精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

2023-2024下学期高二月考数学试卷 总分：150分 时间；120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A B. C. D. 2. 某校素质运动会上，个男生的引体向上个数依次为，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 与相交 4. 如图，在正三棱锥P-ABC中，，PA=PB=PC=4，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（ ） A. B. C. D. 5. 数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为(　　) A. B. C. D. 6. 抛物线有一个重要性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点且平行于轴的一条光线射向抛物线：上的点，经过反射后的反射光线与相交于点，则（ ） A. B. 24 C. 32 D. 7. 记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，，若函数至少有6个零点，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 已知满足，则（ ） A B. 复平面内对应的点在第一象限 C. D. 的实部与虚部之积为 10. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是的图像的对称中心 B. 若恒成立，则的最小值为2 C. 若在上单调递增，则 D. 若在上恰有2个零点，则 11. 已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为_________． 13. 已知数列的各项都为正数，定义：为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，则该数列中的________. 14. 在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且. （1）求的值； （2）求 的值. 16. 如图，在三棱锥中，顶点在底面上的射影在棱上，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 某校模仿《中国诗词大会》节目举办学校诗词大会，进入正赛的条件：电脑随机抽取10首古诗，参赛者需背完且能够正确背诵8首及以上的进入正赛.若学生甲参赛，他背诵每一首古诗的正确的概率均为. （1）求甲进入正赛的概率；（取，结果取两位有效数字） （2）若进入正赛，则采用积分淘汰制，规则：电脑随机抽取4首古诗，每首古诗背诵正确加2分，错误减1分由于难度增加：甲背诵每首古诗正确的概率为，求甲在正赛中积分X的概率分布列及数学期望. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）讨论极值点的个数. 19. 给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上. （1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程； （2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“卫星圆”于点、，证明：弦长为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024下学期高二月考数学试卷 总分：150分 时间；120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：D 2. 某校素质运动会上，个男生的引体向上个数依次为，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、中位数和众数的定义分别求得即可. 【详解】该组数据的平均数； 将引体向上的个数按照从小到大顺序排列为：， 则中位数； 该组数据的众数；. 故选：A. 3. 设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 与相交 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例可判定ABD，利用线面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定C. 【详解】选项A：当满足时，可能相交，如图：用四边形代表平面 ，用四边形代表平面，故A错误； 选项B：当满足时，可能相交，如图：用四边形代表平面 ，用四边形代表平面，故B错误； 选项C：因为，又，所以， 故是的一个充分条件，故C正确； 当满足与相交时，可能相交，如图：用四边形代表平面 ，用四边形代表平面，故D错误； 故选：C. 4. 如图，在正三棱锥P-ABC中，，PA=PB=PC=4，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将三棱锥的侧面展开，则所求最短距离可转化为求AA1的长度，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】 将三棱锥由PA展开，则∠APA1=90°，所求最短距离为求AA1的长度 ∵PA=4， ∴由勾股定理可得AA1=． 虫子爬行的最短距离． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是多面体和旋转体表面上的最短距离问题，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点间距离问题，是解答本题的关键． 5. 数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】,前10项和,故选B. 6. 抛物线有一个重要性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点且平行于轴的一条光线射向抛物线：上的点，经过反射后的反射光线与相交于点，则（ ） A. B. 24 C. 32 D. 【答案】D 【解析】 【分析】易得点A和C的焦点坐标，从而达到直线AB的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用抛物线的定义求解. 【详解】解：由题意得点A的坐标为，C的焦点为， 所以直线AB的方程为， 与抛物线方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 所以， 所以由抛物线的定义得． 故选：D 7. 记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角的大小，再由余弦定理及基本不等式可得的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值． 【详解】因为，可得， 即， 整理可得， 即， 在三角形中，， 即，,可得； 由余弦定理可得，当且仅当时取等号， 而， 所以， 所以． 即该三角形的面积的最大值为． 故选：A． 8. 已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，，若函数至少有6个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数的根转化为两个新函数图像的焦点问题，再对对数函数的进行分类讨论即可. 【详解】由知是周期为2的周期函数， 函数至少有6个零点等价于函数 与的图象至少有6个交点， ①当时,画出函数与的图象如下图所示, 根据图象可得,即. ②当时,画出函数与的图象如下图所示, 根据图象可得,即 . 综上所述,的取值范围是. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知满足，则（ ） A B. 复平面内对应的点在第一象限 C. D. 的实部与虚部之积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数代数形式的运算法则进行运算，求出复数，逐一判断各选项是否正确. 【详解】设， 则由已知得，即， 所以解得 所以，则，故A项正确，B项错误； ，的实部为，虚部为1， 所以的实部与虚部之积为，故C，D项正确. 故选：ACD 10. 已知函数（），则下列说法正确是（ ） A. 若，则是的图像的对称中心 B. 若恒成立，则的最小值为2 C. 若在上单调递增，则 D. 若在上恰有2个零点，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象和性质对各选项逐一判断即可. 【详解】选项A：若，则， 由正弦函数的图象可知是的图像的对称中心，A说法正确； 选项B：若恒成立，则，解得， 又，所以的最小值为2，B说法正确； 选项C：令，显然在上单调递增，且， 若上单调递增，则，解得，所以，C说法正确； 选项D：当时，， 若在上恰有2个零点，则，解得，D说法错误； 故选：ABC 11. 已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件构造函数，求导后判断函数的单调性，再根据的单调性比较与，与的大小，化简后可得答案. 【详解】令，则， 因为对于恒成立，所以， 所以在上递减，所以， 所以，，， 所以，，. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，解题的关键是根据题意构造函数，然后利用导数判断其单调性，考查数学转化思想，属于中档题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为_________． 【答案】15 【解析】 【分析】利用的通项公式，即可求出结果. 【详解】因为的展开式的通项公为， 由，得到，所以的系数为， 故答案为：. 13. 已知数列的各项都为正数，定义：为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，则该数列中的________. 【答案】##2.1 【解析】 【分析】根据定义“匀称值”计算可得，进而当时列出，两式相减即可得出结果. 【详解】因为各项均为正数的数列的“匀称值”为， 所以①， 所以时，②， ①②得，所以， 所以. 故答案为：. 14. 在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立如图平面直角坐标系，根据向量的坐标运算可得，当直线与直线相交时最大，即可求解. 【详解】以A原点，以所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系， 由，得， 设， 因为， 所以，得， 所以，又直线的方程为， 由，解得，此时最大， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且. （1）求的值； （2）求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和倍角公式可求； （2）由（1）知.根据平方关系式求出，根据倍角公式求出，最后根据两角差的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 在中，，由正弦定理得， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，又，所以， 所以，， 所以. 16. 如图，在三棱锥中，顶点在底面上的射影在棱上，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）． 【解析】 【分析】（1）只需证明及，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式求解； 【详解】解：（1）∵顶点在底面上的射影在棱上，即平面，又平面 ∴平面平面， ∵，∴， ∵平面平面，平面， ∴平面，面，∴， 由，，得，∴， ∵，平面，平面， ∴平面． （2）连结，分别以、、为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，，，. 设为平面的一个法向量，则， 取，得，.. ，， 设平面的法向量，则， 取，则， 设二面角的平面角为，则．. ∴二面角的余弦值为． 【点睛】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量解决立体几何问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题． 17. 某校模仿《中国诗词大会》节目举办学校诗词大会，进入正赛的条件：电脑随机抽取10首古诗，参赛者需背完且能够正确背诵8首及以上的进入正赛.若学生甲参赛，他背诵每一首古诗的正确的概率均为. （1）求甲进入正赛的概率；（取，结果取两位有效数字） （2）若进入正赛，则采用积分淘汰制，规则：电脑随机抽取4首古诗，每首古诗背诵正确加2分，错误减1分由于难度增加：甲背诵每首古诗正确的概率为，求甲在正赛中积分X的概率分布列及数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）若甲进入正赛，即甲答对的题目数为8，9或者10道，分别根据二项分布的相关公式计算概率相加即可； （2）列出正赛中的所有可能的取值，分别计算概率，列出分布列计算期望即可． 【详解】（1）设甲进入正赛的概率为， ， 甲进入正赛的概率为； （2）甲的积分的可能取值为分，分，分，分，分， 则， ， ， 所以的概率分布列为 8 5 2 P 所以， 甲在正赛中积分的数学期望为2. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，考查分析和解决问题的能力，是中档题． 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）讨论极值点的个数. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点个数. 【小问1详解】 当时，定义域为， 又， 所以， 由，解得，此时单调递增； 由，解得，此时单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 函数的定义域为， 由题意知，， 当时，，所以在上单调递增， 即极值点的个数为个； 当时，易知， 故解关于的方程得，，， 所以， 又，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 即极值点的个数为个. 综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个. 19. 给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上. （1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程； （2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“卫星圆”于点、，证明：弦长为定值. 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）本题可根据题意得出以及，然后通过计算得出、的值以及椭圆方程，最后根据即可求出卫星圆的方程； （2）本题可先讨论、中有一条无斜率的情况，通过求出与的方程即可求出的值，然后讨论、都有斜率的情况，设点以及经过点且与椭圆只有一个公共点的直线为，再然后通过联立方程以及韦达定理的应用得出满足条件的两直线、垂直，判断出此时线段应为“卫星圆”的直径以及的值，最后综合两种情况即可得出结果. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，点在上， 所以，解得，，椭圆方程为， 因为，圆心为原点， 所以卫星圆的方程为. （2）①当、中有一条无斜率时，不妨设无斜率， 因为与椭圆只有一个公共点，所以其方程为或， 当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和， 此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是或， 即为或，此时，线段应为“卫星圆”的直径，， ②当、都有斜率时，设点，其中， 设经过点与椭圆只有一个公共点直线为， 联立方程， 消去得到， 则， ，满足条件的两直线、垂直， 此时线段应为“卫星圆”的直径，， 综合①②可知，为定值，. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法以及圆的方程的求法，考查椭圆、直线以及圆相交的综合问题的求解，考查韦达定理以及判别式的灵活应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$