等式与不等式性质讲义-2025届高三数学一轮复习

第一章 集合与不等式 专题3 等式与不等式性质 讲义 课标要求　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． [知识总结] 1．两个实数比较大小的常用方法：作差法(a，b∈R)． 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 常用结论 不等式的两类常用性质 (1)倒数性质：①a>b，ab>0⇒<；②a<b<0⇒>；③a>b>0,0<c<d⇒>；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. (2)有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质：(b－m>0)； ②假分数的性质：(b－m>0)． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　) (2)若>1，则b>a.(　　) (3)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　) (4)若>，则b<a.(　　) 2．(必修第一册P43T8改编)已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．ln a<ln b B.> C．a2<b2 D．a3<b3 3．(必修第一册P43T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________． 4．(必修第一册P42T5改编)已知2<a<3，－2<b<－1，则a＋2b的取值范围为________． 考点一　数(式)的大小比较 [例1](1)(多选)下列不等式中正确的是(　　) A．x2－2x>－3(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C．a2＋b2>2(a－b－1) D．若a>b>0，则a2－b2> (2)已知c>1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x>y B．x＝y C．x<y D．x，y的关系随c而定 思维升华　比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． [对点训练1](1)设t＝a－4b，s＝a＋b2＋4，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t (2)已知M＝，则M，N的大小关系为________． 考点二　不等式的基本性质 [例2](1)若实数a，b满足a<b<0，则(　　) A．a＋b>0 B．a－b<0 C．|a|<|b| D. (2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，则a＋c>b＋c C．若a>b>c>0，则> D．若a>b>c>0，则 思维升华　判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性． [对点训练2](1)设a，b，c，d为实数，且c<d，则“a<b”是“a－c<b－d”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是(　　) A.< B．－a2<－ab C．ln|a－1|>ln|b－1| D．2a－b>1 考点三　不等式性质的综合应用 [例3](1)已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是(　　) A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3 C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7 延伸探究 若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围． (2)某班主任组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为(　　) A．20 B．22 C．26 D．28 思维升华　利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． [对点训练3](1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则(　　) A．a＋b的取值范围为[4,7] B．b－a的取值范围为[2,3] C．ab的取值范围为[3,10] D.的取值范围为 (2)已知－2<x－y<0,1<2x＋y<3，则8x＋y的取值范围为__________． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与不等式 专题3 等式与不等式性质 讲义 课标要求　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． [知识总结] 1．两个实数比较大小的常用方法：作差法(a，b∈R)． 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 常用结论 不等式的两类常用性质 (1)倒数性质：①a>b，ab>0⇒<；②a<b<0⇒>；③a>b>0,0<c<d⇒>；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. (2)有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质：(b－m>0)； ②假分数的性质：(b－m>0)． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　√　) (2)若>1，则b>a.(　×　) (3)同向不等式具有可加性和可乘性．(　×　) (4)若>，则b<a.(　×　) 2．(必修第一册P43T8改编)已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．ln a<ln b B.> C．a2<b2 D．a3<b3 答案：D；解析：对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误；对于B，当a<0<b时，<，故B错误；对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误；对于D，当a<b时，a3<b3成立，故D正确． 3．(必修第一册P43T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________． 答案：；解析：，∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，∴<0，∴. 4．(必修第一册P42T5改编)已知2<a<3，－2<b<－1，则a＋2b的取值范围为________． 答案：(－2,1)；解析：因为－2<b<－1，所以－4<2b<－2，又2<a<3，所以－2<a＋2b<1. 考点一　数(式)的大小比较 [例1](1)(多选)下列不等式中正确的是(　　) A．x2－2x>－3(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C．a2＋b2>2(a－b－1) D．若a>b>0，则a2－b2> 答案：AD；解析：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2－2x>－3，故A正确； a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． ∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误； ∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； a2－b2－＝(a－b)(a＋b)＝(a－b)>0，故选项D正确． (2)已知c>1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x>y B．x＝y C．x<y D．x，y的关系随c而定 答案：C；解析：由题设，易知x，y>0，又<1，∴x<y. 思维升华　比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． [对点训练1](1)设t＝a－4b，s＝a＋b2＋4，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t 答案：A；解析：因为s－t＝a＋b2＋4－(a－4b)＝b2＋4b＋4＝(b＋2)2≥0，所以s≥t. (2)已知M＝，则M，N的大小关系为________． 答案：M>N；解析：方法一　 ∵;∴M>N. 方法二　令f(x)＝＝＝＋，显然f(x)是R上的减函数，∴f(2 023)>f(2 024)，即M>N. 考点二　不等式的基本性质 [例2](1)若实数a，b满足a<b<0，则(　　) A．a＋b>0 B．a－b<0 C．|a|<|b| D. 答案：B；解析：由a<b<0，可得a＋b<0，故A错误；由a<b<0，可得a－b<0，故B正确； 由a<b<0，可得－a>－b>0，所以|a|>|b|，故C错误；由a<b<0，可得|a|>|b|>0，所以，故D错误． (2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，则a＋c>b＋c C．若a>b>c>0，则> D．若a>b>c>0，则 答案：BCD；解析：当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；由不等式的可加性可知，B正确； 若a>b>c>0，则a－b>0，b＋c>0，∴－＝＝>0，∴>，故C正确； 若a>b>c>0，则a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b， ∴>>0，又b>c>0，故，>，故D正确． 思维升华　判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性． [对点训练2](1)设a，b，c，d为实数，且c<d，则“a<b”是“a－c<b－d”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B；解析：由a<b不能推出a－c<b－d，如a＝2，b＝3，c＝0，d＝1，满足a<b，但是a－c＝b－d，故充分性不成立； 当a－c<b－d时，又c<d，可得a－c＋c<b－d＋d，即a<b，故必要性成立， 所以“a<b”是“a－c<b－d”的必要不充分条件． (2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是(　　) A.< B．－a2<－ab C．ln|a－1|>ln|b－1| D．2a－b>1 答案：ABD；解析：因为a>b>0，>0，所以>，即<，故A正确； 因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确； 若a＝，b＝，ln|a－1|＝ln|b－1|＝ln ，故C不正确；因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确． 考点三　不等式性质的综合应用 [例3](1)已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是(　　) A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3 C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7 答案：D；解析：因为－1<y<1，所以－2<－2y<2，又0<x<5，所以－2<x－2y<7. 延伸探究 若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围． 解析：设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y，∴解得 ∴x－2y＝－(x＋y)＋(x－y)，∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，∴－1≤－(x＋y)≤，－3≤(x－y)≤， ∴－4≤－(x＋y)＋(x－y)≤2，即－4≤x－2y≤2. (2)某班主任组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为(　　) A．20 B．22 C．26 D．28 答案：B；解析：设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N*， 则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6，又教师人数的两倍多于男学生人数， ∴2x>x＋3，解得x>3，当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22. 思维升华　利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． [对点训练3](1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则(　　) A．a＋b的取值范围为[4,7] B．b－a的取值范围为[2,3] C．ab的取值范围为[3,10] D.的取值范围为 答案：AC；解析：因为1≤a≤2,3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1,1≤b－a≤4， 所以a＋b的取值范围为[4,7]，b－a的取值范围为[1,4]，故A正确，B错误； 因为1≤a≤2,3≤b≤5，所以3≤ab≤10，≤≤，≤≤， 所以ab的取值范围为[3,10]，的取值范围为，故C正确，D错误． (2)已知－2<x－y<0,1<2x＋y<3，则8x＋y的取值范围为__________． 答案：(－1,9)；解析：设8x＋y＝m(x－y)＋n(2x＋y)，则解得 ∴8x＋y＝2(x－y)＋3(2x＋y)．又－4<2(x－y)<0,3<3(2x＋y)<9，∴8x＋y∈(－1,9)． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$