精品解析：江苏省常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题

2023～2024学年度第二学期期中质量调研 高二数学试题 2024.4 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在长方体中，等于（ ） A. B. C. D. 2. 在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分的所有可能取值的和是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 3. 曲线与曲线在处的切线平行，则的减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 有极小值，极大值 B. 仅有极小值，极大值 C. 有极小值和，极大值和 D. 仅有极小值，极大值 7. 在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在叶上，则跳四次之后停在叶上的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=，各棱长均为1.则下列命题中正确的是（ ） A. 不是空间的一个基底 B. C. D. BD⊥平面ACC1A1 10. 若随机变量，，为的导函数，若，则下列等式中成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，其中结论正确的有（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上有一个极大值点 C. 当时，函数恒成立 D. 当时，函数有一个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设离散型随机变量可能的取值为，，0，1，2，，若的均值为，则的值为______． 13. 已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为______． 14. 设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间三点，，，设，． （1）若与互相垂直，求实数的值； （2）若，，求． 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，且为函数的极小值点，求实数的取值范围． 17. 如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． （1）求证：平面; （2）求平面与平面所成锐二面角的大小; （3）在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 18. 某电器厂打算处理一批台灯，这些台灯每箱10盏，以箱为单位销售．已知这批台灯中每箱出现的废品只有两种可能：1盏或者2盏，两种可能对应的概率分别为、．假设该台灯正品每盏市场价格为100元，废品不值钱，现每箱处理价格为860元，遇到废品不予更换．现以一箱产品中正品的价格期望大于处理价格作为可以购买的依据． （1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买； （2）现允许开箱，从一箱中随机任取2盏进行检验． ①若已知此箱中有2盏为废品，记抽到的废品数为，求的分布列和数学期望； ②若已发现在抽取检验的2盏台灯中，恰有一盏是废品，判断此箱是否可以购买． 19. 已知函数，（） （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的最小值； （3）令，若存在且时，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度第二学期期中质量调研 高二数学试题 2024.4 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在长方体中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据长方体，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算. 【详解】如图，可得，，所以. 故选：B 2. 在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分的所有可能取值的和是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】找到总得分的所有可能取值，即可得解. 【详解】选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得0分，中一次，得2分， 中两次，得4分，中三次，得6分， 故总得分的所有可能取值为， 所以总得分的所有可能取值的和为. 故选：C 3. 曲线与曲线在处的切线平行，则的减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求导，因为两曲线的切线平行，列出方程，求出值．令即可求出减区间． 【详解】求导，， 因为曲线与曲线在处的切线平行， 则，即，解得． 此时， 令，解得，则的减区间为． 故选：B. 4. 四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求出平面的法向量，再根据点到面的距离的向量公式求解即可. 【详解】设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以顶点到底面的距离为. 故选：A. 5. 已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点，可知，所以表示点与点之间距离的平方，分析求解即可. 【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设点， 所以，， 所以， 因为表示点与点之间距离的平方， 所以当点的坐标为时，取得最大值为， 当与点重合时，取得最小值， 所以的取值范围为：. 故选：A. 6. 已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 有极小值，极大值 B. 仅有极小值，极大值 C. 有极小值和，极大值和 D. 仅有极小值，极大值 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象，得出导函数符号的分布情况，再根据极值的定义即可得解. 【详解】由函数的图象， 得当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数有极小值，极大值和. 故选：C. 7. 在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在叶上，则跳四次之后停在叶上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析得出青蛙四次跳跃中有次是顺时针方向跳，有次是逆时针跳，分两种情况讨论：①青蛙先按逆时针开始从；②青蛙先按顺时针开始从.分析出剩余三次跳跃中青蛙顺时针和逆时针跳跃的次数，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得结果. 【详解】因为逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍， 所以逆时针方向跳的概率是，顺时针方向跳的概率是， 若青蛙在叶上，则跳四次之后停在叶上， 则满足四次跳跃中有次是顺时针方向跳，有次是逆时针跳， 若先按逆时针开始从，则剩余次中有次是按照逆时针，其余次按顺时针跳， 则对应的概率为； 若先按顺时针开始从，则剩余次中有1次是按照顺时针，其余次按逆时针跳， 则对应的概率为. 故跳四次之后停在叶上的概率为． 故选：D. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两边分别同时取对数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】由，，， 得， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：将两边分别同时取对数，构造函数是解决本题的关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=，各棱长均为1.则下列命题中正确的是（ ） A. 不是空间的一个基底 B. C. D. BD⊥平面ACC1A1 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间基底的概念可判断A；由空间向量夹角的概念可判断B；由运算可判断C；由线面垂直的判定可判断D. 【详解】对于A，由，所以向量共面， 所以不是空间的一个基底，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以，故B错误； 对于C， ， 所以，故C正确； 对于D，连接交于点O，连接, 由题意可得四边形为菱形，， 所以，， 由可得BD⊥平面ACC1A1，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化为，以及对于空间位置关系的转化. 10. 若随机变量，，为的导函数，若，则下列等式中成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据随机变量，可得正态曲线关于对称，再结合正态曲线的定义，逐一分析判断即可. 【详解】因为随机变量， 所以正态曲线关于对称， 因为表示左侧的面积，其随着的增大而增大， 所以，故A正确； 由对称性可知，所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，其中结论正确的有（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上有一个极大值点 C. 当时，函数恒成立 D. 当时，函数有一个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AD，当时，结合导数可判断函数的单调性，由，并结合函数的零点存在定理即可判断；对于BC，当时，结合导数可判断函数的单调性，并求函数的最小值与作比较即可. 【详解】由题意可知，函数， 对于A，当时，，故. 令，则. 当时，；当时，. 故在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，有，故. 所以在上单调递减，故A正确； 对于B，当时，， 则， 令，则对有，所以在上单调递增， 而，，所以存在，使得. 结合单调递增知，对有，对有. 故在上单调递减，在上单调递增. 从而在上仅有唯一的极值点，且为极小值点，故B错误； 对于C，当时，由的单调性知. 因为，所以，故对有，故C正确； 对于D，由上可知在上单调递减，而，， 故在上有一个零点，所以在内有一个零点. 故在上的零点是唯一的，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的运算，解题关键是通过导数求各段函数的单调性、最值及零点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设离散型随机变量可能的取值为，，0，1，2，，若的均值为，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由和概率和为1列方程组求解即可. 【详解】因为离散型随机变量可能的取值为，，0，1，2，， 所以， 所以，得， 因为，所以， 所以， 故答案为： 13. 已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算，得，，再计算. 【详解】 正四面体的棱长为1， ， 又点是的中点，， 又， . 故答案为：. 14. 设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】在上满足的正整数至多有两个，即，设，求导，可得函数单调性及函数值，进而可得参数范围. 【详解】由在上满足的正整数至多有两个， 即在上满足的正整数至多有两个， 设，， 则， 设，， 则，， 设，， 则恒成立， 则在上单调递增， 即，即， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增； 所以当时，取最小值， 又在上满足的正整数至多有两个， 则， 即， 故答案为：. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间三点，，，设，． （1）若与互相垂直，求实数的值； （2）若，，求． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案； （2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案. 【小问1详解】 ， 故， ， 因为互相垂直，所以， 解得或； 【小问2详解】 ， 设，则且， 解得或， 故或； 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，且为函数的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）求出导函数的零点，再分，和三种情况讨论，即可得解. 【小问1详解】 ， 则， 所以曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 ， 令，则， 当时，， 则在上单调递增，没有极小值点，与题意矛盾； 当，即时， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以为函数的极小值点，符合题意； 当，即时， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以为函数的极大值点，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为． 17. 如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． （1）求证：平面; （2）求平面与平面所成锐二面角的大小; （3）在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）不存在,理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理即可证; （2）建立空间直角坐标系,利用向量法直接计算可知; （3）假设存在,利用向量法直接计算可知. 【小问1详解】 是正三角形, 为的中点,, 又平面,平面, , 又平面,平面,平面,且, 平面. 【小问2详解】 取的中点,连接, 由（1）得平面,且底面是的正方形,所以以为原点,分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,得到如下点的坐标, 又,,分别是,,上的点,且满足, ， ,, 由（1）得平面,所以平面的法向量为, 设平面的法向量为, 则,即,解得,, 设平面与平面所成锐二面角为, , 所以平面与平面所成锐二面角的大小. 【小问3详解】 设线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为,且, ,, , 整理可得:,方程无解, 不存在这样的点. 18. 某电器厂打算处理一批台灯，这些台灯每箱10盏，以箱为单位销售．已知这批台灯中每箱出现的废品只有两种可能：1盏或者2盏，两种可能对应的概率分别为、．假设该台灯正品每盏市场价格为100元，废品不值钱，现每箱处理价格为860元，遇到废品不予更换．现以一箱产品中正品的价格期望大于处理价格作为可以购买的依据． （1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买； （2）现允许开箱，从一箱中随机任取2盏进行检验． ①若已知此箱中有2盏为废品，记抽到的废品数为，求的分布列和数学期望； ②若已发现在抽取检验的2盏台灯中，恰有一盏是废品，判断此箱是否可以购买． 【答案】（1）可以购买 （2）①分布列： ； ②不可以购买 【解析】 【分析】（1）求出在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望，再与比较，即可得出结论； （2）①写出的所有取值，求出对应概率，再根据期望公式求期望即可； ②先利用条件概率公式分别在求出两种箱子抽取的概率，再求出正品价格的期望，再与比较，即可得出结论. 【小问1详解】 在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望为： ， 所以不开箱检验的情况下，可以购买； 【小问2详解】 ①由题意，可取， 则， 所以的分布列为： 所以； ②设事件：发现在抽取抽取检查的盏产品中，其中恰有盏是废品， 则， 设事件：抽取的是废品为盏的一箱， 则， 事件：抽取的是废品为盏的一箱， 则， 设正品价格的期望为，则可取， 则， 所以， 所以在抽取检验的2盏台灯中，恰有一盏是废品，此箱不可以购买． 【点睛】方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法： （1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解． （2）已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差，可直接用的均值、方差的性质求解； （3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解． 19. 已知函数，（） （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的最小值； （3）令，若存在且时，，证明：. 【答案】（1）当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） （3）证明:，， ， 令，则， 在上单调递增，不妨设， ， ， 要证，即，只需证， 令，只需证，只需证， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即成立， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）分类讨论再利用函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解； （3）根据题意可得，通过构造函数，求函数单调性及参变分离可得，令，通过导数得的单调性，即可证明，从而可证明. 【小问1详解】 定义域为，， 因为当时，恒成立，所以在上单调递增 当时，由得，由得， 即在上单调递增，在上单调递减， 综上可得当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，在单调递增，在单调递增，， 当，即时，在单调递减，在单调递增， 所以， 当，即时，在单调递减， 所以， 当，即时，在单调递增， 所以 所以 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：利用导数求含参函数的单调性时，一般先求函数的定义域，求出导数后，令导数为零，解方程，讨论方程的根的个数以及根与定义域的位置关系，确定导数的符号，从而求出函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $