1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（教学课件）-2024-2025学年高一数学同步课堂系列（人教A版2019必修第一册）

1.5.2　全称量词命题和 存在量词命题的否定 1 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ___ 全称量词命题 含有 的命题 形式 “对M中 一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“_____________” ∀ 全称量词 任意 ∀x∈M，p(x) 温故知新 2 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ____ 存在量词命题 含有 的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“_____________” ∃ 存在量词 ∃x∈M，p(x) 温故知新 3 学习目标 1.能正确地用存在量词对全称量词命题进行否定. 2.能正确地用全称量词对存在量词命题进行否定. 3.通过学习全称量词与存在量词命题的否定，提高数学抽象思维素养和思维能力. 创设情境 同学们，我们上节课学习了全称量词命题与存在量词命题，也知道了如何判断一个命题的真假。但如果一个命题的真假不好判断时，我们该如何去更好判断它的真假呢？其实，如果遇到一个命题的真假不好判断的话，那么我们可以对它进行否定，也就是它的“对立面”，我们就会得到一个新的命题，可以通过判断这个新命题的真假来反推原命题的真假。这一新命题称为原命题的否定.那么，该如何对一个命题进行否定呢？今天我们一起来学习吧！ 内容索引 一、全称量词命题的否定 二、存在量词命题的否定 三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用 一 全称量词命题的否定 问题1　写出下列命题的否定，并判断其与原命题的真假，同时观察它们与原命题在形式上有什么变化？ (1)所有的菱形都是平行四边形； (2)任何一个小数都是有理数； (3)∀x∈R，x＋|x|≥0. 提示　命题(1)的否定是“并非所有的菱形都是平行四边形”，原命题是真命题，否定是假命题； 命题(2)的否定是“并非任何一个小数都是有理数”，也就是说，存在一个小数不是有理数，原命题是假命题，否定是真命题； 命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x＋|x|≥0”，也就是说，∃x∈R，x＋|x|<0，原命题是真命题，否定为假命题. 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 1.全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定： .也就是说，全称量词命题的否定是 命题. ∃x∈M，¬p(x) 存在量词 新知讲解 2.认识与理解： (1)对命题的否定，只需记住八个字“改变量词，否定结论”； (2)从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定. (3)一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假. 10 3.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 新知讲解 11 例1　写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被3整除的整数都是奇数； 该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数. (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； 该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上. 12 (3)∀x∈R，x2的个位数不等于3. 该命题的否定：∃x∈R，x2的个位数等于3. (4)所有的正比例函数都是一次函数 该命题的否定：存在一个正比例函数不是一次函数. 13 反思感悟 全称量词命题否定的步骤 (1)全称量词命题的否定是把全称量词变为存在量词，所以步骤是先找出全称量词，后变量词与结论. (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定. 跟踪训练1　写出下列命题的否定： (1)∀n∈Z，n∈Q； ∃n∈Z，n∉Q. (2)任何一个有理数都可以写成分数的形式； 存在一个有理数不能写成分数的形式 15 (3)每个等腰三角形都是轴对称图形. 存在一个等腰三角形不是轴对称图形. (4)∀x∈R,2x+1≧0. ∃x∈R, 2x+1＜0 16 二 存在量词命题的否定 问题2　写出下列命题的否定,并判断其与原命题的真假，同时观察它们与原命题在形式上有什么变化？ (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2－2x＋3＝0. 提示　命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数，原命题为真命题，否定为假命题； 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形，原命题为真命题，否定为假命题； 命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是说，∀x∈R，x2－2x＋3≠0，原命题为假命题，否定为真命题. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定： .也就是说，存在量词命题的否定是 命题. ∀x∈M，¬p(x) 全称量词 新知讲解 20 例2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)某些平行四边形的对角线互相垂直； 该命题的否定：任意一个平行四边形的对角线都不互相垂直. 命题的否定为假命题. 21 (2)存在a∈R，函数y＝ax2＋bx+c（a≠0）的开口方向向上； 该命题的否定：对任意a∈R，函数y＝ax2＋bx+c（a≠0）的开口方向都不向上.命题的否定为假命题. 22 存在量词命题否定的步骤 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，所以步骤是先找出全称量词，后变量词与结论.即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x). (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定. 反思感悟 23 跟踪训练2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有的小数是无理数； 命题的否定：所有的小数都不是无理数. 由于无限不循环小数就是无理数，因此命题的否定为假命题. 24 (2)∃a∈R，2a-1≤0. 命题的否定：∀a∈R，2a-1>0.命题的否定是假命题. (3)有的三角形是等边三角形. 命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.命题的否定是假命题. 25 三 全称量词命题与存在量词命题 的综合应用 例3　命题“存在x∈R，使得x2+2x＋a<0”是假命题，求实数a的取值范围. 命题“存在x∈R，使得x2+2x＋a<0”是假命题， 所以此命题的否定“任意x∈R，使得x2+2x＋a≥0”是真命题， 因为对任意x∈R，都有x2+2x＋a≥0， 所以△=4-4a≤0， 所以a≥1. 27 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，常转为求函数y的最值，即a>ymax(或a<ymin). (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，常转为求函数y的最值，即a>ymin(或a<ymax). (3)对于全称量词与存在量词命题为假的命题，首先是对命题进行否定，转变为真命题，然后再转化为相应的不等式恒成立或能成立进行求解. 反思感悟 28 跟踪训练3　已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且¬p是假命题，求实数a的取值范围. 因为¬p是假命题，所以p是真命题， 又∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}， 所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}， 29 解得－3≤a≤1， 即实数a的取值范围是－3≤a≤1. 30 1.知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的否定. (2)命题真假的判断. (3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用. 2.思想方法：转化法. 3.易错点：否定不唯一；命题与其否定的真假性相反. 课堂小结 知识像一艘船让它载着我们驶向理想的彼岸 谢谢 (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 该命题的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3. 当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题. 则 $$