常用逻辑用语讲义-2025届高三数学一轮复习

第一章 集合与不等式 专题2 常用逻辑用语 讲义 课标要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． [知识总结] 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 常用结论 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则； (3)若p是q的必要不充分条件，则； (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　　) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　　) (3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(　　) (4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　　) 2．(必修第一册P30例4(1)改编)(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是(　　) A．p是真命题 B．p：∀x∈R，x＋2>0 C．p是真命题 D．p：∃x∈R，x＋2>0 3．(必修第一册P22T2(5)改编)设x>0，y>0，则“”是“x>y”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________． 考点一　充分、必要条件的判定 [例1](1)“x2－x＝0”是“x＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知p：向量a，b所在的直线平行，q：向量a，b平行，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (3)(2024·天津·高考真题)设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (4)（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (5)(多选)．使≥1成立的一个充分不必要条件是(　　) A．0＜x＜1 B．0＜x＜2 C．x＜2 D．0＜x≤2 思维升华　充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． [对点训练1](1)在△ABC中，“A为锐角”是“sin A>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件．也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二　充分、必要条件的应用 [例2]在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}． (1)当a＝2时，求A∩B；(2)若________，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 充分不必要条件的等价形式 p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件． 典例　已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为_________． 思维升华　求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． [对点训练2]已知集合A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}． (1)若m＝3，求A∪B；(2)从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到横线处，并解答下列问题：若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 考点三　全称量词与存在量词 命题点1　含量词的命题的否定 [例3-1](1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．“正方形是菱形”是全称命题 B．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5” C．∃x∈R，ex<ex＋1 D．命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0” (2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：________________________. 命题点2　含量词的命题的真假判断 [例3-2](1)（2024·新课标全国II卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 (2)(多选)下列命题中的真命题是(　　) A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2 命题点3　含量词的命题的应用 [例3-3](1)若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．(－∞，2] D．(－∞，5] (2)(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 思维升华　含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． [对点训练3](1)下列命题为真命题的是(　　) A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．∀x∈R，x＋|x|≥0 D．∃x∈R，x2－x＋1＝0 (2)若命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________． (3)(多选)．下列命题是真命题的是(　　) A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B．∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数 C．∃x∈R，2x＜x2 D．∀x∈(0，＋∞)， 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与不等式 专题2 常用逻辑用语 讲义 课标要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． [知识总结] 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 常用结论 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则； (3)若p是q的必要不充分条件，则； (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　√　) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　√　) (3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(　√　) (4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　×　) 2．(必修第一册P30例4(1)改编)(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是(　　) A．p是真命题 B．p：∀x∈R，x＋2>0 C．p是真命题 D．p：∃x∈R，x＋2>0 答案：CD；解析：当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知， p：∀x∈R，x＋2≤0的否定为p：∃x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误；p是真命题，故C正确． 3．(必修第一册P22T2(5)改编)设x>0，y>0，则“”是“x>y”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C；解析：,因为x>0，y>0，所以x>y，充分性成立； 由x>y，且x>0，y>0，显然，必要性成立；故选C 4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________． 答案：(－∞，3)；解析：由题意知，x∈A⇒x∈B，x∈B⇏x∈A，即AB，所以a<3. 考点一　充分、必要条件的判定 [例1](1)“x2－x＝0”是“x＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B；解析：x2－x＝0，解得x＝0或x＝1，则x2－x＝0不能推出x＝1， x＝1可推出x2－x＝0，故“x2－x＝0”是“x＝1”的必要不充分条件． (2)已知p：向量a，b所在的直线平行，q：向量a，b平行，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A；解析：当向量a，b所在的直线平行时，可得向量a，b平行，则充分性成立， 而当向量a，b平行时，向量a，b所在的直线平行或重合，则必要性不成立，则p是q的充分不必要条件． (3)(2024·天津·高考真题)设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C；解析：由立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以互为充要条件； 故选：C. (4)（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C；解析：解法一：因为，且，所以，即，即，所以；所以“”是“”的充要条件. 解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立； 必要性：因为，且，所以，即，即，所以. 所以必要性成立；所以“”是“”的充要条件. 解法三：充分性：因为，且，所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且，所以， 所以，所以，，必要性成立；所以“”是“”的充要条件；故选：C (5)(多选)．使≥1成立的一个充分不必要条件是(　　) A．0＜x＜1 B．0＜x＜2 C．x＜2 D．0＜x≤2 答案：AB；解析：由≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故AB正确． 思维升华　充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． [对点训练1](1)在△ABC中，“A为锐角”是“sin A>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A；解析：在△ABC中，由“A为锐角”，易得“sin A>0”，∴“A为锐角”是“sin A>0”的充分条件； 在△ABC中，由“sin A>0”，不能得出“A为锐角”(如sin A＝1>0，A为直角，实际上，当A∈(0，π)时，sin A>0恒成立)， ∴“A为锐角”不是“sin A>0”的必要条件；综上所述，“A为锐角”是“sin A>0”的充分不必要条件． (2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件．也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B；解析：因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立， 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件． 考点二　充分、必要条件的应用 [例2]在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}． (1)当a＝2时，求A∩B；(2)若________，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析：(1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以B＝{x|－1<x<3}， 当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}． (2)选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1,1)； 选②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1,1)． 充分不必要条件的等价形式 p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件． 典例　已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为_________． 答案：(1，＋∞)；解析：由|x|≤1，即－1≤x≤1，由题意知p是q的充分不必要条件，所以a＞1. 思维升华　求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． [对点训练2]已知集合A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}． (1)若m＝3，求A∪B；(2)从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到横线处，并解答下列问题：若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析：(1)依题意，得2－2≤2x≤25，解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}， 当m＝3时，解不等式x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}，所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}． (2)选①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0， 解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}， 因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则有A， 于是得或解得m>4或m≥4，即有m≥4，所以正实数m的取值范围是m≥4. 选②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m， 即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则有B， 于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5，解得0<m≤3或0<m<3，即有0<m≤3，m的取值范围是0<m≤3. 考点三　全称量词与存在量词 命题点1　含量词的命题的否定 [例3-1](1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．“正方形是菱形”是全称命题 B．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5” C．∃x∈R，ex<ex＋1 D．命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0” 答案：ACD；解析：对A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故A正确； 对于B，命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确． 对于C，当x＝1时，e<e＋1成立，故B正确； 对于D，命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正确； (2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：________________________. 答案：至少有一个实数是无理数；解析：由全称命题的否定可知答案为：至少有一个实数是无理数 命题点2　含量词的命题的真假判断 [例3-2](1)（2024·新课标全国II卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 答案：B；解析：对于，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于，取，则有，故是真命题，是假命题，综上，和都是真命题；故选：B. (2)(多选)下列命题中的真命题是(　　) A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2 答案：ACD；解析：指数函数的值域为(0，＋∞)，所以∀x∈R,2x－1>0，故A正确； 当x＝1时，(x－1)2＝0，所以∀x∈N*，(x－1)2>0是假命题，故B错误； 当x＝1时，lg x＝0<1，所以∃x∈R，lg x<1，故C正确； 函数y＝tan x的值域为R，所以∃x∈R，tan x＝2，故D正确． 命题点3　含量词的命题的应用 [例3-3](1)若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．(－∞，2] D．(－∞，5] 答案：B；解析：由“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题可知，不等式m≤x2＋1，对∀x∈[－1,2]恒成立， 因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]，易知函数y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值为1，所以m≤1. 即实数m的取值范围是(－∞，1]． (2)(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：ABC；解析：若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为真命题，则Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1， 所以当命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题时，m≤1，符合条件的为A，B，C选项． 思维升华　含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． [对点训练3](1)下列命题为真命题的是(　　) A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．∀x∈R，x＋|x|≥0 D．∃x∈R，x2－x＋1＝0 答案：C；解析：对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误； 对B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误；对C，因为∀x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正确； 对于D，因为∀x∈R，x2－x＋1＝＋≥>0，故D错误． (2)若命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________． 解析：；解析：命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，等价于“方程x2＋x－a＝0无实根”， 则Δ＝1＋4a<0，解得a<－，即实数a的取值范围为. (3)(多选)．下列命题是真命题的是(　　) A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B．∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数 C．∃x∈R，2x＜x2 D．∀x∈(0，＋∞)， 答案：AC；解析：当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题； y＝sin x＋cos x＋＝sin＋，当sin＝－1时，y＝0，故B为假命题； 当x∈(2,4)时，2x＜x2，故C为真命题；当x＝时，,所以，故D为假命题． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$