精品解析：北京市昌平区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024北京昌平初二（下）期末数学 本试卷共8页，三道大题，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 在《2023北京市数字经济标杆企业评价报告》中，昌平区共有7家重点企业成功获评北京市数字经济标杆企业． 以下是四家标杆企业的商标，其中商标图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 4 4. 下列判断错误的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 5. 直线经过第一、二、四象限，则直线的图像只能是图中的（ ） A. B. C. D. 6. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入． 四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 北京市昌平区2024年4月每日最高气温统计图如下： 根据统计图提供的信息，则下列说法正确的是（ ） A. 若将每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位 B. 4月份最高气温出现在4月19日 C. 4月24日到4月25日气温上升幅度最大 D. 若记4月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为，则 8. 如图1，在平面直角坐标系中的四个点，恒过定点的直线，与四边形交于点M，N（点M和N可以重合）． 根据学习函数的经验，线段的长度l可以看做k的函数，绘制函数l的图象如图2．下列说法正确的是（ ） A. l是k一次函数 B. 函数l有最大值为3 C. 当时，函数l随k的增大而增大 D. 函数l的图象与横轴的一个交点是 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中自变量x的取值范围是__． 10. 已知点和是一次函数图象上的两点，且，则_______．（填“”或“”） 11. 任意一个五边形的内角和为__________． 12. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则m的值为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点P，则方程组的解是______． 14. 如图，在中，，点D、E、F分别为的中点，若，则的长为______． 15. 如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为___． 16. 如图1所示，的正方形网格中，阴影部分已被覆盖． 现需用图2中的四块矩形放置到图1中，实现剩余空白部分的完全覆盖，如图3． 张顺同学在实践之后发现了三条结论： （1）覆盖的方案有多种； （2）在各种方案中，有一个矩形的位置是固定的，这个矩形是______________（填写序号）； （3）有一个矩形在每种方案中的位置都不一样，这个矩形是_____________（填写序号）． 请完善以上结论． 三、解答题（本题共12道小题，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分，共68分） 17. 解方程：． 18. 已知一次函数的图象经过两点． （1）画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的表达式； （2）若y轴上存在点P，使得的面积是3，求点P的坐标． 19. 如图，平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接．求证：． 20. 已知关于一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 21. 学校组织趣味运动会，某游戏项目需用长为的绳子圈定的矩形区域，求这个矩形的长和宽． 22. 数学课上，发现结论“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”后，张明同学又提出一个新的问题：过三角形一边中点，且平行于另一边的直线，是否会过第三边的中点呢？ 为研究此问题，同学们进行了作图，并将问题进行如下转述． 已知：在中，点D中点，过点D作，交于点E． 求证：． 以下是两位同学给出的辅助线做法，请你选择其中一种做法，补全图形，完成证明． 张明同学： 作辅助线：延长到点F，使得，连接． 李宏同学： 作辅助线：过点E作，交于点F． 23. 为增强学生的消防安全意识，某校举行了一次全校学生参加的消防安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行分析，按成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的1000名学生中达到“优秀”等级的学生人数． 24. 如图，在平面直角坐标系中，正方形网格每个小正方形边长都是1个单位长度，小正方形的顶点叫做格点，点A，B都是格点．请按下列要求在的网格中完成画图，并回答问题． （1）在图1中，点P是线段中点，请作出点C关于点P的对称点D； （2）以点A，B为顶点矩形中，存在顶点在函数的图象上： ①请在图2中作出一个符合要求的矩形； ②所有满足要求的矩形对角线长分别为________． 25. 如图，在平行四边形中，平分交延长线于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点． （1）当该函数图象过点时，求这个一次函数表达式； （2）当时，求k的取值范围； （3）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于的值，直接写出m的取值范围． 27. 如图，在正方形中，点E和F分别在和上，且关于对称，连接，，过点F作，点G在的右侧，且，连接交于H，连接． （1）请依题意补全图形，求证：； （2）猜想的数量关系并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线与图形W的一个交点为M，射线与图形W的一个交点为N，且满足四边形为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段的“平心点”． 已知点：． （1）点，F中，是点C关于直线“平心点”的有________； （2）若点C关于线段的“平心点”J的横坐标为a时，求a的取值范围； （3）已知点，点P是线段上的动点（点P不与端点C，K重合），若直线l：上存在点P关于矩形的“平心点”，请直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024北京昌平初二（下）期末数学 本试卷共8页，三道大题，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 在《2023北京市数字经济标杆企业评价报告》中，昌平区共有7家重点企业成功获评北京市数字经济标杆企业． 以下是四家标杆企业的商标，其中商标图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据分别对应为第一、二、三、四象限，进行判断，即可作答． 【详解】解：∵， ∴点所在的象限是第二象限， 故选：B． 3. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解代入方程中求解即可．理解方程的解满足方程是解答的关键． 【详解】解：把代入 可得出：， 解得：， 故选：B． 4. 下列判断错误的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，根据菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； B、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，说法错误符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，不符合题意； 故选：C． 5. 直线经过第一、二、四象限，则直线的图像只能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像和系数之间的关系，根据直线经过的象限，判断出的符号，进而判断出另一条直线的图像经过的象限即可． 详解】解：直线经过第一、二、四象限， ∴， ∴直线的图像经过一，三，四象限； 故选D． 6. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入． 四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意，四月份绿化投入25万元，设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，则五月份的绿化投入为万元，六月份的绿化投入为万元，据此即可获得答案． 【详解】解：设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x， 根据题意，可得． 故选：C． 7. 北京市昌平区2024年4月每日最高气温统计图如下： 根据统计图提供的信息，则下列说法正确的是（ ） A. 若将每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位 B. 4月份最高气温出现在4月19日 C. 4月24日到4月25日气温上升幅度最大 D. 若记4月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是折线统计图和方差．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据折线统计图提供的数据及方差意义作答即可． 【详解】解：A、由图可知，4月4日的最高气温在4月不是最低的．故本结论错误，不符合题意； B、4月份最高气温出现在4月18日，故本结论错误，不符合题意； C、由图可知，所以4月5日到4月6日气温上升幅度约为，4月24日到4月25日气温上升幅度约为，所以4月24日到4月25日气温上升幅度不是最大．故本结论错误，不符合题意； D、由图可知，4月上旬日至10日）的最高气温在至徘徊，中旬日至20日）的最高气温在至徘徊，所以上旬气温波动最大，中旬气温波动最小，所以．故本结论正确，符合题意； 故选：D． 8. 如图1，在平面直角坐标系中四个点，恒过定点的直线，与四边形交于点M，N（点M和N可以重合）． 根据学习函数的经验，线段的长度l可以看做k的函数，绘制函数l的图象如图2．下列说法正确的是（ ） A. l是k的一次函数 B. 函数l有最大值为3 C. 当时，函数l随k的增大而增大 D. 函数l的图象与横轴的一个交点是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图像读取信息，一次函数的图像与性质，一次函数与坐标轴的交点，根据函数图像可以之间判断函数的增减性，是不是一次函数，最大值是否存在，然后再结合图1，判断函数的最值为直线时，当时，即时，函数与x轴有两个交点，可以求出即可作出判断． 【详解】解：A、由图2可知，l不是k的一次函数，不符合题意； B、由图2可知，当时，l有最大值， 当时，即直线， l有最大值为2，故本选项错误，不符合题意； C、由图2可知，当时，函数l随k的增大而减小，故本选项错误，不符合题意； D、当时，即时， 过，两点或过，两点， 当，过两点时，，函数l的图象与横轴的一个交点是，正确，故选项D符合题意， 故选：D． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中自变量x的取值范围是__． 【答案】x≠3 【解析】 【详解】根据题意得x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为x≠3． 10. 已知点和是一次函数图象上的两点，且，则_______．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一次函数的增减性判断函数值的大小，根据可得出y随x的增大而增大，又，可得出． 【详解】解：∵ ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 任意一个五边形的内角和为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和公式（，且为整数），计算即可得出答案． 【详解】解：任意一个五边形的内角和为， 故答案为：． 12. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则m的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了配方法，把常数项移到右边，再两边加上16即可变形成完全平方的形式，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解： ， 故， 故答案为：4． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点P，则方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线交点坐标为二元一次方程组的解，由图可知两直线的交点，即可得出方程组的解． 【详解】解：直线：与直线：交于点P， ， 方程组的解为：， 故答案为：． 14. 如图，在中，，点D、E、F分别为的中点，若，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】由题意知，是的中位线，是斜边的中线，则，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，是的中位线，是斜边的中线， ∴，， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 15. 如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为___． 【答案】10 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 16. 如图1所示，的正方形网格中，阴影部分已被覆盖． 现需用图2中的四块矩形放置到图1中，实现剩余空白部分的完全覆盖，如图3． 张顺同学在实践之后发现了三条结论： （1）覆盖的方案有多种； （2）在各种方案中，有一个矩形的位置是固定的，这个矩形是______________（填写序号）； （3）有一个矩形在每种方案中的位置都不一样，这个矩形是_____________（填写序号）． 请完善以上结论． 【答案】 ①. ① ②. ④ 【解析】 【分析】本题主要考查了组合排列问题，正确理解题意是解题关键．． 【详解】解：根据题意，可有以下几种方案： 所以，（1）覆盖的方案有多种； （2）在各种方案中，有一个矩形的位置是固定的，这个矩形是①； （3）有一个矩形在每种方案中的位置都不一样，这个矩形是④． 故答案为：（2）①；（3）④． 三、解答题（本题共12道小题，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分，共68分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：， ， ， ，． 18. 已知一次函数的图象经过两点． （1）画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的表达式； （2）若y轴上存在点P，使得的面积是3，求点P的坐标． 【答案】（1）图像见解析， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，求解一次函数解析式，画函数图象，准确求出函数解析式是解题关键． （1）在图中描出点，连接即可得出函数图象，用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）设，根据的面积是3，得到，求出m的值即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，在图中描出点，连接即可得出函数图象， 设一次函数解析式为：， ，解得：， 一次函数解析式为：； 【小问2详解】 设， ， ， 或， 或． 19. 如图，平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．先证明四边形是平行四边形，从而得到，从而即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E，F分别在边上，， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键： （1）根据一元二次方程判别式为，即可解答； （2）解方程，求得，，根据题意得到，解不等式即可． 【小问1详解】 证明：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴对于任意实数m，该方程总有实数根； 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根为，， ， ∴，， ∵这个一元二次方程一根大于2， ∴， 解得：， ∴m的取值范围． 21. 学校组织趣味运动会，某游戏项目需用长为的绳子圈定的矩形区域，求这个矩形的长和宽． 【答案】矩形的长为，矩形的宽为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设矩形的长为，则矩形的宽为：，依题意可得方程∶，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：设矩形的长为，则矩形的宽为：， 依题意可得方程∶ 整理得：， 解得：，， ∴当时，， 当时，， 故矩形长为，矩形的宽为． 22. 数学课上，发现结论“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”后，张明同学又提出一个新的问题：过三角形一边中点，且平行于另一边的直线，是否会过第三边的中点呢？ 为研究此问题，同学们进行了作图，并将问题进行如下转述． 已知：在中，点D是中点，过点D作，交于点E． 求证：． 以下是两位同学给出的辅助线做法，请你选择其中一种做法，补全图形，完成证明． 张明同学： 作辅助线：延长到点F，使得，连接． 李宏同学： 作辅助线：过点E作，交于点F． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了平时四边形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，平行线的性质．张明同学：延长到点F，使得，连接．先证明，利用全等三角形的性质可得出，，进一步证明四边形是平时四边形，由平行四边形的性质可得出，等量代换可得出． 李宏同学：过点E作，交于点F．先证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得出，进一步证明，再证明，由全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】张明同学： 证明：延长到点F，使得，连接． ∵点D是中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平时四边形， ∴， ∴． 李宏同学： 证明：过点E作，交于点F． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点D是中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 为增强学生的消防安全意识，某校举行了一次全校学生参加的消防安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行分析，按成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的1000名学生中达到“优秀”等级的学生人数． 【答案】（1）200，36 （2）见解析 （3）160人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体，能从频数分布直方图及扇形统计图中获取相关信息是解题的关键． （1）利用A等的百分比及频数可求得n，利用C等的频数除以总人数再乘即可求解； （2）利用先求出D等学生人数，再根据D等学生人数进行补全频数分布直方图即可； （3）利用样本评估总体的方法即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：200，36； 【小问2详解】 D等的学生人数为：（人）， 补全条形图如下： 【小问3详解】 （人）， 答：估计该校参加竞赛的1000名学生中达到“优秀”等级的学生人数为160人． 24. 如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的每个小正方形边长都是1个单位长度，小正方形的顶点叫做格点，点A，B都是格点．请按下列要求在的网格中完成画图，并回答问题． （1）在图1中，点P是线段中点，请作出点C关于点P的对称点D； （2）以点A，B为顶点的矩形中，存在顶点在函数的图象上： ①请在图2中作出一个符合要求的矩形； ②所有满足要求的矩形对角线长分别为________． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②5或 【解析】 【分析】题目主要考查利用网格作图及矩形的性质，网格与勾股定理，理解题意，利用网格作图是解题关键． （1）根据矩形的性质及网格即可作图； （2）①先作出直线，然后利用矩形的性质即可作图；②根据①中图及网格，求出矩形的对角线长即可． 【小问1详解】 解：如图所示：点D即为所求； 【小问2详解】 ①如图所示：矩形或矩形即为所求； ②由①得矩形对角线的长度为，矩形对角线的长度， ∴满足要求的矩形对角线长分别为5或， 故答案为：5或． 25. 如图，在平行四边形中，平分交延长线于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、解直角三角形，三角函数等知识．解题的关键是解直角三角形． （1）首先证明四边形是平行四边形，再证，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）过作，利用含30度角的直角三角形性质及及勾股定理和菱形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 如图，过作， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∴四边形的面积为． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点． （1）当该函数图象过点时，求这个一次函数表达式； （2）当时，求k的取值范围； （3）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的综合问题，求一次函数关系式，对于（1），将坐标代入关系式可得答案； 对于（2），将点A的坐标代入关系式，可得关于m，k的关系式，进而得出不等式，求出解集即可； 对于（3），将代入，求出交点坐标，进而求出m的值，即可得出答案． 【小问1详解】 将点代入，得， 解得． 所以一次函数关系式为； 【小问2详解】 将点代入，得， 即． ∵， ∴， 当时，． 即； 当时，（舍）. 所以k的取值范围为； 【小问3详解】 ． 当时，． 将代入，得， ∴当时，一次函数的值大于的值， 解得． 27. 如图，在正方形中，点E和F分别在和上，且关于对称，连接，，过点F作，点G在的右侧，且，连接交于H，连接． （1）请依题意补全图形，求证：； （2）猜想的数量关系并证明． 【答案】（1）图形见解析，证明见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题中要求画出图像，通过垂直平分线性质，正方形性质证明即可得出结论； （2）过点G作垂直于的延长线于点K ，过点F作于点I，交于点N，连接，证明四边形为正方形，四边形为矩形，四边形为正方形，得到，再利用两直线平行内错角相等，对顶角相等即可得出从而得到． 【小问1详解】 解：补全图形如下： 分别和上，且关于对称， 垂直平分， 为正方形， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点G作垂直于的延长线于点K ，过点F作于点I，交于点N，连结GN并延长，交AB于E， 则四边形为矩形， 垂直平分， 四边形为正方形， 四边形为矩形， ，， ， 四边形为正方形， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，准确作出辅助线构造矩形，正方形是解题关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线与图形W的一个交点为M，射线与图形W的一个交点为N，且满足四边形为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段的“平心点”． 已知点：． （1）点，F中，是点C关于直线“平心点”的有________； （2）若点C关于线段的“平心点”J的横坐标为a时，求a的取值范围； （3）已知点，点P是线段上的动点（点P不与端点C，K重合），若直线l：上存在点P关于矩形的“平心点”，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）D、F； （2） （3） 【解析】 【分析】题目主要考查新定义，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质，坐标与图形，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意描出相应的点，然后利用一次函数确定函数解析式，确定交点，再由平行四边形的判定和性质即可求解； （2）根据题意结合图象，得出点的运动轨迹为点，即可求解； （3）“平心点”为平行四边形对角线的交点，如图所示，将各点描出，然后连线，得四边形为矩形，根据题意，平移，使得平移后的线段落在矩形上，O点平移后的对应点为N，P点平移后的对应点为点M，平移线段，平移后的线段可能落在矩形左下角或右上角，然后分情况结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意作图如下： ，，， 直线所在直线为， 设直线所在直线为， 将点代入得：， ∴， 交直线于点， 设直线所在直线为， ，解得， ∴直线所在直线为， 交直线于点， ∴两个交点之间的距离为， ∵所在直线平行于x轴， ∴四边形为平行四边形，符合题意； 同理点E不符合题意；点F符合题意； 故答案为：D、F； 【小问2详解】 根据题意结合图象，连接，则中点即， 连接，则中点即， ∴； 【小问3详解】 根据题意得：“平心点”为平行四边形对角线的交点， 如图所示，将各点描出，然后连线，得四边形为矩形， 根据题意，平移，使得平移后的线段落在矩形上，O点平移后的对应点为N，P点平移后的对应点为点M， 平移线段，平移后的线段可能落在矩形左下角或右上角， 当落在左下角时，如图所示： 点P接近点K时，点M接近点A，点P接近点C时，由（2）得点M接近中点， 所在直线即为直线l：， 将点代入得：， 将点 代入得：， ∴； 当落在右上角时，如图所示： 点P接近点K时，点M接近点， 点P接近点C时，，点M接近点， 所在直线即为直线l：， 将点代入得：， 将点 代入得：， ∴； 综上可得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$