人教版数学八年级上2024年暑假专题训练专题十七 轴对称自学检测卷

人教版数学八年级上暑假自学课专题训练 专题十七 轴对称自学检测卷 一、试卷知识点梳理 2、 轴对称自学检测卷 考试范围：13章轴对称；考试时间：120分钟；满分120分 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 分卷I 评卷人 得分 . . 一、选择题(共10题；共30.0分) 1．(3分)剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2．(3分)如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，DE是AC的中垂线，则△ABD的周长为（　　） ​ A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 3．(3分)如图，△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称，则以下结论中不一定成立的是（　　） A. AB=DE B. ∠B=∠E C. AB∥DF D. 线段AD被MN垂直平分 4．(3分)如图，两把相同的直尺的一边分别与射线OB、OA重合，另一边相交于点P，则OP平分∠BOA的依据是（　　） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C. 角平分线的性质 D. 角平分线是轴对称图形 5．(3分)室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（　　） A. 3：20 B. 3：40 C. 4：40 D. 8：20 6．(3分)如图，中，是角平分线，垂足为，垂足为，与交于，下列说法不一定正确的是（ ） A. 也是中线 B. 平分 C. D. 7．(3分)如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD=DC，AE=4，AD=5，则AB的长为（　　） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 8．(3分)如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为( ) A. 5 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm 9．(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8、AC=6，若点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10．(3分)如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a,AB+BC+CA=2b,则S△ABC=ab.其中正确的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 分卷II 评卷人 得分 . . 二、填空题(共5题；共15.0分) 11．(3分)如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD=45°，∠C=20°，则∠ADC=_____． 12．(3分)如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上张贴的同学手机号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是_____． 13．(3分)如图，在中，，是的平分线，．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_____． 14．(3分)如图，在等边三角形ABC中，AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，则BE的长为_______． 15．(3分)如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是_______．(填序号) 评卷人 得分 . . 三、解答题(共8题；共75.0分) 16．(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=70°，AB=AC=8，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN=3． （1）求∠CAD度数； （2）求△BMN的周长． 17．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（-3，1），B（2，3），C（1，0）． （1）在图中作△A'B'C'，使得△A'B'C'与△ABC关于直线l轴对称． （2）点A'的坐标为 _____，点B'的坐标为 _____． 18．(6分)已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC．求作：在BC边上找一点D，使得AD=CD． 小李同学在学习了尺规作图的相关知识后，设计作图步骤如下： ①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②连接MN，交BC于点D，连接AD； ③点D即为所求． （1）请根据上述的设计方案，补全作图痕迹，并分析小李同学的作图依据是 _____； （2）补充下面的证明过程： 证明：设MN交AC于点E， ∵MN垂直平分AC， ∴∠AED=∠CED=90°，_____，DE=DE， ∴△AED≌△CED， ∴AD=_____．（ _____）（填推理依据）． 19．(9分)如图，在中，垂直平分，分别交，于点、，垂直平分，分别交、于点、，连接，． （1）若，求的周长等于__________． （2）若，求的度数 20．(9分)阅读下面材料，并解决相应的问题： 在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下： （1）分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）再分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D； （3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线． 同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下： 连接AC，BC，AD，BD． 由作图可知：AC=BC，AD=BD． ∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1：_____）． ∴直线就是线段的垂直平分线（依据2：_____）． （1）请你将小明证明的依据写在横线上； （2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形． 21．(10分)如图，． （1）写出与的数量关系 （2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：． （3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 22．(12分)如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）． （2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由． （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．） 23．(13分)如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米，如果点M以3厘米/秒的速度运动． （1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由； （2）在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？ （3）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是多少厘米/秒． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学八年级上暑假自学课专题训练 专题十七 轴对称自学检测卷（解析版） 一、试卷知识点梳理 2、 轴对称自学检测卷 考试范围：13章轴对称；考试时间：120分钟；满分120分 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 分卷I 评卷人 得分 . . 一、选择题(共10题；共30.0分) 1．(3分)剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 解：A．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2．(3分)如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，DE是AC的中垂线，则△ABD的周长为（　　） ​ A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 解：∵DE是AC的中垂线， ∴DA=DC， ∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC， ∵AB=4，BC=7， ∴△ABD的周长=4+7=11， 故选：B． 3．(3分)如图，△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称，则以下结论中不一定成立的是（　　） A. AB=DE B. ∠B=∠E C. AB∥DF D. 线段AD被MN垂直平分 【答案】C 【解析】根据轴对称的性质作答． 解：A、AB=DE，成立，不符合题意； B、∠B=∠E，成立，不符合题意； C、AB与DF不一定平行，不成立，符合题意； D、线段AD被MN垂直平分，成立，不符合题意． 故选：C． 4．(3分)如图，两把相同的直尺的一边分别与射线OB、OA重合，另一边相交于点P，则OP平分∠BOA的依据是（　　） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C. 角平分线的性质 D. 角平分线是轴对称图形 【答案】A 【解析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB． 解：如图所示：PE⊥AO，过两把直尺的交点P作PF⊥BO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE=PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A． 5．(3分)室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（　　） A. 3：20 B. 3：40 C. 4：40 D. 8：20 【答案】B 【解析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答． 解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3：40成轴对称，所以此时实际时刻为3：40． 故选：B． 6．(3分)如图，中，是角平分线，垂足为，垂足为，与交于，下列说法不一定正确的是（ ） A. 也是中线 B. 平分 C. D. 【答案】A 【解析】A．根据等腰三角形的三线合一可以判定A符合题意； B．根据角平分线的性质得出，证明，得出，即可判断B不符合题意； CD．根据全等三角形的性质得出，根据，证明垂直平分，即可判断CD不符合题意． 解：A．等腰三角形底边上的中线，顶角平分线，底边上的高线才三线合一，而不是等腰三角形，因此不一定是中线，故A符合题意； B．∵是角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故B不符合题意； CD．∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，，故CD不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等． 7．(3分)如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD=DC，AE=4，AD=5，则AB的长为（　　） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】根据线段垂直平分线的性质可得AC=2AE=8，DA=DC，从而可得∠DAC=∠C，再结合已知易得BD=AD，从而可得∠B=∠BAD，然后利用三角形内角和定理可得∠BAC=90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 解：由题意得：MN是AC的垂直平分线， ∴AC=2AE=8，DA=DC， ∴∠DAC=∠C， ∵BD=CD， ∴BD=AD， ∴∠B=∠BAD， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180°， ∴2∠BAD+2∠DAC=180°， ∴∠BAD+∠DAC=90°， ∴∠BAC=90°， 在Rt△ABC中，BC=BD+CD=2AD=10， ∴AB===6， 故选：D． 8．(3分)如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为( ) A. 5 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm 【答案】C 【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 如图，连接AD． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12，解得：AD=6（cm）． ∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）． 故选C． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 9．(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8、AC=6，若点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】依据点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，需要分三种情况进行讨论，即①AB=AP，②BA=BP，③AP=BP，据此通过画图即可得出点P的位置． 解：如图所示，分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，与直线l的交点P1，P2，P3即为所求；作AB的垂直平分线，与直线l的交点P4即为所求． ∴符合条件的点P有4个． 故选：D． 10．(3分)如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a,AB+BC+CA=2b,则S△ABC=ab.其中正确的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 【答案】C 【解析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF=AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确． 解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴∠OBA=∠CBA，∠OAB=∠CAB， ∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB=180°-∠CBA-∠CAB=180°-（180°-∠C）=90°+∠C，①正确； ∵∠C=60°， ∴∠BAC+∠ABC=120°， ∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线， ∴∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC）=60°， ∴∠AOB=120°， ∴∠AOF=60°， ∴∠BOE=60°， 如图，在AB上取一点H，使BH=BE， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠HBO=∠EBO， 在△HBO和△EBO中，， ∴△HBO≌△EBO（SAS）， ∴∠BOH=∠BOE=60°， ∴∠AOH=180°-60°-60°=60°， ∴∠AOH=∠AOF， 在△HAO和△FAO中，， ∴△HAO≌△FAO（ASA）， ∴AF=AH， ∴AB=BH+AH=BE+AF，故②正确； 作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M， ∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴点O在∠C的平分线上， ∴OH=OM=OD=a, ∵AB+AC+BC=2b ∴S△ABC=×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD=（AB+AC+BC）•a=ab,③正确． 故选：C． 分卷II 评卷人 得分 . . 二、填空题(共5题；共15.0分) 11．(3分)如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD=45°，∠C=20°，则∠ADC=_____． 【答案】70° 【解析】根据对称性得出∠BOC=∠AOB=180°-∠BOD=135°，∠COD=∠BOC-∠BOD=135°-45°=90°，根据三角形内角和得出结论即可． 解：∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称， ∴∠BOC=∠AOB=180°-∠BOD=135°，∠COD=∠BOC-∠BOD=135°-45°=90°， ∴∠ADC=180°-∠C-∠COD=180°-20°-90°=70°， 故答案为：70°． 12．(3分)如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上张贴的同学手机号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是_____． 【答案】630085 【解析】易得所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 解：做轴对称图形得：|630085， 故答案是：630085． 13．(3分)如图，在中，，是的平分线，．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】根据等腰三角形三线合一的性质得出，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，然后利用三角形等面积法求解即可． 解：∵，是的平分线， ∴垂直平分， ∴． 过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴＝， 即的最小值是． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形等面积法，最短距离问题，理解题意，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 14．(3分)如图，在等边三角形ABC中，AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，则BE的长为_______． 【答案】3 【解析】由等边三角形的性质可得AC＝BC＝AB＝2，根据BD是AC边上的高，可得AD＝CD＝1，再由题中条件CE＝CD，即可求得BE． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC＝AB＝2， ∵BD是AC边上的高， ∴D为AC的中点， ∴AD＝CD＝AC＝1， ∴CE＝CD＝1， ∴BE＝BC+CE＝2+1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD＝CD＝AC是正确解答本题的关键． 15．(3分)如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是_______．(填序号) 【答案】①②③ 【解析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据题意得：∠EPM=∠FPN，再根据角平分线的性质定理可得PE=PF，从而得到Rt△POE≌Rt△POF，进而得到OE=OF，可得到△PEM≌△PFN，从而得到∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，可得S△PEM=S△PFN，OM+ON= 2OE，从而得到①②③正确，再由M，N的位置变化，可得MN的长度是变化的，再证得△PMN是等边三角形，可得故④错误，即可求解． 解：如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∵∠PEO=∠PFO=90°， ∴∠EPF+∠AOB=180°， ∵∠MPN+∠AOB=180°， ∴∠EPF=∠MPN， ∴∠EPM=∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE=PF， 在Rt△POE和Rt△POF中， ∵OP=OP，PE=PF， ∴Rt△POE≌Rt△POF（HL）， ∴OE=OF， 在△PEM和△PFN中， ∵∠MPE=∠NPF， PE=PF，∠PEM=∠PFN， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，故①正确； ∴S△PEM=S△PFN， ∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故③正确； ∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确； ∵M，N的位置变化， ∴MN的长度是变化的， ∵PM=PN，∠MPN=60°， ∴△PMN是等边三角形， ∴△PMN的周长是变化的，故④错误， ∴说法正确的有①②③． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等边三角形判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等边三角形判定和性质等知识是解题的关键． 评卷人 得分 . . 三、解答题(共8题；共75.0分) 16．(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=70°，AB=AC=8，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN=3． （1）求∠CAD度数； （2）求△BMN的周长． 【解析】（1）由等腰三角形性质和三角形内角和定理可求出∠CAD度数； （2）由平行线的性质及等腰三角形性质可得到AM=NM，则求△BMN的周长可转化成求线段AB和线段BN的和，由题中给出的条件即可求出结果． 解：（1）∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， 又∵∠ABC=70°， ∴∠BAC=180°-70°×2=40°， 又∵D为BC的中点， ∴AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=×40°=20°， 故∠CAD度数为20°． （2）∵NM∥AC， ∴∠ANM=∠CAD， 又∵∠CAD=∠BAD， ∴∠ANM=∠BAD， ∴AM=NM， ∴△BMN的周长=MB+BN+NM=AB+BN， ∵AB=8，BN=3， ∴△BMN的周长=8+3=11． 故△BMN的周长为11． 17．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（-3，1），B（2，3），C（1，0）． （1）在图中作△A'B'C'，使得△A'B'C'与△ABC关于直线l轴对称． （2）点A'的坐标为 _____，点B'的坐标为 _____． 【答案】(1)（-3，-3）;(2)（2，-5）; 【解析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得答案． 解：（1）如图，△A'B'C'即为所求． （2）由图可得，A'（-3，-3），B'（2，-5）． 故答案为：（-3，-3）；（2，-5）． 18．(6分)已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC．求作：在BC边上找一点D，使得AD=CD． 小李同学在学习了尺规作图的相关知识后，设计作图步骤如下： ①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②连接MN，交BC于点D，连接AD； ③点D即为所求． （1）请根据上述的设计方案，补全作图痕迹，并分析小李同学的作图依据是 _____； （2）补充下面的证明过程： 证明：设MN交AC于点E， ∵MN垂直平分AC， ∴∠AED=∠CED=90°，_____，DE=DE， ∴△AED≌△CED， ∴AD=_____．（ _____）（填推理依据）． 【答案】(1)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;(2)垂直的定义;(3)CD;(4)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等; 【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论． 解：（1）如图所示， 作图依据是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； （2）证明：设MN交AC于点E， ∵MN垂直平分AC， ∴∠AED=∠CED=90°，（垂直的定义）DE=DE， ∴△AED≌△CED， ∴AD=CD．（ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）（填推理依据）． 故答案为：垂直的定义，CD，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 19．(9分)如图，在中，垂直平分，分别交，于点、，垂直平分，分别交、于点、，连接，． （1）若，求的周长等于__________． （2）若，求的度数 【答案】（1）9 （2）见解析 【解析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三角形周长公式即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，根据垂直平分线的性质以及等边对等角可得， ，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 20．(9分)阅读下面材料，并解决相应的问题： 在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下： （1）分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）再分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D； （3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线． 同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下： 连接AC，BC，AD，BD． 由作图可知：AC=BC，AD=BD． ∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1：_____）． ∴直线就是线段的垂直平分线（依据2：_____）． （1）请你将小明证明的依据写在横线上； （2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形． 【答案】(1)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;(2)两点确定一条直线; 【解析】（1）根据线段的垂直平分线的判定和性质判断即可． （2）作点C，D关于AB的对称点C′，D′，连接AC′，BC′，AD′，BD′即可． 解：（1）连接AC，CB，AD，DB． 由作图可知：AC=BC，AD=BD． ∴点C，点D在线段的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． ∴直线就是线段的垂直平分线（两点确定一条直线）． 故答案为：线段的垂直平分线的性质，两点确定一条直线． （2）如图所示： 21．(10分)如图，． （1）写出与的数量关系 （2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：． （3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）见解析 【解析】（1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解； （2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证； （3）延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∵ ∴ 即； 【小问2详解】 证明：如图所示， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵，, ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 证明：如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵，， ∴， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， 又，则， 在中， ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 22．(12分)如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）． （2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由． （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．） 【答案】（1）25°；小； （2）DC=2，理由见解答过程； （3）110°或80°． 【解析】（1）根据三角形内角和定理计算求出∠BAD，根据点D从点B向点C运动可以得出∠BDA逐渐变小； （2）当DC=2时，AB=DC，根据∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，得到∠ADB=∠DEC，利用AAS定理证明△ABD≌△DCE即可； （3）分DA=DE、AE=AD、EA=ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【小问1详解】 解：∵∠B=40°，∠BDA=115°， ∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-115°-40°=25°， 由图形可知，∠BDA逐渐变小， 故答案为：25°；小； 【小问2详解】 当DC=2时，△ABD≌△DCE， 理由如下：∵AB=2， ∴AB=DC， ∵AB=AC， ∴∠C=∠B=40°， ∴∠DEC+∠EDC=140°， ∵∠ADE=40°， ∴∠ADB+∠EDC=140°， ∴∠ADB=∠DEC， 在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； 【小问3详解】 当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形，理由如下： 当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=70°， ∴∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=110°； 当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°， ∴∠DAE=100°， 此时，点D与点B重合，不合题意； 当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=40°， ∴∠BDA=∠DAE+∠C=40°+40°=80°， 综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 23．(13分)如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米，如果点M以3厘米/秒的速度运动． （1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由； （2）在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？ （3）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是多少厘米/秒． 【解析】（1）由题意得到BM，BN，CM的长度，利用边角边公理即可判定结论； （2分两种情形讨论解答：①当∠BNM=90°时；②当∠BMN=90°时，设两点的运动时为t秒，分别表示出BM，BN的长度，所对的直角边等于斜边的一半列出方程即可求出对应的时间； （3）分两种情况解答：①当点N的速度小于点M的速度时；②当点N的速度大于点M的速度时，设点N速度为s厘米/秒，利用点M与点N第一次相遇时的路程的差列出方程即可求解． 解：（1）△BMN和△CDM全等．理由： ∵点N的运动速度与点M的运动速度相等，点M以3厘米/秒的速度运动， ∴点N的速度是3厘米/秒． ∴经过2秒后，CM=6厘米，BN=6厘米， ∴CM=BN， ∴BM=BC-CM=10-6=4（厘米）． ∵DC=4厘米， ∴BM=CD． ∵AB=AC=BC， ∴∠B=∠C=60°． 在△BMN和△CDM中， ， ∴△BMN△CDM（SAS）． （2）设两点的运动时为t秒，则CM=BN=3t厘米， ∴BM=BC-CM=（10-3t）厘米． ①当∠BNM=90°时， ∵∠B=60°， ∴∠BMN=30°． ∴BN=BM． ∴3t=（10-3t）． 解得：t=． ②当∠BMN=90°时， ∵∠B=60°， ∴∠BMN=30°． ∴BM=BN， ∴10-3t=×3t. 解得：t=． 综上，当两点的运动时间为秒或秒时，△BMN是一个直角三角形． （3）设点N速度为s厘米/秒，则点N25秒运动的距离为25s厘米， ①当点N的速度小于点M的速度时，由题意得： 25×3-25s=10， 解得：s=． ②当点N的速度大于点M的速度时，由题意得： 25s-25×3=20． 解得：s=． 综上，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是厘米/秒或米/秒． 学科网（北京）股份有限公司 $$