2024年人教版数学八年级上册暑假专题训练专题十六 最短路径

人教版数学八年级上暑假自学课专题训练 专题十六 最短路径 一、专题导航 二、知识点梳理 （1） 类型一、 垂直线段最短问题 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。 典例剖析1 例1-1．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为( ) A. 5 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm 例1-2．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 例1-3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，∠ABC的平分线交AC于点D，点E，F分别是BD、AB上的动点，则AE+EF的最小值为（　　） A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 3 （2） 类型二、两点之间线段最短问题 定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 典例剖析2 例2-1．如图，∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（　　） A. 40° B. 80° C. 100° D. 140° 例2-2．如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ） A. B. C. D. 例2-3．如图，在△ABC中，点P在边BC上方，连接PB，PC，S△PBC=S△ABC=，当PB+PC取得最小值时，∠PBC的度数是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 例2-4．如图，A，B两个村庄独自从河流l上安装了两条灌溉管道AD，BE，AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．某水务局准备为两村庄在河流l上重新安装一台大型的抽水设备灌溉农田．通过测量，确定在河流l的点P处安装抽水设备，则到两个村庄铺设的管道AP+BP的长度最短，此时测得∠PBE=30°，DE=150米，则AP+BP的最小值为（　　） A. 180米 B. 210米 C. 240米 D. 300米 （3） 类型三、造桥选址问题 造桥选址问题 方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．A M N B 典例剖析3 例3-1．如图，∠AOB=90°，OC=2，D为OC中点，长为1的线段EF（点F在点E的下方）在直线OB上移动，连接DE，CF，则DE+CF的最小值为（　　） A. B. C. 2 D. 3 例3-2．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（　　） A. （BM垂直于a） B. （AM不平行BN） C. （AN垂直于b） D. （AM平行BN） 例3-3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE=，则CD+EF的最小值为（　　） A. - B. 3- C. 1+ D. 3 3、 变式训练 变式1、 垂直线段最短问题 1．如图，等边△ABC，边长为8，点D为边BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，当△ADE周长最小时，CE的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2．如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15°，OB=6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．如图，在△ABC中，AB＝BC，AC＝2cm，，边BC的垂直平分线为l，点D是边AC的中点，点P是l上的动点，则△PCD的周长的最小值是______． 变式2、两点之间线段最短问题 1．现需要在某条街道l上修建一个核酸检测点P，向居住在A，B小区的居民提供核酸检测服务，要使P到A，B的距离之和最短，则核酸检测点P符合题意的是（　　） A. B. C. D. 2．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3.5cm,点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2cm,在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 3．如图，在锐角△ABC中，∠ACB=50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为_____． 变式3、类型三、造桥选址问题 1．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为 _____． 2．如图所示，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E是AD的中点，点F是AB上任意一点，沿着EF翻折，点A落在点G处，点H是CD上任意一点，连接HG和HB，则HG+HB的最小值为 _____． 3．如图，∠MON=15°，四边形ABCD的顶点A在∠MON的内部，B，C两点在OM上（C在B，O之间），且BC=1，点D在ON上，若当CD⊥OM时，四边形ABCD的周长最小，则此时AD的长度是_____． 4、 能力提升 提升1、 垂直线段最短问题 1．如图，BD是△ABC的角平分线，E和F分别是AB和BD上的动点，已知△ABC的面积是12cm2，BC的长是8cm,则AF+EF的最小值是 _____cm. 2．如图，锐角△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，M、N分别是BD、BC线段上运动的点，S△ABC=8，AB=4，则MN+MC的最小值是=_____． 3．如图，在Rt△ABC中，AB=6，∠BAC=30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是_____． 提升2、两点之间线段最短问题 1．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD=1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为 _____． 2．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是 _____． 3．如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC=5km,B厂距离河边BD=1km,经测量CD=8km,现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E． （1）设ED=x,请用x的代数式表示AE+BE的长； （2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？ （3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？ 4．（1）小河的同旁有甲、乙两个村庄如图（1），现计划在河岸AB上建一个水泵站，向两村供水，用以解决村民生活用水问题．（保留作图痕迹） ①如果要求水泵站到甲、乙两村庄的距离相等，水泵站M应建在河岸AB上的何处？ ②如果要求建造水泵站，供水管道使用建材最省，水泵站N又应建在河岸AB上的何处？ （2）如图（2），作出△ABC关于直线l的对称图形． 提升3、类型三、造桥选址问题 1.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点．（保留作图痕迹） 2.如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（    ） A． B． C． D． 3.在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 （1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； （2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； （3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学八年级上暑假自学课专题训练 专题十六 最短路径（解析版） 一、专题导航 二、知识点梳理 （1） 类型一、 垂直线段最短问题 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。 典例剖析1 例1-1．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为( ) A. 5 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm 【答案】C 【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 如图，连接AD． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12，解得：AD=6（cm）． ∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）． 故选C． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 例1-2．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，CE+EF的最小值C'F的长． 解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F， ∴CE+EF=C'E+EF≥C'F， ∴CE+EF的最小值C'F的长， ∴CC'⊥BD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠C'BG=∠GBC， 在△C'BG和△CBG中， ， ∴△C'BG≌△CBG（ASA）， ∴BC=BC'， ∵AC=BC=8，∠ACB=120°， ∴∠ABC=30°，BC'=8， 在Rt△BFC'中，C'F=BC'•sin30°=8×=4， ∴CE+EF的最小值为4， 故选：B． 例1-3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，∠ABC的平分线交AC于点D，点E，F分别是BD、AB上的动点，则AE+EF的最小值为（　　） A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】作点A关于BD的对称点M，过M作MF⊥AB于F，交BD于E，则AE+EF的最小值是MF的长．由MF∥CA可得，进而可得答案． 解：作点A关于BD的对称点M， ∵BD平分∠ABC， ∴M落在BC上． ∴BM=BA=4， 过M作MF⊥AB于F，交BD于E， 则AE+EF的最小值是MF的长． ∵∠MFB=∠CAB=90°， ∴MF∥CA， ∴， 即，MF=2.4， ∴AE+EF=MF=2.4． 故选：B． （2） 类型二、两点之间线段最短问题 定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 典例剖析2 例2-1．如图，∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（　　） A. 40° B. 80° C. 100° D. 140° 【答案】C 【解析】如图，作P点关于OM、ON的对称点P1，P2，PP1与OM交点为C，PP2与ON交点为D，连接P1P2交OM、ON于A、B两点，则∠P1PA=∠P1，∠P2PB=∠P2，由题意知，当P1，A，B，P2四点共线时，△PAB的周长最小，由PP1⊥OM，PP2⊥ON，可知∠PCO=∠PDO=90°，∠P1PP2=360°-∠PCO-∠PDO-∠MON=140°，则∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°-∠P1PP2=40°，根据∠APB=∠P1PP2-（∠P1PA+∠P2PB），计算求解即可． 解：如图，作P点关于OM、ON的对称点P1，P2，PP1与OM交点为C，PP2与ON交点为D，连接P1P2交OM、ON于A、B两点，则∠P1PA=∠P1，∠P2PB=∠P2， 由题意知，当P1，A，B，P2四点共线时，△PAB的周长最小， ∵PP1⊥OM，PP2⊥ON， ∴∠PCO=∠PDO=90°， ∴∠P1PP2=360°-∠PCO-∠PDO-∠MON=140°， ∴∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°-∠P1PP2=40°， ∴∠APB=∠P1PP2-（∠P1PA+∠P2PB）=100°， 故选：C． 例2-2．如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】连接，当点，，在同一直线上时，的最小值为长，依据，即可得到最小值等于线段的长． 解：如图，连接， 由，，， 可得， ， ， 当点，，在同一直线上时， 的最小值为长， 此时，由，，， 可得， ， 最小值等于线段的长， 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称，最短路线问题，解题的关键是根据题意作出关于的对称点． 例2-3．如图，在△ABC中，点P在边BC上方，连接PB，PC，S△PBC=S△ABC=，当PB+PC取得最小值时，∠PBC的度数是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】由三角形面积关系得出AP与BC平行，AP与BC的距离为BC，作点B关于直线AP的对称点B'，连接B'C交AP于P′，则BB'⊥AP，P′B=P′B'，此时点P′到B、C两点距离之和最小，证明△BB'C是等腰直角三角形，即可得出答案． 解：如图，连接AP， ∵S△PBC=S△ABC==BC•BC， ∴AP∥BC平行，AP与BC的距离为BC， 作B点关于AP的对称点B'，连接B'C，交AP于P′点，连接P'B， 由对称性可知，B'P′=BP′， ∴PB+PC=B'P′+P′C=B'C，此时PB+PC最小， ∵BB'=BC， ∴△BCB'是等腰直角三角形， ∴∠B'CB=∠B'=45°， ∴∠B'BP′=45°， ∴∠P′BC=45°， ∴当PB+PC取得最小值时，∠PBC的度数是45°． 故选：B． 例2-4．如图，A，B两个村庄独自从河流l上安装了两条灌溉管道AD，BE，AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．某水务局准备为两村庄在河流l上重新安装一台大型的抽水设备灌溉农田．通过测量，确定在河流l的点P处安装抽水设备，则到两个村庄铺设的管道AP+BP的长度最短，此时测得∠PBE=30°，DE=150米，则AP+BP的最小值为（　　） A. 180米 B. 210米 C. 240米 D. 300米 【答案】D 【解析】延长AD到点F，使FD=AD，连接FP，则点F与点A关于直线l对称，所以FP=AP，则AP+BP=FP+BP，则AP+BP最短，可知FP+BP最短，则F、P、B三点在同一直线上，所以∠A=∠F=∠PBE=30°，则AP=2PD，BP=2PE，AP+BP=2DE=300米，于是得到问题的答案． 解：延长AD到点F，使FD=AD，连接FP， ∵AD⊥l, ∴点F与点A关于直线l对称， ∴FP=AP， ∴AP+BP=FP+BP， ∵AP+BP最短， ∴FP+BP最短， ∴F、P、B三点在同一直线上， ∵BE⊥l, ∴AD∥BE，∠ADP=∠BEP=90°， ∴∠A=∠F=∠PBE=30°， ∴AP=2PD，BP=2PE， ∴AP+BP=2（PD+PE）=2DE=2×150=300（米）， ∴AP+BP的最小值为300米， 故选：D． （3） 类型三、造桥选址问题 造桥选址问题 方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．A M N B 典例剖析3 例3-1．如图，∠AOB=90°，OC=2，D为OC中点，长为1的线段EF（点F在点E的下方）在直线OB上移动，连接DE，CF，则DE+CF的最小值为（　　） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】如图，作点D关于OB的对称点T，作TR∥OB，使得TR=EF，连接CR交OB于F，在FO的延长线上，取点E，使得EF=1，连接ET．DE，此时DE+CF的值最小． 解：如图，作点D关于OB的对称点T，作TR∥OB，使得TR=EF，连接CR交OB于F，在FO的延长线上，取点E，使得EF=1，连接ET．DE，此时DE+CF的值最小． ∵RT=EF=1，RT∥EF， ∴四边形TRFE是平行四边形， ∴ET=FR， ∵D，T关于OB对称， ∴ED=ET， ∴DE=RF， ∴DE+CF=RF+FC=RC，此时CR的值最小，最小值===， 故选：B． 例3-2．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（　　） A. （BM垂直于a） B. （AM不平行BN） C. （AN垂直于b） D. （AM平行BN） 【答案】D 【解析】过A作河的垂线AH，要使最短，MN⊥直线a,AI=MN，连接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可． 解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），只要AM+BN最短即可， 即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽． 连接IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求． 故选：D． 例3-3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE=，则CD+EF的最小值为（　　） A. - B. 3- C. 1+ D. 3 【答案】B 【解析】首先△ABC是含有30°角的直角三角形，因此可以得知各边的长分别为AB=4，AC=2．因为D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，求CD+EF的最小值，就是需要转换成同一直线上求解，即求C关于AB的对称点C1，作C1C2∥AB．构建平行四边形C1DEC2，作C2F⊥AC于F，交AB于E．利用平行四边形和对称图形的性质，找出线段之间的关系． 解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2∥AB，且C1C2=，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值， ∵CC2∥DE，CC2=DE， ∴四边形C1DEC2是平行四边形， ∴C1D=C2E， 又∵C、C1关于AB对称， ∴CD=C1D， ∴CD+EF=C2F， ∵∠A=30°，∠ACB=90°， ∴AC=BC=2， ∴CN=，AN=3， 过C2作C2M⊥AB，则C2M=C1N=CN=， ∴C2M∥C1N，C1C2∥MN， ∴MN=C1C2=， ∵∠MEC2=∠AEF，∠AFE=∠C2ME=90°， ∴∠MC2E=∠A=30°， 在Rt△C2ME中，ME=1，C2M=，C2E=2， ∴AE=AN-MN-ME=3--1=2-， ∴EF=1-， ∴C2F=2+1-=3-． 故选：B． 3、 变式训练 变式1、 垂直线段最短问题 1．如图，等边△ABC，边长为8，点D为边BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，当△ADE周长最小时，CE的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】由等边三角形的性质得C△ADE=3AD，当△ADE周长最小时，AD⊥BC时，AD最小，利用全等三角形的判定边角边得△ABD和△ACE全等，即得CE的长度． 解： ∵△ADE是等边三角形， ∴AD=DE=AE， ∴C△ADE=3AD， 当△ADE周长最小时， 即AD最小， 当AD⊥BC时，AD最小， 此时，BD=AB•sin30°=4， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠1+∠2=60°， 又∵∠2+∠3=60°， ∴∠1=∠3， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE=4， 故选：C． 2．如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15°，OB=6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】作AH⊥OB于H．交OC于P，作PQ⊥OA于Q，可得PA+PQ=PA+PH=AH，根据垂线段最短，PA+PQ最小值为AH， 解：作AH⊥OB于H，交OC于P，作PQ⊥OA于Q， ∵∠OAB=∠AOB=15°， ∴PH=PQ， ∴PA+PQ=PA+PH=AH， ∴PA+PQ的最小值为AH， 在Rt△ABH中，∵OB=AB=6，∠ABH=30°， ∴AH=AB=3， ∴PA+PQ的最小值为3， 故选：C． 3．如图，在△ABC中，AB＝BC，AC＝2cm，，边BC的垂直平分线为l，点D是边AC的中点，点P是l上的动点，则△PCD的周长的最小值是______． 【答案】4 【解析】连接BD，由于AB=BC，点D是AC边的中点，故BD⊥AC，再根据三角形的面积公式求出BD的长，再根据直线l是线段BC的垂直平分线可知，点C关于直线l的对称点为点B，故BD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论． 解：连接BD， ∵AB=BC，点D是BC边的中点， ∴BD⊥AC， ∴S△ABC=AC•BD=×2×BD=3， 解得BD=3， ∵直线l是线段BC的垂直平分线， ∴点C关于直线l的对称点为点B， ∴AB的长为CP+PD的最小值， ∴△CDP的周长最短=（CP+PD）+CD=BD+AC=3+1=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 变式2、两点之间线段最短问题 1．现需要在某条街道l上修建一个核酸检测点P，向居住在A，B小区的居民提供核酸检测服务，要使P到A，B的距离之和最短，则核酸检测点P符合题意的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】作A点关于直线l的对称点，连接对称点和点B交l于点P，进而根据轴对称性质解答即可． 解：作A点关于直线l的对称点，连接对称点和点B交l于点P，P即为所求． 故选：A． 2．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3.5cm,点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2cm,在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】C 【解析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+EQ=PE+EQ′=PQ′． 解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴BA=BC， ∵BD⊥AC， ∴AD=DC=3.5cm, 作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+EQ=PE+EQ′=PQ′， ∵AQ=2cm,AD=DC=3.5cm, ∴QD=DQ′=1.5（cm）， ∴CQ′=BP=2（cm）， ∴AP=AQ′=5（cm）， ∵∠A=60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′=PA=5（cm）， ∴PE+QE的最小值为5cm. 故选：C． 3．如图，在锐角△ABC中，∠ACB=50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】D 【解析】根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF=180°，由∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，继而求得答案． 解：作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN．此时△PMN的周长最小． ∵PD⊥AC，PG⊥BC， ∴∠PEC=∠PFC=90°， ∴∠C+∠EPF=180°， ∵∠C=50°， ∴∠EPF=130°， ∵∠D+∠G+∠EPF=180°， ∴∠D+∠G=50°， 由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM， ∴∠GPN+∠DPM=50°， ∴∠MPN=130°-50°=80°， 故选：D． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为_____． 【答案】 【解析】以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解． 解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F， ∵点A的坐标为（0，6）， ∴OA＝6， ∵点P为OA的中点， ∴AP＝3， ∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP， ∴AF＝PF＝，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAP， 在△ABE和△ACP中， ∴△ABE≌△ACP（SAS）， ∴BE＝PC， ∴当BE有最小值时，PC有最小值， 即BE⊥x轴时，BE有最小值， ∴BE的最小值为OF＝OP＋PF＝3＋＝， ∴PC的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 变式3、类型三、造桥选址问题 1．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为 _____． 【答案】3 【解析】解法一：利用已知可以得出GC，EF长度不变，求出GE+CF最小时即可得出四边形CGEF周长的最小值，利用轴对称得出E，F位置，即可求出． 解法二：设AE=x,则BF=3-x,根据勾股定理可得：EG+CF=+，由勾股定理构建另一矩形EFGH，根据线段的性质：两点之间线段最短可得结论． 解：解法一：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小， ∵CH=EF=1，CH∥EF， ∴四边形EFCH是平行四边形， ∴EH=CF， ∴G'H=EG'+EH=EG+CF， ∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点， ∴DG'=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3， 由勾股定理得：HG'==3， 即GE+CF的最小值为3． 解法二：∵AG=AD=1， 设AE=x,则BF=AB-EF-AE=4-x-1=3-x, 由勾股定理得：EG+CF=+， 如图，矩形EFGH中，EH=3，GH=2，GQ=1， P为FG上一动点，设PG=x,则FP=3-x, ∴EP+PQ=+， 当E，P，Q三点共线时，EP+PQ最小，最小值是3， 即EG+CF的最小值是3． 故答案为：3． 2．如图所示，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E是AD的中点，点F是AB上任意一点，沿着EF翻折，点A落在点G处，点H是CD上任意一点，连接HG和HB，则HG+HB的最小值为 _____． 【答案】8 【解析】作点B关于CD的对称点B'，连接B'G，交CD于点H．则HB=HB'，则HG+HB=HG+HB'，其最小值为B'G的长，点G在以点E为圆心，2为半径的圆周上运动，所以EG+GB'的最小值为EB'，因此B'G的最小值为：B'E-2． 解：作点B关于CD的对称点B'，连接B'G，交CD于点H． 则HB=HB'， 则HG+HB=HG+HB'，其最小值为B'G的长． ∵AD=4，点E是AD的中点， ∴AE=DE=GE=2， ∴点G在以点E为圆心，2为半径的圆周上运动， ∵EG+GB'≥EB'， ∴EG+GB'的最小值为EB'， ∵EG=2， ∴B'G的最小值为：B'E-2． 在RtΔB'ME中， EM=2+4=6，B'M=8， B'E==10． ∴B'G的最小值为：B'E-2=10-2=8． 即HG+HB最小值为8． 故答案为：8． 3．如图，∠MON=15°，四边形ABCD的顶点A在∠MON的内部，B，C两点在OM上（C在B，O之间），且BC=1，点D在ON上，若当CD⊥OM时，四边形ABCD的周长最小，则此时AD的长度是_____． 【答案】2 【解析】根据最短问题解决的方法，分别作A关于OM，ON的对称点，提供连接对称点，列出四边形周长公式，根据已知条件，要使得四边形ABCD的周长最短，只需要四点共线，然后解直角三角形求出AD即可． 解：如图1中，分别作点A关于直线OM，ON的对称点A1，A2，连接BA1，DA2，过点A1作A1A3⊥CD于A3， 由图可知：AQ=A1Q=A3C，AB＞AQ，当A，B，A1共线时，AB最短，此时A3C=AB， ∵四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=A3C+CD+DA2+BC=A3C+CD+DA2+1， ∴当A3，C，D，A2共线时，四边形ABCD的周长最短（如图2中），作AH⊥CD于H． ∵∠MON=15°，CD⊥OM， ∴∠ODC=90°-15°=75°， ∴∠FDA2=∠ODC=∠ADF=75°， ∴∠ADH=180°-75°-75°=30°， 在Rt△ADH中，AD===2． 故答案为2． 4、 能力提升 提升1、 垂直线段最短问题 1．如图，BD是△ABC的角平分线，E和F分别是AB和BD上的动点，已知△ABC的面积是12cm2，BC的长是8cm,则AF+EF的最小值是 _____cm. 【答案】3 【解析】作E关于BD的对称点G，连接FG，过点A作AH⊥BC于H，将AF+EF转化AF+FG，由点到直线垂线段最短的AF+FG最小值为AH的长，由△ABC的面积是12cm2，BC的长是8cm,求出AH即可． 解：作E关于BD的对称点G，连接FG，过点A作AH⊥BC于H， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴G必在BC上， ∵E、G关于BD对称， ∴EF=FG， ∴AF+EF=AF+FG， ∵点F在垂线段AH上最短， ∴AF+FG最小值为AH的长， ∵△ABC的面积是12cm2，BC的长是8cm, ∴×BC•AH=12， ∴AH=3cm, ∴AF+EF的最小值是3cm, 故答案为：3． 2．如图，锐角△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，M、N分别是BD、BC线段上运动的点，S△ABC=8，AB=4，则MN+MC的最小值是=_____． 【答案】4 【解析】作N点关于BD的对称点N'，连接CN'，过C作CE⊥AB交于点E，则N'必在AB上，NM+CM=MN'+CN=CN'≥CE，由S△ABC=8，AB=4，可求EC=4，即MN+MC的最小值是4． 解：作N点关于BD的对称点N'，连接CN'，过C作CE⊥AB交于点E， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴N'必在AB上， ∴NM+CM=MN'+CN=CN'≥CE， ∴当CN'=CE时，MN+MC的值最小， ∵S△ABC=8，AB=4， ∴EC=4， ∴MN+MC的最小值是4， 故答案为4． 3．如图，在Rt△ABC中，AB=6，∠BAC=30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是_____． 【答案】3 【解析】作BH⊥AC交AD于点E，作EF⊥AB于F，根据角平分线的性质可得EH=EF，即可求得BE+EF=BH，根据H是与B点的距离最短的点，即为BH最短即可解题． 解：作BH⊥AC交AD于点E，作EF⊥AB于F， ∵AD平分∠BAC，EH⊥AC，EF⊥AB， ∴EF=EH， ∴BE+EF=BE+EH=BH， ∵H是与B点的距离最短的点，即为BH最短， ∴BE+EF最短为BH， ∵AB=6，∠BAC=30°， ∴BH=AB=3， 故答案为 3． 提升2、两点之间线段最短问题 1．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD=1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为 _____． 【答案】5 【解析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′． 解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴BA=BC， ∵BD⊥AC，AQ=2，QD=1.5， ∴AD=DC=AQ+QD=3.5， 作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE=PE+EQ′=PQ′， ∵AQ=2，AD=DC=3.5， ∴QD=DQ′=1.5， ∴CQ′=BP=2， ∴AP=AQ′=5， ∵∠A=60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′=PA=5， ∴PE+QE的最小值为5． 故答案为：5． 2．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是 _____． 【答案】4 【解析】根据线段的垂直平分线的性质可得BE=EC，根据两点之间线段最短即可求解． 解：如图，连接BP， ∵EF是BC的垂直平分线， ∴BP=CP， 根据两点之间线段最短， ∴PA+PB=PA+PC=AC， ∴PA+PB的最小值即为AC的长为4． ∴PA+PB的最小值为4． 故答案为：4． 3．如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC=5km,B厂距离河边BD=1km,经测量CD=8km,现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E． （1）设ED=x,请用x的代数式表示AE+BE的长； （2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？ （3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？ 【解析】（1）依据ED=x,AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用x表示出AE+BE的长； （2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的长； （3）根据AE+BE=可作出图形，当A、E、B共线时，利用勾股定理求出AB的值即可． 解：（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE=，BE=， ∴AE+BE=+， （2）根据两点之间线段最短可知，连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．   过点B作BF⊥AC于F，则有BF=CD=8，BD=CF=1． ∴AF=AC+CF=6． 在Rt△ABF中，BA=， ∴此时最少需要管道10km.  （3）根据以上推理，可作出下图，设ED=x,BD=3，CD=15，AC=5，当A、E、B共线时，求出AB的值即为原式的最小值． 在Rt△ABF中，AF=8，BF=CD=15， 由勾股定理可得：AB=， ∴的最小值为17． 4．（1）小河的同旁有甲、乙两个村庄如图（1），现计划在河岸AB上建一个水泵站，向两村供水，用以解决村民生活用水问题．（保留作图痕迹） ①如果要求水泵站到甲、乙两村庄的距离相等，水泵站M应建在河岸AB上的何处？ ②如果要求建造水泵站，供水管道使用建材最省，水泵站N又应建在河岸AB上的何处？ （2）如图（2），作出△ABC关于直线l的对称图形． 【解析】（1）①利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． ②利用轴对称解决最短问题即可． （2）分别作出A，B，C关于直线l的对称点A′，B′，C′即可． 解：（1）①如图（1）中，点E即为所求． ②如图（1）-1中，点E即为所求． （2）如图（2）中，△A′B′C′即为所求． 提升3、类型三、造桥选址问题 1.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点．（保留作图痕迹） 【解析】根据两点间线段最短可知作点A关于直线a对称的点C，连接BC交a于点P，则点P就是抽水站的位置． 解：作点A关于直线a对称的点C，连接BC交a于点P，则点P就是抽水站的位置． 2.如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，根据平行线的判定与性质，易证得此时PM+NQ最短. 【详解】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 3.在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 （1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； （2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； （3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 【答案】(1）见解析； (2) 4； (3) 4 【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE； （2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度； （3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解． （1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=4，BC=AD=8， ∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点， ∴BQ=CQ=4，CE=2， ∴AB=CQ， ∵PQ=2， ∴BP=2， ∴BP=CE， 又∵∠B=∠C=90°， ∴△ABP≌△QCE（SAS）， ∴AP=QE； （2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点． ∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°， ∴∠GEH=45°， ∴∠CEQ=45°， 设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x， 在△CQE中， ∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°， ∴CQ=EC， ∴6-x=2， 解得x=4， ∴BP=4； （3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T， ∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH， ∴PF=8，PH=8， ∴PF=PH， 又∵∠FPH=90°， ∴∠F=∠H=45°， ∵PF⊥AD，CD⊥QH， ∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°， ∴FT=TM=4，CN=CH=3， ∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7． 【点拨】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$