)十f(-x), 周周测数学必修第一册A版 ·70· 即f(x)十f(-x)=f(0)=0, 即f(一r)=一f(x),所以函数y=f(x)是（一1,1）上的奇 令1=x,t2≥0 品数。 (3)因为f(x)在定义城上为奇函数， 由f(1-a)+f(1-a)<0得，f(1-a)<-f(-u+ 1)=f(a2-1),即f(1-4)<f(a2-1). 的值钱足[-子十)故选C 固为(x)在定义线上单调递减， 5,D解析：设年平均增长率为x,则有(1+p)(1十)=(1十 -1<1-a<1.0<a<2. x),解得x=√1十p)(1+q)一1.故选D. 所以-1<a2-1<1.所以0<a2<2, 解据0<a<1, 6D解析：二次函数y=.x2十4br图象的对称抽为x 1-a>a-1. a+a-2<0, -2 所以4的取值范围为(0,1). a 14.解：(1)令x:=x1>0.代入得f(1)十f(x1)=f(x1),故 当a>0,b>0时，二次函数的图象开口向上，对称轴x= f(1)=0. 2b (2)画数f(.x)在区间(0，十©)上是单调逆减的，证明如下： <0.幂函数y=x(x>0)在(0，十o0)上单调递增. 任取1d,∈(0，+6o),且x1>x,期>1. 对于C,由题意可得此时-2 =一2，得韦=a,所以茶函数 由于当x>1时，f(x)<0 y=·=的图象为直线，不满足题意，故不正确： 所以()<0，即f)-f)-() <0,图北 当>0，b<0时，二次函数的图象开口向上，对称轴x= f(x1)<f(x), 2h >0,幂函数y=x·(x>0)在(0，十o四)上单训递减. a 所以函数f(x)在区何(0，十©)上是单调地减的 (3)曲题意有/()=c)-f: 对于D,由延意可得此时-弘 =2,得b=一日，所以暴函数 则/()=f9)-f(3),而f(3)=-1,所以f9)=-2. y=广==上的围象为反比制禹数的图象，滴足题意， 故正确， 由于函数f(x)在区间(0，十∞)上单调递减， 当<0，b>0时，二次函数的图象开口向下，对称轴x 所以由(|x)>f(9),可得x<9,解得一9<x9. 又因为|x>0,因此不等式的解集为{x|一9x<0,或0 2边>0，落画数y-x户(>≥0)在(0，十o)上单调递减. x9, 15.解：(1)令4=b=0,则[f(0)门=f(0),又f(0)>0,所以 对于B,由题意可得此时一2 =2,得书=一山，所以系函数 f(0)=1. 国为/2)=号，所以8)=26)=2·2 y一卢-了一上的国息为反比制品数的图来，不满足题 意，故不正确： (2)]'=6 当a<0,b<0时，二次函数的图象开口向下，对称轴x (2)证明：设x<x,测f(x)f(x:)-f(x一x+r) a <0.紧虽数y=x·(x>0)在(0，十∞)上单调递增. fr)=f(r-x)f(r:)-f(r:)=f(x:)(ri-x:)-1]. 又不<x::所以r一x:<0,所以f《「一x:>1, 对于A,由婚意可得北时一2弘-一1，得么一」 又f(x:)>0,所以f(x1)-f(x:)>0,即f(r1)>「(x:), @=2,所以装画数 所以f(x)为R上的减函数. y=r=x,当r>1时，围象在直线y=r的下方，不满足 (3)由(1)知，f(8)=6,则f(50-61)>6,脚f(52 题意，故不正确.故速D 6r)>f(8), 7.cD解析：“画数fx)=r的围象经进点（分，2）小 又在R上单满送减所以-创<8，解样一言<<2， (位)广-2，得a=-1画数fx)=E 所以不等式6-0>的解集为(-号2 “f(2)=2,故A错议1 周测9幂函数、函数的应用（一） 函数(x)=x为奇西数，它的图象美于原点对称，故B 正确： L,A解析：由幕函数定义可得k=1, 若r∈[1,2]，函数f(r)=r1在[1,2]上单调递减，则 将点(4,2)代入即可得2=华，解得a=立 「1 f2)≤fr)≤f,脚fr)e[2l小故C正痛： 所以可得十a=2,故遮A 当x>0时-(2-=1-2红+x-1-少≥0. 2.D解析：因为y=(m2一m一1)x-m是暴函数，所 .f(x)≥2一x成立，故D正确.故选BCD. 以加一n一1=1，解得=一1或2， 当川=一I时，y=x·在(0，十)上单调递增，满足题意： 8.C解折：当<16时，p)=一言十6r一0= 5(r- 当m=2时y=r”=1,在(0，十∞)上不单调，不满足题意. 152+25. 故选D. 故当x=15时，获得最大月利润，为b(15)=25,故B正确，D a+10. 错误； 3.D解析：不等式(a+1)≥(3-2a)7可化为3-2a≥0， a+1≥3-2a. y=(x) =-x+6-=-(信+)+6< 解得导<a<收选D -2+6=2 4,C解析：设f(x)=x,代入点(2②)得2=2， 1 20 a=7f)=则y=x-克 当且仅当51=，脚x=10时取等号，此时月利淘率取得 最大位2，故C正确，A错误.故选BC ·71· 答案全解全析