基本不等式讲义-2025届高三数学一轮复习

第一章 集合与不等式 专题4 基本不等式 讲义 课标要求　1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． [知识总结] 1．基本不等式： (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 常用结论几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤ (a，b∈R)．(4)≥(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≤等号成立的条件是相同的．(　　) (2)y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　　) (4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　　) 2．(必修第一册P48习题T1(1)改编)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 3．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为(　　) A. B. C. D．1 4．(2023·重庆模拟)已知x>0，y>0，x＋y＝1，则＋的最小值为________． 考点一　直接法求最值 [例1](1)(多选)下列代数式中最小值为2的是(　　) A．x－ B．2x＋2－x C．x2＋ D.＋ (2)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________． 思维升华　对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式≥ 成立的前提条件为a>0，b>0 ；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．以上三点缺一不可． [对点训练1](1)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝2x＋22－x C．y＝|sin x|＋ D．y＝ln x＋ (2)已知函数y＝(x>0)，则y的最大值为(　　) A．2＋4 B．2 C．2－4 D．4 考点二　配凑法求最值 [例2](1)已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于(　　) A. B. C．4 D．6 (2)当0<x<4时，则y＝x(8－2x)的最大值为________． 思维升华　配凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值． [对点训练2](1)已知x<0，则－x的最小值为(　　) A．2 B．4 C．2＋1 D．2－1 (2)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则xy的最大值为(　　) A．2 B．1 C. D. 考点三　常数代换法求最值 [例3](1)已知正数a，b满足＋＝1，则8a＋b的最小值为(　　) A．54 B．56 C．72 D．81 延伸探究　已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________． (2)(2023·太原模拟)已知非负实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 思维升华　常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． [对点训练3](1)若m>0，n>0且m＋n＝2，则＋的最小值是(　　) A．2 B. C．3 D. (2)已知a>，b>，且2a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A．1 B. C．2 D. 考点四　构造不等式法求最值 [例4](1)若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A．9 B．6 C．3 D．12 延伸探究　若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为________． (2)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 思维升华　若已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式求最值． [对点训练4](1)若正数x，y满足x＋y－2xy＝0，则x＋y的最小值为(　　) A．4 B．1 C．5 D．2 (2)(多选)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则(　　) A．xy的最大值为 B.的最大值为 C.＋的最小值为4 D．x2＋y2的最小值为 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与不等式 专题4 基本不等式 讲义 课标要求　1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． [知识总结] 1．基本不等式： (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 常用结论几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤ (a，b∈R)．(4)≥(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≤等号成立的条件是相同的．(　×　) (2)y＝x＋的最小值是2.(　×　) (3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　√　) (4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　×　) 2．(必修第一册P48习题T1(1)改编)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 答案：C；解析：当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)， 即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3. 3．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为(　　) A. B. C. D．1 答案：A；解析：0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，故x(1－x)的最大值为. 4．(2023·重庆模拟)已知x>0，y>0，x＋y＝1，则＋的最小值为________． 答案：4；解析：由x＋y＝1得＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当x＝y＝时，等号成立，即＋的最小值为4. 考点一　直接法求最值 [例1](1)(多选)下列代数式中最小值为2的是(　　) A．x－ B．2x＋2－x C．x2＋ D.＋ 答案：BC；解析：选项A中，当x<0时，函数y＝x－单调递增，无最小值，不符合题意； 选项B中，2x＋2－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意； 选项C中，x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时，等号成立，满足题意； 选项D中，＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意． (2)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________． 答案：3；解析：由已知，得12＝4x＋3y≥2，即12≥2，解得xy≤3(当且仅当4x＝3y时取等号)． 思维升华　对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式≥ 成立的前提条件为a>0，b>0 ；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．以上三点缺一不可． [对点训练1](1)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝2x＋22－x C．y＝|sin x|＋ D．y＝ln x＋ 答案：B；解析：对于y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，当x＝－1时，函数的最小值为3，故A错误； y＝2x＋22－x＝2x＋≥2＝4，当且仅当x＝1时取等号，故B正确； y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|＝时取等号，由于|sin x|＝时，|sin x|＝2， 根据正弦函数性质可知|sin x|＝2不成立，故y＝|sin x|＋≥4取不到等号，故C错误； 对y＝ln x＋，由于ln x可能小于0，即y＝ln x＋可能为负值，故其最小值为4不成立，故D错误． (2)已知函数y＝(x>0)，则y的最大值为(　　) A．2＋4 B．2 C．2－4 D．4 答案：C；解析：函数y＝＝－3x－＋2＝－＋2，∵x>0，∴3x＋≥2＝4， 当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立，故y＝－＋2≤－4＋2，则y的最大值为2－4. 考点二　配凑法求最值 [例2](1)已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于(　　) A. B. C．4 D．6 答案：D；解析：∵x>2，∴x－2>0，∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6 (当且仅当x－2＝，即x＝4时取等号)，∴y＝x＋(x>2)的最小值为6. (2)当0<x<4时，则y＝x(8－2x)的最大值为________． 答案：8；解析：y＝x(8－2x)＝[2x·(8－2x)]≤＝8，当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时，等号成立， 所以y＝x(8－2x)的最大值为8. 思维升华　配凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值． [对点训练2](1)已知x<0，则－x的最小值为(　　) A．2 B．4 C．2＋1 D．2－1 答案：D；解析：因为x<0，则1－x>1，－x＝＋(1－x)－1≥2－1＝2－1， 当且仅当＝1－x，即x＝1－时取等号，所以－x的最小值为2－1. (2)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则xy的最大值为(　　) A．2 B．1 C. D. 答案：C；解析：因为正数x，y满足x＋2y＝2，所以xy＝x·≤＝， 当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时取等号，所以xy的最大值为. 考点三　常数代换法求最值 [例3](1)已知正数a，b满足＋＝1，则8a＋b的最小值为(　　) A．54 B．56 C．72 D．81 答案：C；解析：8a＋b＝(8a＋b)＝＋＋40≥2＋40＝72，当且仅当＝， 即a＝6，b＝24时取等号． 延伸探究　已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________． 答案：72；解析：∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0，∴＋＝1， ∴8a＋b＝(8a＋b)＝＋＋40≥2＋40＝72，当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号． (2)(2023·太原模拟)已知非负实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A；解析：因为非负实数a，b满足a＋b＝1，所以(a＋1)＋(b＋2)＝4，所以[(a＋1)＋(b＋2)]＝1， 所以＋＝[(a＋1)＋(b＋2)]＝≥ ＝1. 当且仅当即时取等号．综上，＋的最小值为1. 思维升华　常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． [对点训练3](1)若m>0，n>0且m＋n＝2，则＋的最小值是(　　) A．2 B. C．3 D. 答案：D；解析：因为m>0，n>0且m＋n＝2， ＋＝(m＋n)＝≥＝，当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立． (2)已知a>，b>，且2a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A．1 B. C．2 D. 答案：C；解析：由已知得:(4a－1)＋(2b－1)＝2， 则＋＝[(4a－1)＋(2b－1)]·＝≥2， 当且仅当＝，即a＝，b＝1时，等号成立． 考点四　构造不等式法求最值 [例4](1)若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A．9 B．6 C．3 D．12 答案：A；解析：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立． 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，整理可得ab－2－3≥0，解得≥3或≤－1(舍去)． 所以≥3，所以ab≥9.所以当a＝b＝3时，ab的最小值为9. 延伸探究　若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为________． 答案：6；解析：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立． 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≤，整理可得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0， 解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去)；所以当a＝b＝3时，a＋b的最小值为6. (2)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 答案：A；解析：∵实数a，b满足＝，∴a>0，b>0，且，解得ab≥2， 当且仅当即a＝，b＝2时取等号．则ab的最小值为2. 思维升华　若已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式求最值． [对点训练4](1)若正数x，y满足x＋y－2xy＝0，则x＋y的最小值为(　　) A．4 B．1 C．5 D．2 答案：D；解析：方法一　由x＋y－2xy＝0，得x＋y＝2xy， 又x>0，y>0，xy≤，所以x＋y≤，解得x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立． 方法二　由已知得x＋y＝2xy，所以＋＝2，则x＋y＝(x＋y)＝＝2， 当且仅当即时，等号成立． (2)(多选)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则(　　) A．xy的最大值为 B.的最大值为 C.＋的最小值为4 D．x2＋y2的最小值为 答案：AD；解析：x＋2y＝1≥2，即xy≤＝(当且仅当,即时取等号)，A正确； 当x＝，y＝时，＝>，故B错误； ＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2(当且仅当时取等号)，故C错误； x2＋y2＝(1－2y)2＋y2＝5y2－4y＋1＝5＋，当x＝，y＝时，x2＋y2取最小值，故D正确． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$