第07讲 一次函数三种关系 （3个知识点+3种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第07讲 一次函数三种关系 （3个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 【例1】（2023秋•大东区期末）已知一次函数，随的增大而减小，则函数图象不过第　　象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（2023秋•全椒县期末）正比例函数经过第二、四象限，则的取值范围是 　　． 【变式2】（2023秋•贵池区期末）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2023秋•瑶海区校级月考）已知一次函数，求： （1）为何值时，随着的增大而减小？ （2）为何值时，函数图象与轴的交点在轴下方？ （3）为何值时，图象经过第一、三、四象限？ 知识点2．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 【例2】（2023春•阜阳期末）若关于的一次函数的图象经过点，则方程的解为　　． 【变式1】（2023秋•包河区校级月考）如图，直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022秋•蜀山区校级月考）已知一次函数、为常数且，与的图象相交于点，则关于的方程的解为　　． 【变式3】（2022秋•定远县期中）已知一次函数的图象经过点与． （1）求这个一次函数的解析式； （2）判断点是否在这个一次函数的图象上； （3）直接写出关于的一元一次方程的解． 知识点3．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 【例3】（2023秋•蜀山区期末）对于实数，，定义符号，，其意义为：当时，，，当时，，，例如：，，，，若关于的函数，，则该函数的最大值为　　 A．0 B．2 C．3 D．5 【变式1】（2023秋•庐阳区校级期末）如图，一次函数与轴，轴分别交于，两点，则不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023春•新泰市期末）如图，直线与分别交轴于点，，则不等式的解集为 　　． 【变式3】．（2023秋•庐阳区期末）已知一次函数经过点，与轴交于点． （1）求的值和点的坐标； （2）画出此函数的图象； （3）观察图象，当时，的取值范围是 　　． 经典题型汇编 题型一．一次函数图象与系数的关系 1．（2023秋•瑶海区期末）函数的图象经过一、二、四象限，则的取值范围为　　． 2．（2023秋•裕安区校级月考）若一次函数，随的增大而减小，则的值可能是　　 A． B． C．2 D．3 3．（2023秋•宁国市期末）已知正比例函数． （1）为何值时，函数的图象经过第一、三象限． （2）为何值时，函数值随自变量的增大而减小． 题型二．一次函数与一元一次方程 4．（2023秋•蚌山区月考）若直线与轴的交点坐标为，则关于的方程的解是　　． 5．（2021秋•利辛县期末）下表是一次函数的部分自变量和相应的函数值，方程的解所在的范围是　　 0 1 2 1 3 5 A． B． C． D． 6．（2020秋•包河区期中）根据一次函数的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于的方程的解； （2）代数式的值； （3）关于的方程的解． 题型三．一次函数与一元一次不等式 7．（2023秋•定远县期末）对于一次函数和，当时，的取值范围是 　　． 8．（2023秋•蜀山区期末）对于实数，，定义符号，，其意义为：当时，，，当时，，，例如：，，，，若关于的函数，，则该函数的最大值为　　 A．0 B．2 C．3 D．5 9．（2023秋•寿县期末）在给出的网格中画出一次函数的图象，并结合图象求： （1）方程的解； （2）不等式的解集； （3）不等式的解集． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于两点，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于（　　） A．8 B．6 C．4 D．16 3．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数的图象经过，则k的值为（　　） A． B． C．1 D．2 4．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）把函数的图象向下平移5个单位，所得到的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）已知直线与直线的交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 6．（19-20八年级上·安徽安庆·期末）一次函数和的图象都经过点(2，3)，且与y轴分别交于，两点，则△的面积是    （     ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）同一平面直角坐标系中，一次函数与（为常数）的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   8．（八年级上·安徽合肥·期中）为了鼓励居民节约用水，某市决定实行两级收费制度，水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．若每月用水量不超过20吨（含20吨），按政府优惠价收费；若每月用水量超过20吨，超过部分按市场价4元/吨收费，那么政府优惠价是（　　） A．元吨 B．元吨 C．元吨 D．元吨 9．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（      ）    A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先减小后增大 D．不变 10．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，．．．分别在直线和轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（20-21八年级上·安徽亳州·阶段练习）直线与两坐标轴围成的三角形面积是 ． 12．（22-23八年级上·安徽淮北·期中）已知点，，直线． （1）若直线，则 ． （2）若直线m与线段有交点，则k的取值范围为 13．（21-22八年级上·安徽滁州·期末）如图，一次函数y＝-2x和y＝kx+b的图象相交于点，则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 ． 14．（22-23八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线与（其中k为正整数），记与x轴围成的三角形面积为，则 ． 三、解答题 15．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知与x成正比例，且时，．求y与x的函数关系式． 16．（22-23八年级上·安徽池州·期末）已知一次函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)若，求函数y的取值范围． 17．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数和． （1）若当时，，则k的值为 ； （2）若当时，，则k的取值范围为 ． 18．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数， (1)若该函数图象经过，求m的值； (2)若函数图象在y轴上的截距为3，求一次函数的表达式； (3)在（2）的前提下，当时，求函数的最大值． 19．（22-23八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知直线m与直线平行，且经过． (1)求直线m的解析式． (2)求直线m与x轴的交点． 20．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）画出函数图象，利用图象求：    (1)方程的解； (2)不等式的解集； (3)若，求x取值范围． 21．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，一次函数的图象与坐标轴交于两点，目，与正比例函数的图象交手点，若． (1)求一次函数和正比例函数的表达式； (2)结合图象直接等出不等式的解集． 22．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）画出函数的图象，结合图象：    （1）求方程的解； （2）求不等式的解集； （3）若，直接写出的取值范围． 23．（21-22八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝﹣x﹣2的图象，并利用图象解决下列问题： （1）求方程﹣x﹣2＝0的解； （2）求不等式﹣x﹣2＜0的解集； （3）若﹣4≤y≤2，求x的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 一次函数三种关系 （3个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 【例1】（2023秋•大东区期末）已知一次函数，随的增大而减小，则函数图象不过第　　象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据已知函数图象的增减性来确定的符号． 【解答】解：一次函数的图象随的增大而减小， ．即该函数图象经过第二、四象限， ，即该函数图象与轴交于正半轴． 综上所述，该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：． 【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交． 【变式1】（2023秋•全椒县期末）正比例函数经过第二、四象限，则的取值范围是 　　． 【分析】根据正比例函数经过第二四象限，确定，套入本题数据解答即可． 【解答】解：正比例函数经过第二、四象限， ， ． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，系数小于零图象过第二四象限时解得本题的关键． 【变式2】（2023秋•贵池区期末）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据一次函数的图象不经过第三象限可得一次函数的图象经过第二、四象限或一次函数的图象经过第一、二、四象限，分两种情况进行计算即可得到答案． 【解答】解：一次函数的图象不经过第三象限， 一次函数的图象经过第二、四象限或一次函数的图象经过第一、二、四象限， 当一次函数的图象经过第二、四象限时，则有， 解得：， 当一次函数的图象经过第一、二、四象限时，则有， 解得：， 综上所述，的取值范围是：， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数、为常数，，当，时，图象经过一、二、三象限，当，时，图象经过一、三、四象限，当，时，图象经过一、二、四象限，当，时，图象经过二、三、四象限． 【变式3】（2023秋•瑶海区校级月考）已知一次函数，求： （1）为何值时，随着的增大而减小？ （2）为何值时，函数图象与轴的交点在轴下方？ （3）为何值时，图象经过第一、三、四象限？ 【分析】（1）当随的增大而减少时，，解得即可得出结论； （2）函数图象与轴的交点在轴下方时，，，解得即可得出结论； （3）图象经过第一、三、四象限时，，解得即可得出结论； 【解答】解：（1）依题意得：， 解得； （2）依题意得：，， 解得且； （3）依题意得：， 解得． 【点评】考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质．当，随的增大而增大，图象一定过第一、三象限；当，随的增大而减小，图象一定过第二、四象限；当，图象与轴的交点在轴上方；当，图象过原点；当，图象与轴的交点在轴下方． 知识点2．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 【例2】（2023春•阜阳期末）若关于的一次函数的图象经过点，则方程的解为　　． 【分析】把点代入，求得，所以方程变为，即可求得方程的解． 【解答】解：关于的一次函数的图象经过点， ， ， 方程化为方程， ， ． 故答案为． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，求得是解题的关键． 【变式1】（2023秋•包河区校级月考）如图，直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 【分析】方程的解其实就是当时一次函数与轴的交点横坐标． 【解答】解：直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，且，， ， 当时，， 关于的方程的解为：． 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 【变式2】（2022秋•蜀山区校级月考）已知一次函数、为常数且，与的图象相交于点，则关于的方程的解为　　． 【分析】把代入求出，根据点的横坐标，即可求出答案． 【解答】解：把代入得：， 解得， ，， 根据图象信息可得关于的方程的解为， 关于的方程的解为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中． 【变式3】（2022秋•定远县期中）已知一次函数的图象经过点与． （1）求这个一次函数的解析式； （2）判断点是否在这个一次函数的图象上； （3）直接写出关于的一元一次方程的解． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）将代入一次函数解析式求出的值，即可判断； （3）由（2）可知一次函数过点，，即可求出方程的解． 【解答】解：（1）一次函数的图象经过点与， 可得， 解得， 这个一次函数的解析式为； （2）当时，， 点，在这个一次函数的图象上； （3）由（2）可得一元一次方程的解． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 知识点3．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 【例3】（2023秋•蜀山区期末）对于实数，，定义符号，，其意义为：当时，，，当时，，，例如：，，，，若关于的函数，，则该函数的最大值为　　 A．0 B．2 C．3 D．5 【分析】根据定义分情况列出不等式：①当时，，；②当时，，，再根据一次函数的性质可得出结果． 【解答】解：由题意得： ①当，即时，，， ，随的增大而减小， 当时，取得最大值3； ②当，即时，，， ，随的增大而增大， 当时，． 综上可知，函数，的最大值为3． 故选：． 【点评】本题考查了新定义、一次函数与一元一次不等式，认真阅读理解其意义，并利用函数的性质解决函数的最值问题是解题的关键． 【变式1】（2023秋•庐阳区校级期末）如图，一次函数与轴，轴分别交于，两点，则不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【分析】由一次函数的图象过点，且随的增大而减小，从而得出不等式的解集． 【解答】解：由一次函数的图象可知，此函数是减函数，即随的增大而减小， 一次函数的图象与轴交于点， 当时，有． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 【变式2】（2023春•新泰市期末）如图，直线与分别交轴于点，，则不等式的解集为 　　． 【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可． 【解答】解：直线与直线分别交轴于点、， ， 两个正数或两个负数的积为正数， 不等式的解集为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 【变式3】．（2023秋•庐阳区期末）已知一次函数经过点，与轴交于点． （1）求的值和点的坐标； （2）画出此函数的图象； （3）观察图象，当时，的取值范围是 　　． 【分析】（1）将点的坐标代入一次函数的解析式中，即可得出的值，从而求出一次函数的解析式，令时，得出的值即可得出点的坐标； （2）根据点和点的坐标确定位置，作直线即可； （3）根据图象，即可确定的取值范围． 【解答】解：（1）一次函数经过点， ． 当时，， 解得． ． （2）由（1）知，，， 画图如下： 直线即为所求； （3）由图知，当时，的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了图形与坐标、一次函数的解析式、一次函数的图象及性质，正确画出图象是解题的关键． 经典题型汇编 题型一．一次函数图象与系数的关系 1．（2023秋•瑶海区期末）函数的图象经过一、二、四象限，则的取值范围为　　． 【分析】由函数的图象经过一、二、四象限，根据一次函数的性质得到，且，解不等式组即可得到的取值范围． 【解答】解：函数的图象经过一、二、四象限， ，且， 解得． 故答案为． 【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴． ①，时，的图象在一、二、三象限； ②，时，的图象在一、三、四象限； ③，时，的图象在一、二、四象限； ④，时，的图象在二、三、四象限． 2．（2023秋•裕安区校级月考）若一次函数，随的增大而减小，则的值可能是　　 A． B． C．2 D．3 【分析】利用函数的增减性可以判定其比例系数的符号，从而确定的取值范围． 【解答】解：一次函数，随的增大而减小， ， ， 观察选项，只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．函数值随的增大而减小；函数值随的增大而增大； 一次函数图象与轴的正半轴相交，一次函数图象与轴的负半轴相交，一次函数图象过原点． 3．（2023秋•宁国市期末）已知正比例函数． （1）为何值时，函数的图象经过第一、三象限． （2）为何值时，函数值随自变量的增大而减小． 【分析】（1）根据正比例函数的性质得，然后解不等式即可； （2）根据正比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【解答】解：（1）根据题意，得， 解得； （2）根据题意，得， 解得． 【点评】本考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解题的关键． 题型二．一次函数与一元一次方程 4．（2023秋•蚌山区月考）若直线与轴的交点坐标为，则关于的方程的解是　　． 【分析】一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解． 【解答】解：直线与轴的交点坐标为， 关于的方程的解是：． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解． 5．（2021秋•利辛县期末）下表是一次函数的部分自变量和相应的函数值，方程的解所在的范围是　　 0 1 2 1 3 5 A． B． C． D． 【分析】由表格知当时，；当时，，即可得出时，对应的的取值即可． 【解答】解：由题知，当时，；当时，， 方程的解所在的范围是， 故选：． 【点评】此题考查一次函数问题，认真体会一次函数与一元一次方程之间的内在联系：一次函数与轴的交点横坐标就是一元一次方程的解． 6．（2020秋•包河区期中）根据一次函数的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于的方程的解； （2）代数式的值； （3）关于的方程的解． 【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出时对应的函数值即可 （3）利用函数图象写出函数值为时对应的自变量的值即可． 【解答】解：（1）当时，， 所以方程的解为； （2）当时，， 所以代数式的值为； （3）当时，， 所以方程的解为． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键． 题型三．一次函数与一元一次不等式 7．（2023秋•定远县期末）对于一次函数和，当时，的取值范围是 　　． 【分析】利用当得到不等式，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得， 解得， 即的取值范围为． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：通过比较函数值大小得到一元一次不等式，然后解一元一次不等式得到的取值范围． 8．（2023秋•蜀山区期末）对于实数，，定义符号，，其意义为：当时，，，当时，，，例如：，，，，若关于的函数，，则该函数的最大值为　　 A．0 B．2 C．3 D．5 【分析】根据定义分情况列出不等式：①当时，，；②当时，，，再根据一次函数的性质可得出结果． 【解答】解：由题意得： ①当，即时，，， ，随的增大而减小， 当时，取得最大值3； ②当，即时，，， ，随的增大而增大， 当时，． 综上可知，函数，的最大值为3． 故选：． 【点评】本题考查了新定义、一次函数与一元一次不等式，认真阅读理解其意义，并利用函数的性质解决函数的最值问题是解题的关键． 9．（2023秋•寿县期末）在给出的网格中画出一次函数的图象，并结合图象求： （1）方程的解； （2）不等式的解集； （3）不等式的解集． 【分析】（1）利用描点法画出两个一次函数图象； （2）利用函数图象，找出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可； （3）利用函数图象，找出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：（1）由图象可知，方程的解是， （2）由图象可知，不等式的解集是； （3）由图象可知，不等式的解集是：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于两点，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式．根据题意利用函数图像特殊点即可得到本题答案． 【详解】解：∵一次函数与x轴、y轴分别交于两点， ∴的解集为， 故选：A． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于（　　） A．8 B．6 C．4 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，三角形面积公式，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键，先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式计算即得． 【详解】令，则， 所以直线与y轴的交点为， 令，则， 解得， 所以直线与x轴的交点为， 所以直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于． 故选C． 3．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数的图象经过，则k的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的解析式．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 将点坐标代入一次函数解析式，计算求解即可． 【详解】解：将代入得，， 解得，， 故选：A． 4．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）把函数的图象向下平移5个单位，所得到的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移；根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把函数的图象向下平移5个单位，所得到的函数表达式为， 故选：D． 5．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）已知直线与直线的交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，画出两条直线的解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴直线过点， ∵， ∴直线过原点， 又直线与直线的交点坐标为， 画图如下： 由图象可知：不等式的解集为； 故选：A． 6．（19-20八年级上·安徽安庆·期末）一次函数和的图象都经过点(2，3)，且与y轴分别交于，两点，则△的面积是    （     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先把(2，3)分别代入一次函数和中，可求出m，n的值，则求出两个函数的解析式；然后求出B、C两点的坐标；最后根据三角形的面积公式求出△ABC的面积． 【详解】解：和的图象都经过点(2，3) 把(2，3)代入解析式得2m-2=3，2n+1=3， 解得m=，n=1， 则函数的解析式是和 这两个函数与y轴的交点是B（0，-2），C（0，1）． ∴CB=3， ∴ 故选B. 【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系．函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上． 7．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）同一平面直角坐标系中，一次函数与（为常数）的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，利用一次函数的性质进行判断． 【详解】若，则一次函数与都经过第一、二、三象限，没有符合条件的选项； 若，则一次函数与都经过第一、三、四象限，没有符合条件的选项； 若，则一次函数经过第一、二、三象限，经过第二、三、四象限，没有符合条件的选项； 若，则一次函数经过第一、三、四象限，经过第一、二、四象限，C选项符合条件； 故选：C． 8．（八年级上·安徽合肥·期中）为了鼓励居民节约用水，某市决定实行两级收费制度，水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．若每月用水量不超过20吨（含20吨），按政府优惠价收费；若每月用水量超过20吨，超过部分按市场价4元/吨收费，那么政府优惠价是（　　） A．元吨 B．元吨 C．元吨 D．元吨 【答案】C 【分析】设政府优惠价是x元/吨．根据30吨水水费为92元，构建方程即可解决问题． 【详解】解：设政府优惠价是x元/吨, 由题意20x+10×4=92， 解得x=2.6， 故选C. 【点睛】考查一元一次方程的应用，根据图象列出方程是解题的关键. 9．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（      ）    A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先减小后增大 D．不变 【答案】D 【分析】根据点、的坐标求出所在直线解析式，进而得出两直线平行，即可得出是定值，是定值，到直线的距离是定值，进而得出答案． 【详解】解：连接，    点、的坐标分别为、， 设所在直线解析式为：， ， 解得：， 所在直线解析式为：， 点是第一象限内直线上的一个动点， 两直线平行， 到直线的距离是定值， 是定值，是定值，到直线的距离是定值， 当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积不变． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行的关系以及三角形面积求法等知识，根据已知得出已知两直线平行是解题关键． 10．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，．．．分别在直线和轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数图象与结合图形的综合的规律题，根据题意分别求出点的坐标，并根据有理数的乘方运算找出规律，由此即可求解． 【详解】解：∵点，，，…在直线， ∴当时，，即的纵坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴当时，，，即的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，则纵坐标为， ∴，则 ∵是正方形是正方形， ∴，则， ∴， ∴当时，，，则的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， 同理，，的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 二、填空题 11．（20-21八年级上·安徽亳州·阶段练习）直线与两坐标轴围成的三角形面积是 ． 【答案】 【分析】由直线与x轴的交点，纵坐标为0，与y轴的交点，横坐标为0；先求解直线与坐标轴的交点坐标，直线与两坐标轴围成的三角形是直角三角形，根据交点坐标确定三角形的两直角边长，再求面积． 【详解】解：令y=0，得， 解得：， 所以，直线与x轴的交点的坐标是； 令x=0，得y=2， 所以，直线与轴的交点的坐标是， 如图，画的图像如下， 所以：直线与两坐标轴围成的的面积=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式的运用，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，运用面积公式求解，掌握以上知识是解题的关键． 12．（22-23八年级上·安徽淮北·期中）已知点，，直线． （1）若直线，则 ． （2）若直线m与线段有交点，则k的取值范围为 【答案】 【分析】（1）设所在直线的函数表达式为，把，代入，求出a和b的值，得出所在直线的函数表达式，即可求解； （2）分别求出当直线m经过点A和点B时的k值，即可求解． 【详解】解：（1）设所在直线的函数表达式为， 把，代入得： ，解得：， ∴所在直线的函数表达式为， ∵， ∴； （2）当m经过点A时： 把代入得： ， 解得：； 当m经过点B时： 把代入得：， 解得：； ∴k的取值范围为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，两条互相平行的直线k值相等． 13．（21-22八年级上·安徽滁州·期末）如图，一次函数y＝-2x和y＝kx+b的图象相交于点，则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 ． 【答案】x＝-2 【分析】可变形为，一次函数y＝-2x和y＝kx+b图象交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：将变形为， 的解为一次函数y＝-2x和y＝kx+b图象交点的横坐标， 观察图象可知，的解为x＝-2， 即的解为x＝-2， 故答案为：x＝-2． 【点睛】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键． 14．（22-23八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线与（其中k为正整数），记与x轴围成的三角形面积为，则 ． 【答案】 【分析】变形解析式得到两条直线都经过点，即可证出无论k取何值，直线与的交点均为定点；先求出与x轴的交点和与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出，求出，，以此类推，相加后即可求解． 【详解】解：∵直线， ∴直线经过点； ∵直线：， ∴直线：经过点． ∴无论k取何值，直线与的交点均为定点． ∵直线与x轴的交点为， 直线：与x轴的交点为， ∴， ∴； ∴ ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0． 三、解答题 15．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知与x成正比例，且时，．求y与x的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据与成正比例设出一此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：∵与x成正比例， ∴设， ∵时，， ∴，解得， ∴，即． 16．（22-23八年级上·安徽池州·期末）已知一次函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)若，求函数y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）得一次函数表达式为，求出时y的值，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得； （2）由（1）得一次函数表达式为， 当时，， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时，． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的增减性，正确掌握一次函数的基础知识是解题的关键． 17．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数和． （1）若当时，，则k的值为 ； （2）若当时，，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】（1）将得到的表达式，再根据求出k的值； （2）由求出的取值范围，再由得到k的取值范围． 【详解】解：（1）当时，， ， ， ， ． （2）， ， ∴ ∵ 解得， 由等式符号不变得到 即 ， 解得． 【点睛】本题主要考查代数求值以及解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 18．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数， (1)若该函数图象经过，求m的值； (2)若函数图象在y轴上的截距为3，求一次函数的表达式； (3)在（2）的前提下，当时，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) (3)函数的最大值为24 【分析】本题考查一次函数的性质，求一次函数解析式． （1）把代入，即可得出答案； （2）根据函数图象在y轴上的截距为3，得出，求出m的值，可得出答案； （3）根据一次函数性质得出在中，y的值随x的增大而减小，进而得出时y取最大值，求出答案即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，， 解得； （2）解：函数图象在y轴上的截距为3， 所以， 解得． ， 所以一次函数的表达式为； （3）解：在中，y的值随x的增大而减小， 所以当时，时y取最大值， ， 即函数的最大值为24． 19．（22-23八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知直线m与直线平行，且经过． (1)求直线m的解析式． (2)求直线m与x轴的交点． 【答案】(1)直线m的解析式为y＝2x+2 (2)直线m与x轴的交点为 【分析】（1）设直线m为，根据直线m与直线平行，可得，把代入即可求出函数解析式； （2）令，即可得到，求得，即可求得直线m与x轴的交点． 【详解】（1）设直线m为， ∵直线m与直线平行， ∴， 把代入得：， ∴直线m的解析式为：； （2）在直线m：中， 令，则， 解得， ∴直线m与x轴的交点为． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，当两条直线平行时，k相等是解题的关键． 20．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）画出函数图象，利用图象求：    (1)方程的解； (2)不等式的解集； (3)若，求x取值范围． 【答案】(1)作图见解析，； (2)； (3) 【分析】（1）利用一次函数图象的特殊点作图即可，根据一次函数与x轴的交点求得方程的解； （2）根据时，一次函数图象位于x轴的下方，即可求得不等式的解集； （3）根据一次函数的图象即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：由图可得，当时，， ∴方程的解为：； （2）由图可得，当时，函数图象在x轴的下方，即， ∴不等式的解集为：； （3）由图可得，y随x的增大而增大， 当时，，即， 当时，，即， ∴当时，x取值范围是．    【点睛】本题考查一次函数图象与性质、一次函数与不等式、一次函数与一元一次方程的解，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 21．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，一次函数的图象与坐标轴交于两点，目，与正比例函数的图象交手点，若． (1)求一次函数和正比例函数的表达式； (2)结合图象直接等出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数，正比例函数 (2) 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，求一次函数解析式； （1）先求出两点坐标，即可求出解析式，再设点坐标根据列方程求出点坐标代入计算即可； （2）观察函数图象发现满足不等式的点都在点左边，即可解不等式． 【详解】（1）∵， ∴，， ∵一次函数的图象与坐标轴交于两点， ∴，解得， ∴一次函数， ∴设， ∵， ∴, ∴， 解得， ∴， ∵与正比例函数的图象交手点， ∴，解得， ∴正比例函数； （2）由函数图象可得不等式的解集为． 22．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）画出函数的图象，结合图象：    （1）求方程的解； （2）求不等式的解集； （3）若，直接写出的取值范围． 【答案】图见解析；（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式；利用两点法作图即可作出函数的图象，（1）图象与x轴的交点坐标的横坐标就是该方程的解；（2）就是函数的图象位于x轴的下方的部分对应的自变量的取值范围；（3）结合图象根据函数值的取值范围得到自变量的取值范围即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 函数的图象如图所示：    （1）观察图象知：该函数图象经过点， 故方程的解为； （2）观察图象知：当时，， 故不等式的解集为； （3）解：当时，，解得： 当时，，解得：； 如图所示，    观察图象知：当时，． 23．（21-22八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝﹣x﹣2的图象，并利用图象解决下列问题： （1）求方程﹣x﹣2＝0的解； （2）求不等式﹣x﹣2＜0的解集； （3）若﹣4≤y≤2，求x的取值范围． 【答案】（1）x＝﹣3；（2）x＞﹣3；（3）3≥x≥﹣6． 【分析】利用描点法画出一次函数y＝﹣x﹣2的图象， （1）由直线与x轴的交点坐标确定方程﹣x﹣2＝0的解； （2）由x轴下方所对应的自变量的范围确定不等式的解集； （3）由图象确定y＝2和y＝﹣4对应的自变量的值，从而得到对应的x的取值范围． 【详解】解：如图，过点（−3，0），（0，−2）画出函数y＝﹣x﹣2的图象， （1）∵直线y＝﹣x﹣2与x轴的交点坐标为（−3，0）， ∴方程﹣x﹣2＝0的解为x＝﹣3； （2）如图，∵x＞﹣3时，y＜0， ∴﹣x﹣2＜0的解集为x＞﹣3； （3）如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象过点（−6，2），（3，−4）， ∴当﹣4≤y≤2时，3≥x≥﹣6． 【点睛】本题属于一次函数的综合问题，考查了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图形发现它们之间的关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$