专题1.6 一定是直角三角形吗（专项练习）（培优练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.6 一定是直角三角形吗（专项练习）（培优练） 特别提醒：本专题涉及二次根式的运算，建议学习第2章《实数》后再巩固练习 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级下·河南信阳·期末）中，，，，表示其三边，以下条件不能构成直角三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，都在格点上，与相交于点P，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，是靠近点的的四等分点．已知，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 4．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）已知是的三边，且满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点M，的垂直平分线交于点E，交于点N，若，，，则AC的长为（    ）． A． B． C． D． 6．（2024·四川广元·二模）如图，在等边三角形中，D是边上的中点，．将绕点C顺时针旋转，得到，连接，，当时，的大小是 （    ）                              A．60°或90° B．90°或120° C．60°或300° D．120°或150° 7．（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 8．（2021九年级·全国·专题练习）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是（　　） A．x2+12＝（x+0.68）2 B．x2+（x+0.68）2＝12 C．x2+1002＝（x+68）2 D．x2+（x+68）2＝1002 9．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知的三边a，b，c（）均为整数且周长为24，其中最长边a满，若从这样的三角形中任取一个，则它是直角三角形的概率是（　　） A． B． C． D． 10．（22-23九年级下·河北衡水·期中）如图，点在内部，点与点关于对称，点与点关于对称．甲、乙两位同学各给出了自己的说法：甲：若，则是等边三角形；乙：若，则．对于两位同学的说法，下列判定正确的是（   ）    A．甲正确 B．乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，，，，，则 ． 12．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，是直线外一点，、、三点在直线上，且于点，，若，，，，则点到直线的距离是 ． 13．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，于点D，则的长为 14．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，P是正三角形内的一点，且，，．若将绕点A逆时针旋转后，得到，则点P与之间的距离为 ， ． 15．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，若点是正方形外一点，且，，，则 °． 16．（23-24八年级下·天津南开·期末）如图，正方形的边长为4，点在边上，点在边的延长线上，且．点，分别在边，上，与交于点，且，则的长为 ．    17．（18-19八年级下·安徽合肥·期中）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为 为直角三角形． 18．（2019·江苏无锡·二模）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，∠D=45°，AB=BC=2，点E为四边形ABCD内部一点，且满足CE2﹣AE2=2BE2，则点E在运动过程中所形成的图形的长为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知等腰的底边，D是腰上一点，且，． （1）求证：； （2）求的长． 20．（8分）（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，中，为钝角． （1）尺规作图：作边，的垂直平分线分别交于点，； （2）若，求的度数． 21．（10分）（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围200千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心由西向东，从移动到，已知点是一个海港，且点与两点的距离分别为两点的距离为：． （1）求的度数； （2）海港会受到这次台风的影响吗？请说明理由． 22．（10分）（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，点在四边形内部，且，，，，， （1）求证：是等边三角形； （2）求的度数； （3）求的长． 23．（10分）（20-21八年级上·山东济南·期末）（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接． ① __度；（答案直接填写在横线上） ②_ __﹔（答案直接填写在横线上） ③求的度数． （2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明． 24．（12分）（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、当，由，可得，故能判定是直角三角形， B、当，可得，故能判定是直角三角形， C、当，可得最大角：，故不能判定是直角三角形， D、设，则，，可得，，即，故能判定是直角三角形， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查构造直角三角形，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，根据勾股定理，求出． 【详解】解：如图，过点作， ， 过格点， 连接， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．C 【分析】设正方形的边长为，则，，，由勾股定理以及逆定理可判断是直角三角形，由勾股定理的逆定理得到①正确；求出、、的值，从而对②作出判断；由锐角三角函数的定义求出的值，对③作出判断，分别用含有的代数式表示4个三角形面积，对④作出判断即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则，，， ， ， ， ， 即， 因此①正确； ，，， ， 因此②不正确； 在中， ， ， 因此③不正确； ， ， ， ， ， 因此④正确； 综上所述，正确的结论有①④， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，正方形的性质，锐角三角函数的定义,掌握勾股定理，勾股定理逆定理，正方形的性质以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 4．D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质以及勾股定理的逆定理等知识是解题的关键． 根据非负数的性质可得关于的等式，继而可得，根据均大于零，且，继而可得，综合两种情况，可判断出的形状． 【详解】解：∵均大于零， ∴且， 又∵，即 故第一种情况，即， ∴是等腰三角形， 第二种情况， ∴是直角三角形 ∴等腰三角形或直角三角形 故选：． 5．C 【分析】连接，根据垂直平分线的性质，得，，结合，确定，根据勾股定理计算即可．本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握逆定理是解题的关键. 【详解】连接， 根据垂直平分线的性质，得，， ∵， ∴， ∴, 解得，负的舍去， 故选C. 6．C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识．利用勾股定理的逆定理证明，分两种情形分别求解即可． 【详解】解：设，则，，， ， ， ①如图中，当点在的中点时，满足条件，此时；    ②如图中，当点落在的中点时，满足条件，此时．    综上所述，满足条件的的值为或． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可． 【详解】解：连接，如图2， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴铺满该区域需要的费用为：（元）， 故选：A． 8．D 【分析】1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸，设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸，利用勾股定理及门的对角线长1丈（100寸），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解. 【详解】解：1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸. 设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸， 依题意得：x2+（x+68）2＝1002. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、由实际问题抽象出一元二次方程，准确计算是解题的关键． 9．A 【分析】本题考查了概率公式，三角形三边关系，勾股定理的逆定理，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．先根据题意找到满足条件的三角形个数，再找到其中是直角三角形的个数，然后根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵的三边a，b，c（）均为整数且周长为24， ∴或或或或或或或或或或或，一共12种情况， ∵是直角三角形的有，只有1种情况， ∴从这样的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率是． 故选：A． 10．C 【分析】连接，根据对称的性质以及垂直平分线的判定和性质可得，，，，推得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得；若，求得，根据等边三角形的判定即可证明甲同学的说法正确；若，根据勾股定理的逆定理可推得，即可证明乙同学的说法正确． 【详解】解：连接，如图：    ∵点与点关于对称，点与点关于对称， 即是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， 在等腰三角形中，， 在等腰三角形中，， 则； 若，则， 又∵， ∴为等边三角形，故甲同学的说法正确； 若， ∵， 即， 则，，满足， ∴为直角三角形， ∴， 则，故乙同学的说法正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了对称的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，勾股定理的逆定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 11．/45度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法运算，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解答． 【详解】解：，，， ，， ∵，， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 12．4 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，勾股定理的逆定理，理解点到直线距离的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键．先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得，然后再根据点到直线距离的定义可得出答案． 【详解】解：，，， ， 为直角三角形，即， ， 点到直线的距离是是线段的长， 即点到直线的距离是是4． 故答案为：4． 13．2 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理得逆定理和直角三角形斜边高的求法，掌握勾股定理及其逆定理是本题关键．根据勾股定理计算的长，再利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】由勾股定理得：，，， ，，，， 是直角三角形，， ， ， ， 故答案为：2． 14． 6 /150度 【分析】连接，得出为等边三角形，进而可求出点P与之间的距离；根据，，，判定为直角三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵绕点A逆时针旋转后，得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 故答案为：6；． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理，作辅助线构造三角形是解题的关键． 15． 【分析】将绕点顺时针旋转，得到，连接，利用旋转的性质得到，，，由等腰直角三角形性质可得，利用勾股定理得到，进而得到，由勾股定理逆定理可知，，最后根据，即可求得． 【详解】解：将绕点顺时针旋转，得到，连接， ， ，， ，，， ， ， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，等腰三角形性质，解题的关键是作辅助线构造直角三角形解决问题． 16． 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理及其逆定理等；连接、，由勾股定理得 ，，，由勾股定理逆定理得，是等腰直角三角形，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可求解；掌握相关性质及判定方法，根据题意构建出等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，   四边形是正方形， ∴，，， ， ， ， 同理可求：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故答案：． 17．3或2或． 【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作BF⊥AD于F， 则四边形DEBF为矩形， ∴BF=DE=4，DF=BE=1， ∴AF=AD-DF=3， 由勾股定理得，      当△ABC为直角三角形时， 即 解得，CD=3， 如图2，作BH⊥AD于H， 仿照上述作法，当∠ACB=90°时， 由勾股定理得，   由得： 解得： 同理可得：当∠ABC=90°时， 综上：的长为：3或2或． 故答案为：3或2或． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 18．π． 【分析】如图，将△ABE绕点B顺时针旋转90°，得到△BCF．首先证明∠AEB＝∠BFC＝135°，推出点E的运动轨迹是弧AB，圆心角∠AOB＝90°，利用弧长公式求出的长即可解决问题． 【详解】如图，将△ABE绕点B顺时针旋转90°，得到△BCF． 则△EBF是等腰直角三角形，EF=BE． ∵CE2﹣AE2=2BE2，AE=CF， ∴CE2=CF2+EF2， ∴∠EFC=90°． ∵∠EFB=45°， ∴∠AEB=∠BFC=135°， ∴点E的运动轨迹是弧AB，圆心角∠AOB=90°． ∵OA=OB，AB=2， ∴OA=OB=， ∴点E在运动过程中所形成的图形的长==π． 故答案为：π． 【点睛】本题考查轨迹，弧长公式，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 19．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理及逆定理的应用，正确理解题意正确应用定理是解题的关键： （1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理得，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， 即． （2）由题意得：， 设，则， 在中，， 即，， 即． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理； （1）根据线段垂直平分线的作图方法分别作图即可． （2）连接，．由线段垂直平分线的性质可得， ，则， ．结合勾股定理的逆定理可得，根据三角形内角和定理可得，即可根据求解． 【详解】（1）作两条垂直平分线即可 （2）连接，， 边，的垂直平分线分别交于点，， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ． 21．(1) (2)不受影响，见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理： （1）利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形； （2）过点作于点，求出长度即可判断． 【详解】（1）解：， ． 是直角三角形． ； （2）解：海港C不受台风的影响，理由如下： 如图，过点作于点． ， 即． 解得：， ． 海港C不受台风的影响． 22．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）用证明，根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定证明即可； （2）先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再利用等边三角形的性质求解即可； （3）延长交于点，根据证明，根据全等三角形的性质，结合等腰三角形的性质和等边三角形的性质，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，， ∵，是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）延长交于点，如图所示， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，是综合型试题，熟练运用这些知识是解题的关键． 23．（1）①；②；③；（2），证明见解析． 【分析】（1）①由得到，继而证明即可解题； ②由得到，结合①结论，可证明是等边三角形，即可解题； ③根据得到，在中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明为直角三角形，继而得到，再结合是等边三角形即可解得据此解题即可； （2）由可得，可证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可． 【详解】解:（1）① 即 故答案为：； ② ， 由①得 是等边三角形， 故答案为：； ③ 为直角三角形 为等边三角形 ； （2）当时，． 理由如下: ， 为等腰直角三角形， ， 当时，为直角三角形， ， 当满足时，． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 24．问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9 【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质． 问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论． 问题再探：如图，过点P作直线于点F交直线a于点E，截取，，连接即可； 问题拓展：过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：问题初探：（1）； 证明：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；, （2）∵， ， 故答案为：；, （3）证明：∵四边形的面积 ， ∴四边形的面积 ， ∴， 即． 问题再探：解：如图，即为所求；    问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，      ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 故答案为：9． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$