1.4 角平分线 2023-2024学年北师大版八年级数学下册暑假综合题型典题巩固练习

北师大版八年级数学下册暑假综合题型典题巩固练习 1.4 角平分线 一、基础知识 角平分线性质定理：角平分线上的点到这这个角的两边的距离相等。 角平分线判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 三角形三个角的平分线性质：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 二、典题练习 一、单选典题练习 1．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，以EF的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD，若∠AOB＝35°，则∠BOD的度数是（　　） A．70° B．60° C．35° D．80° 2．如图，在△ABC中，S△ABC＝24，BD：CD＝2：1，AC＝BD，∠ACB的角平分线CE交AB于E，则△ADE的面积为（　　） A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6 3．如图，△ABC的两条内角平分线相交于点D，过点D作一条平分△ABC面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（　　） A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1 4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥DC，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 5．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③BD﹣AH＝AB；④DG＝AP+GH．其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空典题练习 7．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，其中“将一个几何图形任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，AO、BO分别平分∠CAB、∠CBA，且点O到AB的距离OD为3．若△ABC的周长为16，则△ABC的面积为 　 　． 8．如图，在△ABC中，∠A＝60°，且∠ABC＜∠ACB，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，点D、E在射线CP上，满足面积为，则EP＝　 　cm． 9．如图，在∠AOB的边OA，OB上取点M，N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则△OMN的周长是 　 　． 10．如图，三角形ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，三角形BCD的面积为45，三角形ADC的面积为20，则三角形ABD的面积等于　 　． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为 　 　． 12．如图，△ABC的外角∠ACN，∠MAC的平分线CP，AP交于点P，PE⊥AM于点E，PF⊥BN于点F，下列结论：①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CBA＝2∠CPB；④S△PAC＝S△EAP+S△FCP．其中结论正确的为 　 　． 三、解答典题练习 13．如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过E作EG⊥BA交BA的延长线于点G，EF⊥AC交AC于点F． （1）求证：EG＝EF； （2）联结AE，求证：∠AEG＝∠AEF． 14．如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝10，DE＝4，求AB的长． 15．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝10，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 16．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90，AD平分∠CAB，交BC于点D，点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F，过点B作BH⊥AD于H． （1）补全图形； （2）直接写出AB、BD、AC之间的相等关系：　 　； （3）求证：2BH＝AD． 17．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG． （1）求证：GA平分∠DGB； （2）若S四边形DGBA＝6，AF，求FG的长． 18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F， ①请你判断并写出FE与FD之间的数量关系． ②如果∠ACB不是直角，其他条件不变，①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 参考答案 一、单选典题练习 1-6．ACBBDC． 二、填空典题练习 7．24． 8．6． 9．12． 10．25． 11．4． 12．①②④． 三、解答典题练习 13．证明：（1）如图，过点E作EH⊥BD于点H， ∵BE平分∠ABC，EG⊥BA，EH⊥BD， ∴EG＝EH， ∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EH⊥CD， ∴EF＝EH， ∴EG＝EF． （2）∵EG⊥BA，EF⊥AC， ∴∠AGE＝90°＝∠AFE， 再Rt△AEG和Rt△AEF中， ， ∴Rt△AEG≌Rt△AEF（HL）， ∴∠AEG＝∠AEF． 14．】（1）证明：过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F． ∵CE⊥AD， ∴∠DEC＝∠CFB＝90°， ∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°， ∴∠D＝∠CBF， 在△CDE与△CBF中， ， ∴△CDE≌△CBF（AAS）， ∴CE＝CF， ∴AC平分∠DAB； （2）解：由（1）可得BF＝DE＝4， 在Rt△ACE和Rt△ACF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）， ∴AE＝AF＝10， ∴AB＝AF﹣BF＝6． 15．解：（1）∵∠ACB＝100°， ∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°， ∵EH⊥BD， ∴∠CHE＝90°， ∵∠CEH＝50°， ∴∠ECH＝90°﹣50°＝40°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECH＝80°﹣40°＝40°． （2）证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N， ∵BE平分∠ABC， ∴EM＝EH， ∵∠ACE＝∠ECH＝40°， ∴CE平分∠ACD， ∴EN＝EH， ∴EM＝EN， ∴AE平分∠CAF． （3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH， ∴， 即，解得EM＝3， ∵AB＝10， ∴． 16．（1）解：补全图形如图： （2）解：AB+BD＝2AC，理由如下： 如图，过点D作DK⊥AB于点K， ∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，DK⊥AB， ∴CD＝DK，AC＝AK， ∵AC＝BC，∠ACB＝90， ∴∠DBK＝45°， ∴BK＝DK， ∴AB+BD＝（AC+CD）+BD＝AC+AC＝2AC， 即：AB+BD＝2AC． 故答案为：AB+BD＝2AC． （3）证明：如图，延长BH交AE于点M，连接ED， ∵点A与点E关于直线BC对称， ∴AD＝DE，∠CED＝∠CAD∠BAC＝22.5°， ∵∠FDB＝∠BAD+∠ABC＝22.5°+45°＝67.5°，∠DBF＝45°， ∴∠BDF＝∠DFB＝67.5°， ∴BD＝BF， ∵BH⊥DF， ∴∠CBM， ∴∠CBM＝∠CED＝22.5°， 在△ECD和△BCM中， ， ∴△ECD和△BCM（ASA）， ∴DE＝BM， 在△ABM中， ∵∠MAB＝45°，∠ABM＝67.5°， ∴∠AMB＝67.5°， ∴AM＝AB， ∵AD平分∠CAB， ∴BH（三线合一）， ∴BHAD，即2BH＝AD． 17．解：（1）过点A作AH⊥BC于H， ∵△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴S△ABC＝S△AED， 又∵AF⊥DE， 即DE×AFBC×AH， ∴AF＝AH， 又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AG＝AG， ∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL）， ∴∠AGF＝∠AGH， 即GA平分∠DGB； （注：由AF＝AH，AF⊥DE，AH⊥BC，也可以直接得到GA平分∠DGB．） （2）∵△ABC≌△ADE， ∴AD＝AB， 又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF＝AH， ∴Rt△ADF≌Rt△ABH（HL）， ∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝6， ∵Rt△AFG≌Rt△AHG， ∴Rt△AFG的面积＝3， ∵AF， ∴FG3， 解得FG＝4． 18．解：①相等， 过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF， ∵F是角平分线交点， ∴BF也是角平分线， ∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴∠DAC∠BAC＝15°， ∴∠CDA＝75°， ∵∠MFC＝45°，∠MFN＝120°， ∴∠NFE＝15°， ∴∠NEF＝75°＝∠MDF， 在△DMF和△ENF中， ， ∴△DMF≌△ENF（AAS）， ∴FE＝FD； ②成立． 过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF， ∵F是角平分线交点， ∴BF也是角平分线， ∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°， ∴四边形BNFM是圆内接四边形， ∵∠ABC＝60°， ∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵∠CFA＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°（∠BAC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠ABC）＝180°（180°﹣60°）＝120°， ∴∠DFE＝∠CFA＝∠MFN＝120°． 又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE， ∴∠DFM＝∠NFE， 在△DMF和△ENF中， ∴△DMF≌△ENF（ASA）， ∴FE＝FD． 学科网（北京）股份有限公司 $$