精品解析：河南省周口市太康县第一高级中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

2023-2024学年太康一高高一下学期6月月数学考试题 一、单选题 1. 已知复数，且，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，分别是角，，对边的长，根据下列条件解三角形，有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知点在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为 A. B. C. D. 4. 猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，M，N分别为C1D1和CC1的中点，则异面直线AM与BN所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 湖北武汉的黄鹤楼是中国古代四大名楼之一，因唐代诗人崔颢的《黄鹤楼》而名扬天下，小张同学打算利用镜面反射法测量黄鹤楼的高度.如图所示，小张将平面镜置于黄鹤楼前的水平地面上，他后退至从镜中正好能看到楼顶的位置，测量出人与镜子的距离.沿直线将镜子向后移距离，再次从镜中观测楼顶，并测量出此时人与镜子的距离.若小张的眼睛距离地面的高度为，则黄鹤楼的高度可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 已知P为棱长为的正四面体各面所围成的区域内部（不在表面上）一动点，记P到面，面，面，面的距离分别为，，，，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题 9. 经营场所可泛指公司、企业的一切经营所使用的场所．中国商业联合会发布的2023年3月至2024年3月中国零售业经营场所增减指数的折线图如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 极差为 B. 众数为 C. 中位数为 D. 第30百分位数为 10. 下列说法中不正确的是（ ） A. 若，则，且四点构成平行四边形 B. 若为非零实数，且，则与共线 C. 在中，若有，那么点一定在角A的平分线所在直线上 D. 若向量，则与的方向相同或相反 11. 如图1，在直角梯形ABCD中，，，点E，F分别为边AB，CD上的点，且.将四边形AEFD沿EF折起，如图2，使得平面平面EBCF，点是四边形AEFD内的动点，且直线MB与平面AEFD所成的角和直线MC与平面AEFD所成的角相等，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点的轨迹长度为 C. 点到平面EBCF的最大距离为 D. 当点到平面EBCF的距离最大时，三棱锥外接球的表面积为 三、填空题 12. 某校有高一学生名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多人，则_______． 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为的面积，则的最大值为______． 14. 已知菱形的边长为2，，点是边上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于________；延长线段至点，使得，若点在线段上，则的最小值为________． 四、解答题 15. 已知．且，函数的最小正周期为． （1）求函数的解析式与单调递增区间； （2）在锐角中，内角的对边分别是，点在上，且平分，求的周长． 16. 如图，，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若，点在圆上，. （1）求证：平面； （2）若，，求三棱锥的体积. 17. 为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数； （2）用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； （3）学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 18. 如图，在中，为钝角，，，．过点作的垂线，交于点，为延长线上一点，连接，若． （1）求边的长； （2）证明：； （3）设，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知边长为6的菱形，，把沿着翻折至的位置，构成三棱锥，且，，. （1）证明：； （2）求二面角的大小； （3）求与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年太康一高高一下学期6月月数学考试题 一、单选题 1. 已知复数，且，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘方化简，再根据复数相等的充要条件得到、，即可得解. 【详解】，， 又，所以，则， . 故选：D. 2. 在中，，，分别是角，，对边的长，根据下列条件解三角形，有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理得到的值，根据角度范围得到解的个数，得到答案. 【详解】根据正弦定理：，，，，有一解，A不满足； ，，，有一解，B不满足； ，，，有一解，C不满足； ，，，有两解，D满足. 故选：D. 3. 已知点在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用补体法把三棱锥补成一个长方体，原三棱锥的外接球就是长方体的外接球，故可求外接球的直径，从而求得球的表面积． 【详解】把三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是原三棱锥的外接球，它的直径为，故球的表面积为，故选B． 【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定． 4. 猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用古典概率、互斥事件和相互独立事件的概率公式，即可求出结果. 【详解】记事件：甲独自获胜， 因为每人随机选一个球（不放回），用表示甲、乙、丙选到谁写的灯谜，有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙）， （乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，甲，乙），共有6种选法， 又因为每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜， 当甲选到自己写的灯谜，乙、丙选到对方写的灯谜时，甲独自获胜的概率为， 当甲选到乙写的灯谜，乙选到丙写的灯谜，丙选到甲写的灯谜时，甲独自获胜的概率为， 当甲选到丙写的灯谜，乙选到甲写的灯谜，丙选到乙写的灯谜时，甲独自获胜的概率为， 所以， 故选：C. 5. 已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，确定的形状，再利用投影向量的意义求解作答 【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量， 由，可得的角平分线与垂直， 所以为等腰三角形，且， 又，得，所以， 又，所以, 所以为等边三角形， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：B. 6. 如图，在正方体中，M，N分别为C1D1和CC1的中点，则异面直线AM与BN所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别为的中点，或其补角为AM与BN所成的角，设正方体的边长为，余弦定理求解即可. 【详解】取AB的中点，的中点，连接， 又M，N分别为和的中点，正方体中，，， 四边形为平行四边形，有， 同理有，则或其补角为AM与BN所成的角， 连接EF，设正方体的边长为，则， ，， 所以， 即异面直线AM与BN所成角的余弦值为. 故选：A． 7. 湖北武汉的黄鹤楼是中国古代四大名楼之一，因唐代诗人崔颢的《黄鹤楼》而名扬天下，小张同学打算利用镜面反射法测量黄鹤楼的高度.如图所示，小张将平面镜置于黄鹤楼前的水平地面上，他后退至从镜中正好能看到楼顶的位置，测量出人与镜子的距离.沿直线将镜子向后移距离，再次从镜中观测楼顶，并测量出此时人与镜子的距离.若小张的眼睛距离地面的高度为，则黄鹤楼的高度可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意由三角形相似解出，再由图形，解出即可. 【详解】 如图，由知：，即， 由可知，即， 则，可得. 故选：A. 8. 已知P为棱长为的正四面体各面所围成的区域内部（不在表面上）一动点，记P到面，面，面，面的距离分别为，，，，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等体积法求得为定值2，则有，利用基本不等式求的最小值. 【详解】正四面体棱长为，为的中心，则底面， 为边中点，则在上，如图所示， 则有，平面，， ，， ，即正四面体的高， P为正四面体各面所围成的区域内部，连接， 可得到4个小四面体， 设正四面体各面的面积为，则有， 得， 由，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为. 故选：B 二、多选题 9. 经营场所可泛指公司、企业的一切经营所使用的场所．中国商业联合会发布的2023年3月至2024年3月中国零售业经营场所增减指数的折线图如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 极差为 B. 众数为 C. 中位数为 D. 第30百分位数为 【答案】AC 【解析】 【分析】将样本数据从小到大排列，即可逐项判断选项. 【详解】将样本数据从小到大排列，为，，，，，，，，，，，，． 选项A：极差为，故A正确． 选项B：数据，，均出现了2次，故众数为，，，故B错误． 选项C：中位数为，故C正确． 选项D：因为，所以第30百分位数为，故D错误． 故选：AC 10. 下列说法中不正确的是（ ） A. 若，则，且四点构成平行四边形 B. 若为非零实数，且，则与共线 C. 在中，若有，那么点一定在角A的平分线所在直线上 D. 若向量，则与的方向相同或相反 【答案】AD 【解析】 【分析】根据四点共线即可判断A，根据共线定理即可求解B，根据单位向量的定义以及向量加法的运算法则，即可由角平分线求解C，根据零向量即可求解D. 【详解】对于A，线段上，为线段的三等分点，满足，且， 但四点不能构成平行四边形，A错误； 对于B，因为为非零实数，且，所以，所以与共线，B正确； 对于C，因为、分别表示向量、方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合，又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在角A的平分线所在直线上，C正确； 对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，D错误. 故选：AD 11. 如图1，在直角梯形ABCD中，，，点E，F分别为边AB，CD上的点，且.将四边形AEFD沿EF折起，如图2，使得平面平面EBCF，点是四边形AEFD内的动点，且直线MB与平面AEFD所成的角和直线MC与平面AEFD所成的角相等，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点的轨迹长度为 C. 点到平面EBCF的最大距离为 D. 当点到平面EBCF的距离最大时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由面面垂直的性质定理即可判断A，建立平面直角坐标系得到点的轨迹方程即可判断B，由锥体的体积公式即可判断C，列出方程求得外接球的半径即可判断D 【详解】 如图，连接CE，EM.因为平面平面EBCF，平面平面平面AEFD，又，所以平面EBCF. 所以CE为CA在平面EBCF内的射影.易得为等边三角形，显然CE不垂直于BF，所以AC不可能垂直于，故A错误. 易知，所以平面AEFD，所以为直线MB与平面AEFD所成的角.同理为直线MC与平面AEFD所成的角.所以，所以，所以.因为，所以. 在平面AEFD内，以为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系，则，设，则有，化简得，即点在平面AEFD内的轨迹方程为，所以点在平面AEFD内的轨迹为以为圆心， 2为半径的圆.易得点在四边形AEFD内的轨迹为该圆的一段弧，弧所对的圆心角为，所以弧长为，B正确. 要使三棱锥的体积最大，只要点的纵坐标的绝对值最大即可.令0， 则，又，所以，此时到平面EBCF的最大距离为， C正确. 三棱锥外接球的球心在过的外接圆圆心且垂直于平面BCF的直线上. 在三棱锥中，设点为等边外接圆的圆心，设三棱锥外接球的球心为，半径为，设，则有， 解得，所以，所以三棱锥外接球的表面积. 故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了立体几何中的垂直证明以及球的外接问题，难度较大，解答本题的关键在于求得外接球的半径. 三、填空题 12. 某校有高一学生名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多人，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，解之即得解. 【详解】依题意可得，解得. 故答案为1320 【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为的面积，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】应用正弦定理边角关系、和角正弦公式可得，根据三角形性质有，再应用余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式求目标式的最大值，注意取最大值的条件. 【详解】由题设及正弦定理边角关系，， 即，而，故， 又，则，故， 而，， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 14. 已知菱形的边长为2，，点是边上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于________；延长线段至点，使得，若点在线段上，则的最小值为________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据投影向量的定义及数量关系得到为的中点，求出；再建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，，表达出，求出最小值. 【详解】过点作⊥于点， 因为，故，故为的中点， 故， 以中点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， ，，设， 因为，所以， 解得， 故，， 设，， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：1， 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 四、解答题 15. 已知．且，函数的最小正周期为． （1）求函数的解析式与单调递增区间； （2）在锐角中，内角的对边分别是，点在上，且平分，求的周长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积运算以及三角恒等变换化简得的表达式，再利用三角函数的单调性可求得结果； （2）由结合（1）可求得，利用角平分线得以及余弦定理，可求得的即可. 【小问1详解】 由题可得， 因为，所以， 即， 所以， 因为的周期为， 故， 所以. 由， 故单调递增区间为：； 【小问2详解】 因为且为三角形内角， 即， 故或， 又因为三角形为锐角三角形， 故， 因为，如图所示. 所以， 即， 由余弦定理可得， 即， 代入， 可得， 解得或（舍去）， 故的周长为． 16. 如图，，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若，点在圆上，. （1）求证：平面； （2）若，，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据线面垂直的性质可得，从而可证得平面，进而可证得，再证明，根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）根据棱锥的体积公式计算即可. 【小问1详解】 连接，则圆所在平面，而在圆所在平面内， ∴， 又，，，平面， ∴平面，又平面，∴， 由，且可得， 又，∴， ∴为的中点，且， 又，，平面， ∴平面； 【小问2详解】 由题意得，，， 由可得，， ∴，， 点到底面的距离等于点到底面距离的一半，即为， ∴三棱锥的体积. 17. 为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数； （2）用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； （3）学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 【答案】（1）分 （2） （3） 甲最终获胜的可能性大. 理由如下：由题意，甲至少得1分的概率是， 可得，其中，解得， 则甲的2分或3分的概率为：， 所以乙得分为2分或3分的概率为， 因为，所以甲最终获胜的可能性更大. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解； （2）根据分层抽样的分法，得到从抽取人，即为，从中抽取人，即为，利用列举法求得基本事件的总数和所有事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （3）根据题意求得，分别求得甲乙得到2分和3分的概率，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 分. 【小问2详解】 解：由频率分布直方图，可得的频率为，的频率为， 所以用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生， 可得从抽取人，即为，从中抽取人，即为， 从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有 ，共有12个基本事件； 其中第二个交流分享的学生成绩在区间的有：，共有3个， 所以概率为. 【小问3详解】 略 18. 如图，在中，为钝角，，，．过点作的垂线，交于点，为延长线上一点，连接，若． （1）求边的长； （2）证明：； （3）设，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 由题意， 根据勾股定理：， 所以，，， 从而． 在和中， 由正弦定理得, 两式相除得， 因为， 所以 又， 所以，即 （3） 在和中， 由正弦定理得， 两式相除得， 由（2）可知， 所以， 若， 则 故存在实数， 使得． 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理可得，求解即可； （2）由正弦定理得,两式相除结合，可得； （3）由正弦定理得，结合（2）可得，由，可求值. 【小问1详解】 由题意，为锐角，． 在中，设角的对边分别为， 由余弦定理可得， 即， 解得或． 因为为钝角，取．即的长为4． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知边长为6的菱形，，把沿着翻折至的位置，构成三棱锥，且，，. （1）证明：； （2）求二面角的大小； （3）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系证明线面垂直从而得到线线垂直即可； （2）根据几何关系，平方后得到，得到，根据余弦定理求解其平面角即可； （3）根据平行关系将所求角转化为与平面所成角，再根据垂直关系找到具体的角进而求解其正弦值. 【小问1详解】 取中点，连接， 因为菱形，， 所以为等边三角形， 所以， 又因为面，， 所以面， 因为面， 所以 【小问2详解】 因为，， 所以， 平方得，， 即，解得， 在中，由余弦定理得，， 所以， 由（1）可知，是二面角的平面角， 在等边中，，同理， 在中，由余弦定理，， 因为，所以， 即二面角的大小为. 【小问3详解】 取中点，连接，则是靠近G的三等分点， 则， 所以与平面所成角即为所成角， 在平面中，作， 因为面，面， 所以， 又因为面，， 所以面， 所以是与平面所成角， 在中，，，所以 ， 在中，由，得，， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $