集合讲义-2025届高三数学一轮复习

第一章 集合与不等式 专题1 集合 讲义 课标要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义. 2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系. 3.会求两个集合的并集、交集与补集. 4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． [知识总结] 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A(或B)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} 常用结论 1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.(交小并大) 4．(A∩B)＝(A)∪(B)，(A∪B)＝(A)∩(B)． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　　) (4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(　　) 2．(必修第一册改编)设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(A)∩B等于(　　) A．{x|2<x≤3} B．{x|7<x<10} C．{x|2<x<3或7≤x<10} D．{x|2<x≤3或7<x<10} 3．(必修第一册T9改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________. 4．(必修第一册T5改编)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________． 题型一　集合的含义与表示 [例1](1)(2024·潮州模拟)已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B等于(　　) A．{0,3} B．{(0,0)，(3,9)} C．{(0,0)} D．{(3,9)} (2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________． 思维升华　解决集合含义问题的关键点 (1)一是确定构成集合的元素． (2)确定元素的限制条件． (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． [对点训练1](1)(2023·苏州模拟)集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　) A．1 B．1或0 C．0 D．－1或0 题型二　集合间的基本关系 [例2](1)(2023·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R (2)(2023·新高考全国Ⅱ)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a等于(　　) A．2 B．1 C. D．－1 思维升华　(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． [对点训练2](1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　) A．M B．N C．M⊆N D．N⊆M (2)(2024·南平质检)设集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的取值范围为(　　) A．{a|a≥3} B．{a|－1≤a≤3} C．{a|a≥－1} D．{a|a≤－1} 题型三　集合的基本运算 命题点1　集合的运算 [例3-1](1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于(　　) A．{x|0≤x<2} B. C．{x|3≤x<16} D. (2)(2024高考全国甲卷理T2)集合，则（ ） A. B. C. D. (3)(2024高考全国甲卷文T2)集合 , 则 A． B． C． D． (4)(2024新高考1卷T1)已知集合，则（    ） A． B． C． D． (5)(2024新高考北京卷T1)已知集合，则（ ） A. B. C. D. (6)(2024高考天津卷T1)集合，则（ ） A. B. C. D. (7)(2024高考北京卷T1)已知集合，则（ ） A. B. C. D. 命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围) [例3-2](1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(　　) A．－ B. C．0 D．－ (2)(2023·齐齐哈尔)集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x≤a－1}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 思维升华　对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示； 如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． [对点训练3](1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，则(　　) A．(A)∪B＝{x|0≤x<3} B．(A)∩B＝{x|1<x<2} C．A∩B＝{x|2<x<3} D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集 (2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与不等式 专题1 集合 讲义 课标要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义. 2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系. 3.会求两个集合的并集、交集与补集. 4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． [知识总结] 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A(或B)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} 常用结论 1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.(交小并大) 4．(A∩B)＝(A)∪(B)，(A∪B)＝(A)∩(B)． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　×　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　×　) (4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(　√　) 2．(必修第一册改编)设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(A)∩B等于(　　) A．{x|2<x≤3} B．{x|7<x<10} C．{x|2<x<3或7≤x<10} D．{x|2<x≤3或7<x<10} 答案：C；解析：因为A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2<x<10}，所以(A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}． 3．(必修第一册T9改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________. 答案：2；解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不符合题意； 当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意．综上，实数a＝2. 4．(必修第一册T5改编)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________． 答案：[2，＋∞)；解析：因为B⊆A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2. 题型一　集合的含义与表示 [例1](1)(2024·潮州模拟)已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B等于(　　) A．{0,3} B．{(0,0)，(3,9)} C．{(0,0)} D．{(3,9)} 答案：B；解析：由题意得解得或故A∩B＝{(0,0)，(3,9)}． (2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________． 答案：－；解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－. 当m＝1时，m＋2＝3,2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m＝－时，m＋2＝，2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－. 思维升华　解决集合含义问题的关键点 (1)一是确定构成集合的元素． (2)确定元素的限制条件． (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． [对点训练1](1)(2023·苏州模拟)集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B；解析：A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}．即C中元素的个数为4. (2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　) A．1 B．1或0 C．0 D．－1或0 答案：C；解析：∵－1∈A，∴当a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合中元素的互异性； 当a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，A＝{1，－2，－1}，符合题意，故a＝0. 题型二　集合间的基本关系 [例2](1)(2023·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R 答案：A；解析：因为集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log2x<0}＝{x|x>2}，所以A⊆B. (2)(2023·新高考全国Ⅱ)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a等于(　　) A．2 B．1 C. D．－1 答案：B；解析：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不符合题意； 若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，符合题意．综上所述，a＝1. 思维升华　(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． [对点训练2](1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　) A．M B．N C．M⊆N D．N⊆M 答案：B；解析：因为M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N. (2)(2024·南平质检)设集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的取值范围为(　　) A．{a|a≥3} B．{a|－1≤a≤3} C．{a|a≥－1} D．{a|a≤－1} 答案：D；解析：由A⊆B可得a≤－1. 题型三　集合的基本运算 命题点1　集合的运算 [例3-1](1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于(　　) A．{x|0≤x<2} B. C．{x|3≤x<16} D. 答案：D；解析：M＝{x|0≤x<16}；因为N＝{x|3x≥1}，所以N＝;所以M∩N＝. (2)(2024高考全国甲卷理T2)集合，则（ ） A. B. C. D. 答案：D；解析：，则，；故选：D (3)(2024高考全国甲卷文T2)集合 , 则 A． B． C． D． 答案：C；解析：，于是.故选：C (4)(2024新高考1卷T1)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 答案：A；解析：，且，从而.故选：A. (5)(2024新高考北京卷T1)已知集合，则（ ） A. B. C. D. 答案：C；解析：由题意得；故选：C. (6)(2024高考天津卷T1)集合，则（ ） A. B. C. D. 答案：B；解析：因为集合，，所以，故选：B (7)(2024高考北京卷T1)已知集合，则（ ） A. B. C. D. 答案：C；解析：由题意得；故选：C. 命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围) [例3-2](1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(　　) A．－ B. C．0 D．－ 答案：BCD；解析：由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}，由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3，所以A＝{2，－3}， 因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，m＝0，满足题意； 当B≠∅时，B＝，－＝2或－＝－3，解得m＝－或m＝，综上，m＝0或－或. (2)(2023·齐齐哈尔)集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x≤a－1}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案：D；解析：因为A∪B＝R，所以a－1≥1，解得a≥2. 思维升华　对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示； 如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． [对点训练3](1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，则(　　) A．(A)∪B＝{x|0≤x<3} B．(A)∩B＝{x|1<x<2} C．A∩B＝{x|2<x<3} D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集 答案：ACD；解析：由x2－2x>0，得x<0或x>2，所以A＝{x|x<0或x>2}，所以A＝{x|0≤x≤2}， 对于A，因为B＝{x|1<x<3}，所以(A)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正确； 对于B，因为B＝{x|1<x<3}，所以(A)∩B＝{x|1<x≤2}，所以B错误； 对于C，因为A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以C正确； 对于D，因为A∩B＝{x|2<x<3}，所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集，所以D正确． (2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案：B；解析：因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝∅，则a－1≤1，解得a≤2. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$