专题1.5 一定是直角三角形吗（专项练习）（基础练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.5 一定是直角三角形吗（专项练习）（基础练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级下·重庆秀山·阶段练习）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．9，12，15 2．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是 A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B．的面积为5 C． D．点到的距离为 4．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 5．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 6．（20-21八年级上·湖北襄阳·期末）已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 7．（19-20八年级上·全国·课后作业）若三角形的三边长分别为，，，且满足，则此三角形中最大的角是（   ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 8．（2024八年级下·全国·专题练习）勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（ ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，交于点，，，，则点到的距离为（   ） A．3 B．2.4 C．4 D．5 10．（23-24八年级下·湖北荆门·期末）如图1，正方形的边长为为边上一点，连接，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点．图2是的面积（单位：）随时间（单位：）的变化而变化的图象，其中，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，则的大小为 ． 12．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，，，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则 度， ． 13．（北京市燕山地区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 14．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离，则点C到的距离是 ．    15．（19-20八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 . 16．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，为延长线上一点，．若，则的长为 ．    17．（22-23八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 18．（22-23八年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，和的垂直平分线交于点D、E，若，，，则的面积为 ．    三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，，，对角线．求四边形的面积． 20．（8分）（23-24八年级下·湖南长沙·期中）下图为某小区绿化带示意图，已知，米，米，米，米． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若铺设一平米草坪费用为元，请问将该绿化带铺满草坪需要多少钱？ 21．（10分）（22-23八年级上·贵州·期中）如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． （1）求证：； （2）求修建的桥梁的长． 22．（10分）（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）请利用勾股定理解决下列问题． （1）如图1，在中，，，，请求出边上高的长度h； （2）如图2，在梯形中，，，，，，求和之间高的长度x．（提示：作于点，于点 ，则四边形为矩形） 23．（10分）（2024·广东清远·二模）综合与实践 主题：检测雕塑（下图）底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺． 步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： （1）通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ （2）如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 24．（12分）（21-22八年级上·山西晋中·期中）阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，则此项不符合题意； B、，不能构成三角形，则此项符合题意； C、，能构成直角三角形，则此项不符合题意； D、，能构成直角三角形，则此项不符合题意； 故选：B． 2．D 【详解】 试题分析：找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形，有4个点满足条件．所以P（△ABC为直角三角形）=， 故选D 考点：1、直角三角形的判定  2、概率 3．D 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理求出长可判定A，利用网格图计算三角形的面积可判定B，利用勾股定理及其逆定理判定C；利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D． 【详解】解：A． ∵， ∴，本选项结论正确，不符合题意； B．，本选项结论正确，不符合题意； C．，，， ， ，本选项结论正确，不符合题意； D．点A到的距离，本选项结论错误，符合题意； 故答案为：D 4．C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，根据题意，可得，可得是直角三角形，结合图形用正方形的面积减去直角三角形的面积即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即是直角三角形， ∴，且正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选： C． 5．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先根据题意得到海里，海里，海里，则可得，由勾股定理的逆定理得到，进而求出，则智能号轮船的航行方向是北偏东． 【详解】解：由题意得，海里，海里，海里， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵胜利号轮船沿北偏西方向航行， ∴， ∴， ∴智能号轮船的航行方向是北偏东， 故选：A． 6．C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点拨】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 7．B 【分析】因为a、b、c为一个三角形的三边长，化简，可得a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形为直角三角形． 【详解】∵， ∴a2+b2=c2， ∴该三角形为直角三角形. 故选B. 【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理. 8．C 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：为正整数， 为偶数，设其股是，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得， 弦是， 故选：C． 9．A 【分析】本题考查了勾股定理逆定理以及角平分线的性质，先得出，则，因为平分，所以角平分线上的点到角的两边距离相等，即点到的距离， 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵平分， ∴点到的距离， 故选：A． 10．C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，理解图中的点的实际意义是解本题的关键． 由图象得：当时，的面积为，此时点与点重合，由三角形面积公式求得，从而得到，由勾股定理得出，再求出的长，从而即可得到答案． 【详解】解：由图象得：当时，的面积为，此时点与点重合， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 11．/90度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．勾股定理求出三条边的长，再利用勾股定理逆定理得到，即可． 【详解】解：由勾股定理，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，掌握作角平分线的方法，角平分线的性质，勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理可求出是直角三角形，求出；过点作，根据角平分线的性质，勾股定理可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； 根据作图可得是角平分线，如图所示，过点作于点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 故答案为：， ． 13． 【分析】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画出示意图如下：   丈，丈，丈， ，， ， 是直角三角形，且， （平方丈）, 故答案为：． 14．48 【分析】本题考查了点到直线的距离和勾股定理的逆定理，解题的关键是连接，过作于，求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，根据三角形的面积公式得出，再求出即可． 【详解】解：连接，过作于，   ，，， ， 是直角三角形， 的面积， ， 解得：， 即点到的距离为， 故答案为：48． 15．6 【分析】先利用勾股定理列式求出BC，再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2， ∵AB=5，AC=4， ∴， S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积 = = = = = =6. 【点拨】本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键． 16．9.6 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后利用面积法进行计算，即可解答． 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， 的面积， ， ， 解得：， 故答案为：9.6． 17． 【分析】如图所示，延长至，使得，连接，可证，可得，根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，即的面积是 故答案为：． 【点拨】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解题意，构造边的关系，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 18．24 【分析】连接，首先求出，然后利用垂直平分线的性质得到，，利用勾股定理的逆定理证明出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】如图所示，连接，    ∵，，， ∴ ∵和的垂直平分线交于点D、E， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴的面积为． 故答案为：24． 【点拨】此题考查了垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 19．84 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．在中，利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据四边形的面积等于的面积与的面积之和即可得． 【详解】解：， 是直角三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， 则四边形的面积为： ， ． 20．(1)直角三角形，理由见解析 (2)3600元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用； （1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形； （2）根据三角形的面积公式求得面积，进而即可求解． 【详解】（1）为直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 为直角三角形且 （2） 总费用为：元 答：将该绿化带铺满草坪需要元 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 22．(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的判定与性质，涉及矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理的判定与性质是解题的关键． （1）判定为直角三角形即可解答； （2）作于点，于点 ，则四边形为矩形，设，则，分别在和中，得出，，求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴； （2）如图，作于点，于点 ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设， 则， 在中，， 即， 在中，， 即， ∴， 解得：， ∴， 答：和之间高的长度为． 23．(1)，理由见解析 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用， （1）由勾股定理逆定理求出，则可得出结论； （2）在边上量一小段，在边上量一小段，这时只要量一下是否等于即可． 【详解】（1）解：垂直，理由为： 在中，因为，，， 所以， ， 所以， 所以． （2）解：在边上量一小段， 在边上量一小段，， 这时只要量一下是否等于即可． 24．（1）；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如，等 【分析】（1）把直接代入，，即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论； （3）根据勾股数解答即可． 【详解】（1）把代入，，得： ，，， 这组勾股数为； （2）表示大于1的整数， ，，都是正整数，且是最大边， ， 是一组勾股数； （3），等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出． 【点拨】本题考查了勾股数以及勾股定理的逆定理，弄清题意，理解勾股数的意义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$