第12讲 半角模型（二）2023-2024学年苏科版数学八年级上册

第12讲 半角模型（二） 例1 如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：；（2）如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 练习1.1 如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点M，N在边BC 上，且∠MAN=45°．若BM= 1，CN=3，求MN的长． 练习1.2 如图，，，点、分别在边、上，，过点作，且点在的延长线上． （1）与全等吗？为什么？ （2）若，，求的长． 例2 已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF．（2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．（3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 练习2.1 如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，． （1）如图①，，，．求证：； （2）如图②，，当周长最小时，求的度数； （3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度． 练习2.2 如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上． （1）如图①，当时，则的周长为______； （2）如图②，求证：． 例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，求的周长． 练习3.1 如图，已知：正方形，点，分别是，上的点，连接，，，且，求证：． 练习3.2 如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 课后作业 1.如图1，在正方形中，分别是上的点，且，则有结论成立； 如图2，在四边形中，分别是上的点，且是的一半， 那么结论是否仍然成立?若成立，请证明；不成立，请说明理由． 若将中的条件改为：如图3，在四边形中，，延长到点，延长到点，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立?若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明 2.(1)问题背景： 如图 1，在四边形 ABCD 中，AB = AD，∠BAD= 120°，∠B =∠ADC= 90°，E，F 分别是 BC, CD 上的点，且∠EAF = 60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE， 连结AG，先证明ΔΔADG，再证明ΔΔAGF，可得出结论，他的结论应是 ． (2)探索延伸：如图 2，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=∠BAD，上述结论是否依然成立？并说明理由． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$