1.2 直角三角形2023-2024学年北师大版八年级数学下册暑假综合题型典题巩固练习

北师大版八年级数学下册暑假综合题型典题巩固练习 1.2 直角三角形 典题练习 一、单选典题练习 1．如图，AB＝3，BC＝4，AC＝5，P是线段AC上一点，连接PB，则PB的长不可能是（　　） A．3.5 B．2.5 C．2 D．3 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长 直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则图2中EF的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以直角三角形的三条边为边，在直线AB同侧分别作正三角形，已知S甲＝8，S乙＝6，S丙＝3，则△ABC的面积是（　　） A．5 B．11 C．17 D．22 4．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝2，AB在数轴上，点A表示的数是﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在等腰△ABC和等腰△ABE中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝BE＝2，D为AE的中点，则线段CD的最小值为（　　） A．2 B．1 C．21 D．1 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE交AD于点F，则以下结论： ①AB＝2CE； ②AC＝4CD； ③CE⊥AD； ④△DBE与△ABC的面积比是：1：（7+4） 其中正确结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 二、填空题练习 7．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B、C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝a，则∠ABE的度数为 　 　． 8．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为 　 　． 9．如图，在直角坐标系中，点B（﹣8，8），点C（﹣2，0），若动点P从坐标原点出发，沿y轴正方向匀速运动，运动速度为2cm/s，设点P运动时间为t秒，当△BCP是以BC为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值 　 　． 10．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点E，若BE＝3DE，则BD＝　 　． 11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论：①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD④∠DFB∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是 　 　． 12．如图①，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的面积为对角线乘积的一半，如图②，现有Rt△ABC，已知AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为BC边上一个动点，点N为DE中点，若筝形ADPE的面积为18，则AN的最大值为 　 　． 三、解答题练习 13．如图，已知四边形ABCD，AC⊥BD，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，猜想a2，b2，c2，d2之间的关系，用等式表示出来，并证明． 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点M为边AB的中点，点D在边BC上． （1）若AC＝4，BC＝8，MD⊥AB（如图①），求MD的长； （2）过点M作ME⊥MD与边AC所在的直线交于点E（如图②），试探究：线段AE、ED、DB三者之间的数量关系，并证明你的结论． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F． （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长； （2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2． 16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A—C—B—A运动．设点P的运动时间为t（t＞0）． （1）AB＝　 　； （2）①当P在BC上时，CP的长为 　 　（用含t的代数式表示），t的取值范围是 　 　； ②若点P在∠BCA的平分线上，则t的值为 　 　． 17．△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若∠C＝90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2＝c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论． 18．课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B与∠D互补，求证：AB+ADAC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题． （1）特殊情况入手添加条件：“∠B＝∠D”，如图2，可证AB+ADAC；（请你完成此证明） （2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明） 参考答案析 一、单选题练习 1-6．CDBCBC． 二、填空题练习 7．90°+α． 8．4.8． 9．1或或7． 10．3． 11．①③④⑤． 12． 三、解答题练习 13．解：a2+c2＝b2+d2，理由为： ∵四边形ABCD，AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， ∴a2＝OA2+OB2，b2＝OB2+OC2，c2＝OC2+OD2，d2＝OD2+OA2， ∴a2+c2＝OA2+OB2+OC2+OD2，b2+d2＝OB2+OC2+OD2+OA2， ∴a2+c2＝b2+d2． 14．解：（1）连接AD，如图①所示： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8， 有勾股定理得：AB， ∵点M为边AB的中点，MD⊥AB， ∴MD为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，AM＝BMAB， 设AD＝BD＝x，则CD＝BC﹣BD＝8﹣x， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC2+CD2＝AD2， 即42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， 在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM； （2）线段AE、ED、DB之间的数量关系是：AE2+BD2＝ED2，证明如下： 在EM的延长线上取一点F，使MF＝ME，连接BF，DF，ED，如图②所示： ∵点M为边AB的中点， ∴MB＝MA， 在△BMF和△AME中， ， ∴△BMF≌△AME（SAS）， ∴∠MBF＝∠A，BF＝AE，MF＝ME， ∴AC∥BF， ∴∠DBF＝∠C＝90°， ∵ME⊥MD，MF＝ME， ∴MD为线段EF的垂直平分线， ∴ED＝FD， 在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF2+BD2＝FD2， 即AE2+BD2＝ED2． 15．（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵BC＝10， ∴BD＝5， Rt△ABD中，∵AB＝13， ∴AD12， 在Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴DF＝BD＝5， ∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7； （2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH， 在△CHB和△AEF中， ， ∴△CHB≌△AEF（SAS）， ∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC， ∴∠CEF＝∠CHE， ∴CE＝CH， ∵BD＝CD，FD⊥BC， ∴CF＝BF， ∴∠CFD＝∠BFD＝45°， ∴∠CFB＝90°， ∴EF＝FH， 在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2， ∴BF2+EF2＝AE2． 16．解：（1）由勾股定理得，AB8， 故答案为：8； （2）①∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A 运动，AC＝17， ∴当P在 BC上时，CP＝3t﹣AC＝3t﹣17， ∵AC≤3t≤AC+BC， ∴t， 故答案为：3t﹣17，t； ②当点P在∠BCA 的角平分线上时，如图所示，过点P作PE⊥AC于E， ， ∴∠PEA＝∠PEC＝90°， ∵CP平分∠BCA， ∴∠BCP＝∠ECP， ∵∠PEC＝∠B＝90°，CP＝CP， ∴△BCP≌△ECP（AAS）， ∴EC＝BC＝15，则 AE＝AC﹣CE＝17﹣15＝2， 设AP＝x，则BP＝8﹣x， 由勾股定理得，AP2＝EP2+EA2， ∴x2＝（8﹣x）2+22， 解得：x， ∴AP，即40﹣3t， 解得：t， 点P与点C重合时，点P在∠BCA的平分线上， 此时t， 故答案为：或． 17．解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2（1分） 若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2．（2分） 当△ABC是锐角三角形时， 证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD＝a﹣x（3分） 根据勾股定理，得b2﹣x2＝AD2＝c2﹣（a﹣x）2 即b2﹣x2＝c2﹣a2+2ax﹣x2． ∴a2+b2＝c2+2ax（5分） ∵a＞0，x＞0， ∴2ax＞0． ∴a2+b2＞c2．（6分） 当△ABC是钝角三角形时， 证明：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D． 设CD为y，则有BD2＝a2﹣y2（7分） 根据勾股定理，得（b+y）2+a2﹣y2＝c2． 即a2+b2+2by＝c2．（9分） ∵b＞0，y＞0， ∴2by＞0， ∴a2+b2＜c2．（10分） 18．证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B＝∠D， ∴∠B＝∠D＝90°， ∠CAD＝∠CAB∠DAB＝30°， ∵在△ADC中，cos30°， 在△ABC中，cos30°， ∴ABAC，AD． ∴AB+AD． （2）由（1）知，AE+AFAC， ∵AC为角平分线，CF⊥AD，CE⊥AB， ∴CE＝CF． 而∠ABC与∠D互补， ∠ABC与∠CBE也互补， ∴∠D＝∠CBE． ∵在Rt△CDF与Rt△CBE中， ∴Rt△CDF≌Rt△CBE． ∴DF＝BE． ∴AB+AD＝AB+（AF+FD）＝（AB+BE）+AF＝AE+AFAC． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$