第07讲 尺规作图 （3个知识点+5种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第07讲 尺规作图 （3个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 【例1】（2023秋•开化县期末）用直角三角板作某条边上的高，下列作法正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•路桥区期末）如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接．若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•诸暨市校级月考）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为 　　． 【变式3】（2023秋•宁波期末）如图，在中，是钝角．（保留作图痕迹） （1）用无刻度的直尺和圆规作，的垂直平分线，分别交于点、； （2）连结，，若，求的度数． 知识点2．作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【例2】（2023秋•下陆区期末）如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•东阳市期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在内部作一个角，下列作法中不等于的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022•柯城区校级开学）如图所示，用直尺和三角尺作直线，这种作法的依据是 　　． 【变式3】（2023秋•桐乡市期末）如图，在中． （1）作的平分线． （2）作线段的垂直平分线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 知识点3．作图—应用与设计作图 应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中． 首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 【例3】（西湖区校级期中）如图，在一张长为，宽为的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为　　． 【变式1】（2022秋•北仑区期中）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形的面积是　　；（每个小正方形的边长为 （2）是格点三角形． ①在图2中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中画出一个与全等且有一个公共点的格点三角形． 【变式2】（2022秋•天台县期末）如图，将放置在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均为格点，在所给的网格中，仅用无刻度的直尺作图（保留画图痕迹，标出字母）． （1）作边上的中线； （2）作的角平分线； （3）找格点，连接，使． 【变式3】（2023秋•洞头区校级月考）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，在图中画出符合下列条件的一个图形． （1）在图1中间一个与全等且有一条公共边的格点三角形； （2）在图2中画一个以为腰长的等腰，使它的顶点都在格点上． 经典题型汇编 题型一．作图—尺规作图的定义 1．（江干区校级月考）尺规作图是指　　 A．用直尺规范作图 B．用刻度尺和圆规作图 C．用没有刻度的直尺和圆规作图 D．直尺和圆规是作图工具 2．（2022秋•河东区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•诸暨市校级月考）如图所示，已知，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法） ①的角平分线； ②边上的中线． 题型二．作图—基本作图 4．（2023秋•鹿城区校级期中）如图，在中，分别以，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，，连结，交于点．若，的周长为10，则的长为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2023秋•柯桥区期末）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．已知，，为上一动点，则的最小值为 　　． 6．（2023秋•余杭区校级月考）如图，中，点在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点，连接．求证：． 题型三．作图—复杂作图 7．（2022秋•宁波期末）如图，在中，，下列尺规作图，不能得到的是　　 A． B． C． D． 8．（2021秋•诸暨市期中）已知，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交直线于点，连接．若，，则的度数为 　　． 9．（2023秋•临海市校级期中）如图，已知中，． （1）请用基本的尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使得，连接（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，探究线段，与之间的数量关系． 题型四．作图—应用与设计作图 10．（慈溪市期末）有一块两条直角边长分别为和的直角三角形绿地，现在要扩充成等腰三角形，且扩充部分是直角边长为的直角三角形，则扩充后的等腰三角形绿地的周长不可能是　　 A． B． C． D． 11．（绍兴校级期中）有一直角三角形绿地，量得两直角边长为3米和4米，现在要将绿地扩充成等腰三角形形状，且扩充部分有一条直角边为4米的直角三角形，请聪明的你设计出所有符合要求的方案，则所得等腰三角形土地的面积为　　平方米． 12．（2023秋•西湖区校级月考）按要求画出图形． （1）如图1，已知，按要求作图： ①作的角平分线； ②作边上的高线． （2）有公路同侧，异侧的两个城镇，，如图2．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法） 题型五．作图—代数计算作图 13．（西湖区校级期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段．请在图中画出这样的线段． 14．（2022秋•鄞州区期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中解答下面问题． （1）图中线段的两端点都落在格点（即小正方形的顶点）上，求出的长度； （2）再以为一边画一个等腰三角形，使点在格点上，且另两边的长都是无理数； （3）请直接写出符合（2）中条件的等腰三角形的顶点的个数． 15．（洪山区期中）问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上　　； 思维拓展： （2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为画出相应的，并求出它的面积； 探索创新： （3）若三边的长分别为、、，，且，试运用构图法求出这三角形的面积． 试题练习 一、单选题 1．（22-23八年级·浙江宁波·期末）下列所给条件中，能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）下列语句中，属于定义的是（   ） A．对顶角相等． B．作一条直线和己知直线垂直. C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. D．图形的平移不改变图形的形状和大小. 3．（八年级上·阶段练习）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③作一个角等于已知角．其中作法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）我们知道，用直尺和圆规可以画出一个角的角平分线：以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边相交于两点，再分别以D、E为圆心，大于一半长作为半径作圆弧，两圆弧交于点O，如图射线即为的角平分线，它的画法依据是(    )    A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，P；作一条射线，以点F圆心，长为半径作弧l，交于点H；以H为圆心，长为半径作弧，交弧于点Q；作射线．这样可得，其依据是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（19-20八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，不一定能作出唯一的一个三角形的是（     ） A．已知两边的长和夹角的三角形 B．已知两个角及夹边的长的三角形 C．已知两边的长及其中一边的对角的三角形 D．已知直角边和斜边的直角三角形 10．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，，以点B为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线交于点H．若，则（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．（八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是 （填，，，中的一种）．    12．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点D．已知，，P为上一动点，则的最小值为 ． 13．（19-20八年级上·浙江台州·期中）若满足∠AOB=30°，OA=4，AB=k的△AOB的形状与大小是唯一的，则k的取值范围是 ． 14．（八年级上·浙江杭州·阶段练习）根据以下条件：能用尺规作出唯一的三角形有 （填序号）． ①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角.利用尺规作图， 15．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线交于点．若＝，则的大小为 度．    16．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，分别以为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，连结，交于点E，交于点的周长是，则的长为 ．    三、解答题 17．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）（1）尺规作图：作线段的中垂线； （2）解不等式：． 18．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知和线段a，b，用直尺和圆规作，，（保留作图痕迹） 19．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，． (1)用直尺和圆规作的中垂线，交于点，交于点（要求保留作图痕迹）； (2)填空：连接，若，， （直接写出结果）． 20．（23-24八年级上·浙江温州·期末）某两个城中村A，B与两条公路位置如图所示，因城市拆迁安置需要，在C处新建安置小区，要求小区与两个村A，B的距离必须相等，到两条公路的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图，找出所有符合条件的C点．（不写已知，求作，作法，只保留作图痕迹） 21．（22-23八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，． (1)用直尺和圆规作的中垂线，交于点D；（要求保留作图痕迹） (2)连接，若，，求的周长． 22．（八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知∠α，∠β，线段a，完成下面的尺规作图： （1）∠α+∠β； （2）△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a． 23．（23-24八年级上·浙江·期末）已知和线段（如图）． (1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）． (2)这样的三角形能作几个？ 24．（21-22八年级上·浙江·期末）如图，已知，请按下列要求作图： （1）作边上的中线． （2）用直尺和圆规作的角平分线． （3）用直尺和圆规作，使（使点D与A对应，点E与B对应，点F与C对应）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 尺规作图 （3个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 【例1】（2023秋•开化县期末）用直角三角板作某条边上的高，下列作法正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形高的定义，过三角形一个顶点作对边的垂线，则垂线段为三角形的高，由此可对各选项进行判断． 【解答】解：作某条边上的高，下列作法正确的是． 故选：． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的高． 【变式1】（2023秋•路桥区期末）如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接．若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据三角形内角和定理解得的值，再作图的过程可知是线段的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得，进而可得，然后由求解即可． 【解答】解：，， ， 由题意可知，是线段的垂直平分线， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、尺规作图—作垂线、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，理解并掌握垂直平分线的性质是解题关键． 【变式2】（2023秋•诸暨市校级月考）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为 　　． 【分析】根据，求出，即可． 【解答】解：，， ， 由作图可知，垂直平分线段， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查作图基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式3】（2023秋•宁波期末）如图，在中，是钝角．（保留作图痕迹） （1）用无刻度的直尺和圆规作，的垂直平分线，分别交于点、； （2）连结，，若，求的度数． 【分析】（1）利用基本作图，分别作和的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，，则，，再利用三角形外角性质得到，，然后利用三角形内角和得到，则可计算出，接着可计算出的度数． 【解答】解：（1）如图，点、为所作； （2），的垂直平分线，分别交于点、， ，， ，， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 知识点2．作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【例2】（2023秋•下陆区期末）如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是　　 A． B． C． D． 【分析】由和易得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点在的垂直平分线上，进而得出结论． 【解答】解：，而， ， 点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：． 【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【变式1】（2023秋•东阳市期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在内部作一个角，下列作法中不等于的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据角平分线的尺规作图和等腰直角三角形、直角三角形的性质逐一判断即可． 【解答】解：．此选项是作直角的平分线，，不符合题意； ．此选项是作，由知，不符合题意； ．此选项是作的平分线，由知，符合题意； ．此选项是作和的平分线，，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图与性质、直角三角形的性质． 【变式2】（2022•柯城区校级开学）如图所示，用直尺和三角尺作直线，这种作法的依据是 　同位角相等，两直线平行　． 【分析】利用平行线的判定方法对各选项进行判断． 【解答】解：由画法可得，则， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式3】（2023秋•桐乡市期末）如图，在中． （1）作的平分线． （2）作线段的垂直平分线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【分析】（1）利用尺规作出的角平分线即可； （2）利用尺规作出线段的垂直平分线即可． 【解答】解：（1）如图，射线即为所求； （2）如图，直线即为所求． 【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 知识点3．作图—应用与设计作图 应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中． 首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 【例3】（西湖区校级期中）如图，在一张长为，宽为的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为　或或10　． 【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上，（2）一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上，三种情况讨论．（1）为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出边上的高，再代入面积公式求解；（3）先求出边上的高，再代入面积公式求解． 【解答】解：分三种情况计算： （1）当厘米时， 厘米， （2）当厘米时，如图 厘米， 厘米， （3）当厘米时，如图 厘米， 厘米． 故答案为：或或10． 【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论． 【变式1】（2022秋•北仑区期中）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形的面积是　6　；（每个小正方形的边长为 （2）是格点三角形． ①在图2中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中画出一个与全等且有一个公共点的格点三角形． 【分析】（1）利用分割法求解即可． （2）根据三角形的判定，画出图形即可． （3）利用旋转法画出图形即可． 【解答】解：（1）如图1中，， 故答案为：6． （2）①如图2中，即为所求作（答案不唯一）． ②如图3中，即为所求作（答案不唯一）． 【点评】本题考查作图应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式2】（2022秋•天台县期末）如图，将放置在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均为格点，在所给的网格中，仅用无刻度的直尺作图（保留画图痕迹，标出字母）． （1）作边上的中线； （2）作的角平分线； （3）找格点，连接，使． 【分析】（1）取格点，连接交于点，线段即为所求； （2）取格点，连接，线段即为所求； （3）取格点，连接，线段即为所求． 【解答】解：（1）取格点，连接交于点，如图1，线段即为所求； （2）取格点，连接，如图2，线段即为所求； （3）取格点，连接，如图3，线段即为所求． 【点评】本题考查仅用无刻度的直尺作图问题，三角形的中线，角平分线和高线等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【变式3】（2023秋•洞头区校级月考）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，在图中画出符合下列条件的一个图形． （1）在图1中间一个与全等且有一条公共边的格点三角形； （2）在图2中画一个以为腰长的等腰，使它的顶点都在格点上． 【分析】（1）利用翻折，轴对称，旋转的方法作出全等三角形即可； （2）根据等腰三角形的性质作出图形即可． 【解答】解：（1）如图1中，△即为所求（答案不唯一见图中虚线）； （2）如图2所示，即为所求（答案不唯一）． 【点评】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确画出图形． 经典题型汇编 题型一．作图—尺规作图的定义 1．（江干区校级月考）尺规作图是指　　 A．用直尺规范作图 B．用刻度尺和圆规作图 C．用没有刻度的直尺和圆规作图 D．直尺和圆规是作图工具 【分析】根据尺规作图的定义作答． 【解答】解：根据尺规作图的定义可知：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图． 故选：． 【点评】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图． 2．（2022秋•河东区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】如图，由作图可知，，．根据证明． 【解答】解：如图，由作图可知，，． 在和中， ， ， 故选：． 【点评】本题考查作图尺规作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2023秋•诸暨市校级月考）如图所示，已知，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法） ①的角平分线； ②边上的中线． 【分析】（1）根据角平分线的作法作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的作法作出图形即可． 【解答】解：（1）如图所示； （2）如图所示． 【点评】本题考查了作图尺规作图的定义，三角形的角平分线、中线和高，正确地作出图形是解题的关键． 题型二．作图—基本作图 4．（2023秋•鹿城区校级期中）如图，在中，分别以，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，，连结，交于点．若，的周长为10，则的长为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】由作图可知，直线为线段的垂直平分线，则，进而可得，即可得出答案． 【解答】解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为10， ， 即， ． 故选：． 【点评】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键． 5．（2023秋•柯桥区期末）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．已知，，为上一动点，则的最小值为 　3　． 【分析】由题意得当时，有最小值，据此即可求解． 【解答】解：为上一动点， 当时，有最小值，如图所示： 由题意得：是的角平分线， ， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 6．（2023秋•余杭区校级月考）如图，中，点在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点，连接．求证：． 【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得出结论． 【解答】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：平分， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了尺规作图的基本作图平分已知角的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 题型三．作图—复杂作图 7．（2022秋•宁波期末）如图，在中，，下列尺规作图，不能得到的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质一一判断即可． 【解答】解：、由作图可知，， ，本选项不符合题意； 、由作图可知，， ，， ，本选项不符合题意； 、由作图可知，点在线段的垂直平分线上， ， ， ，本选项不符合题意． 、无法判断，． 故选：． 【点评】本题考查作图复杂作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 8．（2021秋•诸暨市期中）已知，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交直线于点，连接．若，，则的度数为 　或　． 【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：由题意得， 直线是线段的垂直平分线， ， ， ， 如图1， ， ； 如图2， ， ， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想解决问题． 9．（2023秋•临海市校级期中）如图，已知中，． （1）请用基本的尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使得，连接（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，探究线段，与之间的数量关系． 【分析】（1）根据要求运用尺规作图画出图形即可； （2）先根据证明，推出，，再证明，最后根据线段的和差即可解答． 【解答】解：（1）如图即为所求． （2）平分， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查尺规作图，掌握基本的尺规作图方法是解题的关键． 题型四．作图—应用与设计作图 10．（慈溪市期末）有一块两条直角边长分别为和的直角三角形绿地，现在要扩充成等腰三角形，且扩充部分是直角边长为的直角三角形，则扩充后的等腰三角形绿地的周长不可能是　　 A． B． C． D． 【分析】由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是，则应分为①，②，③，④，4种情况进行讨论． 【解答】解：如图所示： （1）图1：当时； 由于，则； 此时等腰三角形绿地的周长； （2）图2：当时； ， ， 此时等腰三角形绿地的周长； （3）图3：当时，设； 中，，； 由勾股定理，得，即，解得； 此时等腰三角形绿地的周长． （4）如图4，延长到使等于， 此时， 故， 则， 此时等腰三角形绿地的周长． 故只有选项不合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形． 11．（绍兴校级期中）有一直角三角形绿地，量得两直角边长为3米和4米，现在要将绿地扩充成等腰三角形形状，且扩充部分有一条直角边为4米的直角三角形，请聪明的你设计出所有符合要求的方案，则所得等腰三角形土地的面积为　10或12或　平方米． 【分析】由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是，则应分为①，②，③，④，4种情况进行讨论． 【解答】解：如图所示： （1）图1：当时； 由于，则； 此时等腰三角形绿地的面积：； （2）图2：当时； ， ， 此时等腰三角形绿地的面积：； （3）图3：当时，设； 中，，； 由勾股定理，得，即，解得； 此时等腰三角形绿地的面积：． （4）如图4，延长到使等于， 此时， 故， ． 故答案为：10或12或． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形． 12．（2023秋•西湖区校级月考）按要求画出图形． （1）如图1，已知，按要求作图： ①作的角平分线； ②作边上的高线． （2）有公路同侧，异侧的两个城镇，，如图2．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法） 【分析】（1）利用尺规根据角平分线的定义作出图形；用尺规作交的延长线于点； （2）①作两条公路夹角的平分线或．②作线段的垂直平分线，则射线、与直线的交点、即为所求的位置． 【解答】解：（1）①的角平分线如图1； ②如图1，线段即为所求． （2）①作两条公路夹角的平分线或． ②作线段的垂直平分线，则射线、与直线的交点、即为所求的位置． 【点评】本题考查作图的应用、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，注意本题有灵活位置． 题型五．作图—代数计算作图 13．（西湖区校级期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段．请在图中画出这样的线段． 【分析】是直角边长为1，1的直角三角形的斜边；是直角边长为1，2的直角三角形的斜边； 是直角边长为2，3的直角三角形的斜边． 【解答】解：如图所示，图中的，，即为所求． 【点评】解决本题的关键是找到无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长． 14．（2022秋•鄞州区期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中解答下面问题． （1）图中线段的两端点都落在格点（即小正方形的顶点）上，求出的长度； （2）再以为一边画一个等腰三角形，使点在格点上，且另两边的长都是无理数； （3）请直接写出符合（2）中条件的等腰三角形的顶点的个数． 【分析】（1）由题意，为直角三角形的斜边，故． （2）此类题要求学生对问题分情况讨论，为腰，边为底两种情况． （3）边为腰，在左边有可以找出两点，右边也有4个．共6个． 【解答】解：（1）由勾股定理，易知； （2）要使为等腰三角形，且另两边长度均为无理数， ①若为底边，则顶点在线段的中垂线上，易知这种情况不成立． 故边应为腰． ②若为腰，经观察可知有点满足条件，此时，的长度也为无理数，如图所示： （3）6． 【点评】要求学生对三角形的深刻认识，本题要求学生具有一定的发散性思维． 15．（洪山区期中）问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上　　； 思维拓展： （2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为画出相应的，并求出它的面积； 探索创新： （3）若三边的长分别为、、，，且，试运用构图法求出这三角形的面积． 【分析】（1）的面积； （2）是直角边长为，的直角三角形的斜边；是直角边长为，的直角三角形的斜边；是直角边长为，的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积； （3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为，的直角三角形的斜边；直角边长为，的直角三角形的斜边；直角边长为，的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积． 【解答】解：（1）； （2）如图： ； （3）解：构造所示， ． 【点评】本题是开放性的探索问题，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答． 试题练习 一、单选题 1．（22-23八年级·浙江宁波·期末）下列所给条件中，能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，根据能画出唯一，故此选项符合题意； C、，不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意； D、，不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）下列语句中，属于定义的是（   ） A．对顶角相等． B．作一条直线和己知直线垂直. C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. D．图形的平移不改变图形的形状和大小. 【答案】C 【分析】本题考查定义问题．掌握定义是由被定义项、定义项和定义联项三部分组成．被定义项是需要明确的概念，定义项是用来明确被定义项的概念，定义联项则是用来连接定义项和被定义项的．按照定义三项进行排查即可． 【详解】A、对顶角相等是命题不是定义； B、作一条直线和己知直线垂直是作图语句不是定义； C、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，平行线是被定义项，不相交的两条直线是定义项，叫做定义联项； D、图形的平移不改变图形的形状和大小是平移的性质不是定义． 故选：C 3．（八年级上·阶段练习）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，用直尺和圆规作一个角等于已知角．通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用，答案可得． 【详解】解：由作图可知，在和中， ， ， ，即， 说明的依据是． 故选B． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③作一个角等于已知角．其中作法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查尺规作图，根据尺规作图绘制一条线段的垂直平分线、一个角的平分线、一个角等于已知角的做法，逐项判断即可． 【详解】①如图所示，作一条线段的垂直平分线，作法错误； ②③作法正确． 故选：C 5．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线定理的逆定理以及尺规作图——作线段的垂直平分线．由和可得，点D在线段的垂直平分线上，因此这道题就转化成了作线段的垂直平分线，与的交点即为点D． 【详解】∵，而， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上， 即点D为线段的垂直平分线与的交点． 观察四个选项，D选项符合题意， 故选：D． 6．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）我们知道，用直尺和圆规可以画出一个角的角平分线：以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边相交于两点，再分别以D、E为圆心，大于一半长作为半径作圆弧，两圆弧交于点O，如图射线即为的角平分线，它的画法依据是(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的画法，全等三角形的判定定理的应用，由作法可知：，，根据全等三角形的判定定理判断即可．灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：如图，由作法可知：，， ∵，，， ∴根据可推出全等， ∴，即射线即为的角平分线， 故选：A    7．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，P；作一条射线，以点F圆心，长为半径作弧l，交于点H；以H为圆心，长为半径作弧，交弧于点Q；作射线．这样可得，其依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出，，利用证明，根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】解：如图，连接，， 根据题意得，，， 在和中，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹可得是的角平分线，是的垂直平分线，从而可以证明A，得到，可证明C，进而证明即可判断D． 【详解】解： 根据尺规作图痕迹可得：是的角平分线，是的垂直平分线， ∴，故A正确；， ∴， ∴， ∴，故C正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； 根据条件无法判断B； 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，线段平分线的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识是关键． 9．（19-20八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，不一定能作出唯一的一个三角形的是（     ） A．已知两边的长和夹角的三角形 B．已知两个角及夹边的长的三角形 C．已知两边的长及其中一边的对角的三角形 D．已知直角边和斜边的直角三角形 【答案】C 【分析】三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可． 【详解】∵三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS， ∴A、根据SAS定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误； B、根据ASA定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误； C、根据已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，故本选项正确； D、根据HL定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误. 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 10．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，，以点B为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线交于点H．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得为的角平分线，再根据，即可解答． 【详解】解：由题意可得，为的角平分线， ， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的作法，平行线的性质，知道为的角平分线是解题的关键． 二、填空题 11．（八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是 （填，，，中的一种）．    【答案】 【分析】利用可证得，那么． 【详解】解：由作图知， ∴， ∴，所以利用的条件为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键． 12．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点D．已知，，P为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；由题意得当时，有最小值，据此即可求解． 【详解】解：∵P为上一动点， ∴当时，有最小值，如图所示： 由题意得：是的角平分线， ∵， ∴ 故答案为： 13．（19-20八年级上·浙江台州·期中）若满足∠AOB=30°，OA=4，AB=k的△AOB的形状与大小是唯一的，则k的取值范围是 ． 【答案】k=2或k≥4． 【分析】分两种情况讨论，依据∠AOB=30°，OA=4，AB=k的△AOB的形状与大小是唯一的，即可得到k的取值范围． 【详解】解：如图所示，以点A为圆心，2为半径画弧，弧线与射线OB有唯一交点B，此时△AOB的形状与大小是唯一的； 以A为圆心，大于等于4为半径画弧，弧线与射线OB（不含端点）有唯一交点B'，此时△AOB'的形状与大小是唯一的； 综上所述，k的取值范围是k=2或k≥4． 故答案为k=2或k≥4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，需要通过三角形的角与边的关系来判断，考虑最特殊的两种情况，即直角三角形以及等腰三角形． 14．（八年级上·浙江杭州·阶段练习）根据以下条件：能用尺规作出唯一的三角形有 （填序号）． ①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角.利用尺规作图， 【答案】①②③ 【分析】把尺规作图的唯一性转化成全等三角形的判定,根据全等三角形的判定方法逐项判定即可． 【详解】解：：已知三边,是边边边（SSS）故①正确,已知两边和夹角,满足SAS,可知该三角形是唯一的,故②正确, 已知两角及其夹边,是ASA故③正确, 已知两边及其中一边的对角,可知该三角形不是唯一的,故④错误； 故答案为:①②③. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键,即SSS、SAS、ASA、AAS和HL,注意AAA和SSA不能证明三角形全等． 15．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线交于点．若＝，则的大小为 度．    【答案】 【分析】由平行线的性质知，，可求，由作法知是的平分线即可． 【详解】， ， 又， ， 由作法知，是的平分线， 则， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质、尺规作角的平分线、角度的大小，关键是掌握平行线的性质，角平分线的定义． 16．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，分别以为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，连结，交于点E，交于点的周长是，则的长为 ．    【答案】/5厘米 【分析】本题主要考查了作线段垂直平分线和线段垂直平分线的性质，解题的关键是根据作图判断出是线段的垂直平分线． 根据作图判断出是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到答案． 【详解】解：由作图知，直线是的垂直平分线， ， 的周长为， ， ∵， ， 故答案为：． 三、解答题 17．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）（1）尺规作图：作线段的中垂线； （2）解不等式：． 【答案】（1）见解析 （2） 【分析】本题考查利用尺规作图作出线段的垂直平分线，解不等式，掌握尺规作图的方法和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）首先分别以两点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，在线段的上下两侧得出两个交点； 然后过两点作直线，即可得出答案； （2）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为解题即可． 【详解】解：（1）直线即为所作； （2）解： ． 18．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知和线段a，b，用直尺和圆规作，，（保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】本题考查了作图，作一个角等于已知角和用已知线段画三角形，先作，再在上截取，然后以C为圆心，b为半径画弧交于A和，则和满足条件． 【详解】解：这样的三角形能作2个． 如图，和为所作． 19．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，． (1)用直尺和圆规作的中垂线，交于点，交于点（要求保留作图痕迹）； (2)填空：连接，若，， （直接写出结果）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质以及等腰三角形性质． （1）分别以为圆心，大于为半径画弧即可完成作图； （2）根据线段垂直平分线的性质和等边对等角即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求； （2）解：由（1）可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 20．（23-24八年级上·浙江温州·期末）某两个城中村A，B与两条公路位置如图所示，因城市拆迁安置需要，在C处新建安置小区，要求小区与两个村A，B的距离必须相等，到两条公路的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图，找出所有符合条件的C点．（不写已知，求作，作法，只保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图—应用与设计作图，涉及了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图及其性质分别作直线夹角的平分线和线段的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点和点即为所求． 21．（22-23八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，． (1)用直尺和圆规作的中垂线，交于点D；（要求保留作图痕迹） (2)连接，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)的周长为． 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及尺规作图是解题的关键； （1）根据线段垂直平分线的尺规作图可进行求解； （2）由（1）可知，然后问题可求解 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求． （2）解：由（1）可知，直线是线段的垂直平分线， ， 的周长=． ， ∴的周长为． 22．（八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知∠α，∠β，线段a，完成下面的尺规作图： （1）∠α+∠β； （2）△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据尺规作图过程即可作出∠α+∠β； （2）先根据尺规作图作出∠C＝180°﹣∠α﹣∠β，再进行其它作图即可作出三角形． 【详解】解：（1）如图∠AOC即为所求作的图形． （2）如图即为所求作的△ABC． 作BC＝a， 作∠B＝∠β，∠C＝180°﹣∠α﹣∠β， ∠B、∠C的两条边相交于点A， 则∠A＝∠α． 答：△ABC即为所求作的图形． 【点睛】本题考查了尺规作图，解决本题的关键是规范作图，注意画∠C时，先作出180°-∠α-∠β． 23．（23-24八年级上·浙江·期末）已知和线段（如图）． (1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）． (2)这样的三角形能作几个？ 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）先作，再在上截取，然后以为圆心，为半径画弧交于和，则和即为所作； （2）由作图即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，和即为所作， ； （2）解：由图可得：这样的三角形能作个． 24．（21-22八年级上·浙江·期末）如图，已知，请按下列要求作图： （1）作边上的中线． （2）用直尺和圆规作的角平分线． （3）用直尺和圆规作，使（使点D与A对应，点E与B对应，点F与C对应）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）作BC的垂直平分线，交BC于D，连接AD即可； （2）利用基本作图（作已知角的平分线）作∠ACB的平分线CG； （3）先作线段EF=BC，然后分别以E、F为圆心，BA和CA为半径画弧，两弧交于点D，则△DEF与△ABC全等． 【详解】解：（1）如图，AD即为所作； （2）如图，CG即为所作； （3）如图，△DEF为所作． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$