第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题（五大题型）-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法： 1、定义法 第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步：得出结论 2、坐标法 第一步 ： 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步： 将平面向量的运算坐标化 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3、基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 4、几何意义法 第一步： 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步： 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 知识点二．极化恒等式 1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： （1） （2） （1）（2）两式相加得： 2、极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 （1）平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． （2）三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 知识点三．在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 【典例例题】 题型一：定义法 【典例1-1】（2024·高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则的值为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【典例1-2】（2024·高一·辽宁朝阳·期中）已知| ，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【变式1-1】（2024·高一·湖北十堰·期末）如图，均为圆上的动点（可重合），为圆心，已知该圆的半径为1，则的取值范围是 . 题型二：坐标法 【典例2-1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从该窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形内角和为，若，则 ；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为 ． 【典例2-2】（多选题）（2024·高一·江苏南通·阶段练习）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口，它的边长为1，则（    ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．点是正六边形内部（包括边界）的动点，的最小值为 【变式2-1】（2024·高一·天津·阶段练习）已知向量，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型三：基底法 【典例3-1】（2024·高一·辽宁大连·期中）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为2，点满足，则 ；若点是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为 ． 【典例3-2】（2024·高一·湖南常德·期中）如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段上运动（包括端点）且，若的面积为．则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高一·浙江·期中）如图，在四边形中，，，为线段上一个动点（含端点），，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高一·湖南·期中）的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（    ） A． B． C． D．4 题型四：几何意义法 【典例4-1】（2024·高一·上海·期中）已知线段经过半径为12的圆的圆心，且，，若，为此圆上的两个动点，则的取值范围为 . 【典例4-2】（2024·高一·上海·期末）在平面内，若有，，，则的最大值为 . 【变式4-1】（2024·高一·上海闵行·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高一·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型五：极化恒等式 【典例5-1】（2024·高一·北京怀柔·期末）在直角三角形中，，点P在斜边的中线上，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高一·浙江·期中）折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形，其中，，，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C． D．若，则 【变式5-1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【过关测试】 1．（2024·高一·北京·阶段练习）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·福建福州·期中）已知平面向量，，满足，，，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·上海·期末）已知在中，是边上的一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）（2024·高一·江苏·假期作业）平行四边形中，，，．动点满足，，，，下列选项中正确的有（    ） A．时，的取值范围是， B．时，存在使得 C．时，动点形成的轨迹的长为 D．且最大时，在上的投影向量为 5．（多选题）（2024·高一·广东广州·阶段练习）在中，，点是等边（点与在的两侧）边上的一动点，若，则有（    ） A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的范围是 6．（2024·高一·辽宁沈阳·期中）设是单位向量，且，则的范围为 7．（2024·上海崇明·一模）正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点．点为平面上一点，满足，则的最小值为 ． 8．（2024·高一·四川成都·期末）已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最大值为 . 9．（2024·高一·福建漳州·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形内角和为，若，则的值为 ；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的取值范围为 ． 10．（2024·高一·福建漳州·期中）已知向量夹角为，，对任意，有恒成立，若为实数，则的最小值是 ． 11．（2024·高一·河南郑州·期中）已知平面四边形ABCD满足，且，则的最大值为 ． 12．（2024·高一·广东佛山·期中）如图，在中，已知，，为线段上一动点，则的最小值为 ． 13．（2024·高一·贵州毕节·阶段练习）在等腰直角中，，，M，N为AC边上的两个动点，且满足，则的取值范围为 ． 14．（2024·高一·安徽合肥·期中）如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围 ． 15．（2024·高一·辽宁大连·期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形的边长为，点P是正八边形边上的一点，则的最大值为 . 16．（2024·天津和平·三模）已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示 ；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为 ． 17．（2024·高一·福建厦门·期中）如图，四边形ABCD中，，，且，． (1)求角B值的大小； (2)已知M，N是线段BC上的两个动点，且，求的最小值． 18．（2024·高一·浙江杭州·期中）在中，点在边上，，，，． (1)求的模； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)若点在边上，求的范围． 19．（2024·高一·江苏南通·阶段练习）如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的两点，，．    (1)若，，，求的范围； (2)若，求的最小值； (3)若，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得最大．若存在，求BH的长；若不存在，说明理由． 20．（2024·高一·重庆·阶段练习）如图所示，为等边三角形，，为的内心，点在以为圆心，为半径的圆上运动. (1)求出的值. (2)求的范围. (3)若，当最大时，求的值. 21．（2024·高一·青海海东·阶段练习）如图，扇形所在圆的半径为3，它所对的圆心角为，点满足，点是线段上的一点，，点是弧上的一点.    (1)若点是弧的中点，求与夹角的余弦值； (2)求的最小值. 22．（2024·高一·河南信阳·期中）如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. (1)求的值； (2)若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 23．（2024·高一·福建福州·期中）如图，在菱形中，，是的中点，且． (1)求； (2)以为圆心，2为半径作圆弧，点是弧上的一点，求的最小值． 24．（2024·高一·广东佛山·期中）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法： 1、定义法 第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步：得出结论 2、坐标法 第一步 ： 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步： 将平面向量的运算坐标化 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3、基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 4、几何意义法 第一步： 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步： 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 知识点二．极化恒等式 1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： （1） （2） （1）（2）两式相加得： 2、极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 （1）平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． （2）三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 知识点三．在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 【典例例题】 题型一：定义法 【典例1-1】（2024·高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则的值为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【解析】如图：连接 因为中间是边长为2的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形， 所以，，，. 所以 . 故选：A 【典例1-2】（2024·高一·辽宁朝阳·期中）已知| ，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】由，得，即，则， 因此 ， 而， 所以当时，取得最大值2． 故选：A 【变式1-1】（2024·高一·湖北十堰·期末）如图，均为圆上的动点（可重合），为圆心，已知该圆的半径为1，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】. 因为，所以. 即的取值范围为. 故答案为： 题型二：坐标法 【典例2-1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从该窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形内角和为，若，则 ；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 2 【解析】，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系， 正八边形内角和为，则， 所以，，，，，，， ，，， 因为，则， 所以，解得，，所以； 设，则，，， 则， 所以，当点P在线段CD上时，取最大值． 故答案为：2；． 【典例2-2】（多选题）（2024·高一·江苏南通·阶段练习）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口，它的边长为1，则（    ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．点是正六边形内部（包括边界）的动点，的最小值为 【答案】AC 【解析】由正六边形性质可得相交与一点，记该点为， 则为的中点， 对于选项A：因为，故A正确； 如图，建立平面直角坐标系， 则， 对于B，因为， 所以， 所以，故B错误； 对于C，， 所以向量在向量上的投影向量为， 又， 所以向量在向量上的投影向量为，C正确； 对于D，设，可知， 则， 可得， 所以当时，即当点与点重合时，取最小值，最小值为，故D错误. 故选：AC. 【变式2-1】（2024·高一·天津·阶段练习）已知向量，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，则， 可得， 因为，则，可得， 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式2-2】（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以O为坐标原点（是中点），建立如图所示的直角坐标系， 因为在矩形中，，，，， 所以动点在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则, ， 其中锐角满足，故的最大值为, 故选：A. 题型三：基底法 【典例3-1】（2024·高一·辽宁大连·期中）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为2，点满足，则 ；若点是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为 ． 【答案】 2 6 【解析】由题意得，， ∴， ∴， 又以及正六边形的几何特征可知为的中点， 则 ， 要使最大，可知当在处时，最大，此时最大， 即. 故答案为：；． 【典例3-2】（2024·高一·湖南常德·期中）如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段上运动（包括端点）且，若的面积为．则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设，则， 所以， 得，又， 所以，得，解得， 所以，故，， 设，则， 所以， 则 ， 当时，取得最小值，且为. 故选：B 【变式3-1】（2024·高一·浙江·期中）如图，在四边形中，，，为线段上一个动点（含端点），，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 故， 又，因不共线， 所以，故，所以， 因为，故， 故选：C. 【变式3-2】（2024·高一·湖南·期中）的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】由O为的重心，得延长线必过的中点， 则，由，，得，， 即，又E，O，F三点共线，因此， 即，又，则， 即，当且仅当时取等号， 则xy的最小值是. 故选：C 题型四：几何意义法 【典例4-1】（2024·高一·上海·期中）已知线段经过半径为12的圆的圆心，且，，若，为此圆上的两个动点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】构建如下图示，以为原点的直角坐标系，且， 由圆的半径为12， 要使最小，需要至少保证反向共线， 而时恰好满足要求，故最小值为； 要使最大，需要至少保证同向共线，如上图， 所以，只需保证最大即可， 由于是中点，此时圆心到的距离相等，如上图， 所以直线与圆相交弦长相等，即， 根据圆的对称性知，故， 由，则，故， 所以，即最大值为； 综上， 故答案为： 【典例4-2】（2024·高一·上海·期末）在平面内，若有，，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由向量，，可得， 可得，所以， 如图所示，作，则，且， 连接，取的中点，连接，则， 因为，可得，所以， 作，连接，则，所以， 所以点在以为直径的圆上， 所以当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，此时最大， 由，, 因为，且，所以， 所以在上的最大投影为， 所以. 故答案为：. 【变式4-1】（2024·高一·上海闵行·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由八卦图的对称性可得， 故 . 设到的距离为，则， 解得. 又 . 又即在上的投影， 其最大值为， 最小值为. 故， 即. 故选： C 【变式4-2】（2024·高一·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由投影向量的定义可知，当在上时，取得最大值， 延长交的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故，， 故， 所以最大值为. 故选：B 题型五：极化恒等式 【典例5-1】（2024·高一·北京怀柔·期末）在直角三角形中，，点P在斜边的中线上，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：， 因为， 可得， 又因为点P在斜边的中线上，则， 所以. 故选：A. 【典例5-2】（2024·高一·浙江·期中）折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形，其中，，，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C． D．若，则 【答案】D 【解析】对于A：若，则可得，两边平方可得， 所以，所以，显然， 所以，所以，故A正确； 对于B：，故B正确 对于C：取的中点，连接， 则可得， 在，易得，所以， 所以，故C正确 对于D：若，，故D错误. 故选：D. 【变式5-1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中点为，连接，显然， 则 . 故选：A 【过关测试】 1．（2024·高一·北京·阶段练习）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 2．（2024·高一·福建福州·期中）已知平面向量，，满足，，，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，，且，， 所以， 所以， 令，， 所以， 其中，， 所以， 即的取值范围是． 故选：B． 3．（2024·高一·上海·期末）已知在中，是边上的一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，过点作的垂线，垂足为， 在上任取一点， 设，如图所示； 则由数量积的几何意义可得， ，， 于是恒成立， 整理得恒成立， 只需即可，于是， 因此我们得到，即是的中点， 是等腰三角形，即. 故选：D. 4．（多选题）（2024·高一·江苏·假期作业）平行四边形中，，，．动点满足，，，，下列选项中正确的有（    ） A．时，的取值范围是， B．时，存在使得 C．时，动点形成的轨迹的长为 D．且最大时，在上的投影向量为 【答案】AB 【解析】对于，若，则在线段上（含端点）， 所以的取值范围是，，故正确； 在平行四边形中，作， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 则， 所以，则， 对于，，则， 所以，由，得到， 所以动点形成的轨迹的长为，故错误； 对于，若，则，所以，， 所以令，解得，符合题意， 所以时，存在使得，故正确； 对于，过点作，若，则在上， 又因为最大，所以与重合，作， 则在上的投影向量为， 由，则在上的投影向量为，故错误． 故选：． 5．（多选题）（2024·高一·广东广州·阶段练习）在中，，点是等边（点与在的两侧）边上的一动点，若，则有（    ） A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的范围是 【答案】BCD 【解析】 如图，过中点作的平行线与的三边有两个交点，所以时，点有两种情况，故A错； 在三角形中由余弦定理得, 解得，则，， ， 以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴建系， ，，，，，，，，， 当点在上时，， 当点在上时，设，， ， 则，，， 所以当时，最大为， 当点在上时，设，， ， 则，，， 当时，最大为， 综上可得，当点在点处时最大为，故B正确； 根据数量积的几何意义可得，当点在点处时最小， 此时，故C正确； 取中点，则， 因为，所以，故D正确. 故选：BCD. 6．（2024·高一·辽宁沈阳·期中）设是单位向量，且，则的范围为 【答案】 【解析】由可得，， 即， 从而， 又是单位向量，所以， 设，， 则 ， 当与同向时，取得最小值， 当与反向时，取得最大值， 故答案为：. 7．（2024·上海崇明·一模）正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点．点为平面上一点，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】如图，以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴，以过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，则, 所以， 所以，即点的坐标为， 设，则（）， 所以， 所以 ， 所以当，且时，取得最小值， 故答案为： 8．（2024·高一·四川成都·期末）已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设，，， 以所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系， 因为，，与的夹角为， 所以，，设， 即，，， 所以，， 因为，所以，即， 圆心坐标为，半径，表示点到坐标原点的距离即为圆上的点到坐标原点的距离， 因为圆心到原点的距离为，所以. 故答案为：. 9．（2024·高一·福建漳州·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形内角和为，若，则的值为 ；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 设正八边形的边长为2， 则， ， 由得， 即，解得， 故； 由投影向量可知，当在线段上时，取的最大值， 最大值为， 当在线段上时，取的最小值， 最小值为， 故的取值范围是. 故答案为：， 10．（2024·高一·福建漳州·期中）已知向量夹角为，，对任意，有恒成立，若为实数，则的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】由题意知，对任意，有恒成立， 因为，平方展开得， 即对任意恒成立， 所以，所以， 所以，所以， 又由向量夹角为，且，可得， 可得，则， 所以， 所以，当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 11．（2024·高一·河南郑州·期中）已知平面四边形ABCD满足，且，则的最大值为 ． 【答案】5 【解析】设，则， 因为，，所以， 所以， ， ， 所以 ， 所以当，即时，有最大值5， 故答案为：5 12．（2024·高一·广东佛山·期中）如图，在中，已知，，为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设，则，由图可得， 所以， 则，所以当时，的最小值为， 故答案为： 13．（2024·高一·贵州毕节·阶段练习）在等腰直角中，，，M，N为AC边上的两个动点，且满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设，则，， ，， 所以， ， ，， 当时，取得最小值，当或时，取得最大值， 所以的取值范围为. 故答案为： 14．（2024·高一·安徽合肥·期中）如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围 ． 【答案】 【解析】设, 则，. 以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系, 则，, 所以. 令，，则，. 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又，所以在上的值域为， 所以. 故答案为：. 15．（2024·高一·辽宁大连·期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形的边长为，点P是正八边形边上的一点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由题意知，每个三角形的顶角为，， 作垂直的延长线于点M，根据正八边形的特征知，， 设与所成的角为，则， 所以， 由的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 16．（2024·天津和平·三模）已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示 ；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为 ． 【答案】 【解析】根据题意，可得， 由点是中点，可得， 所以， 向量在向量上的投影向量， 因为，所以， 所以向量在向量上的投影向量的模为： ， 当且仅当，即时取等号， 所以向量在向量上的投影向量的模的最小值为. 故答案为：①；②. 17．（2024·高一·福建厦门·期中）如图，四边形ABCD中，，，且，． (1)求角B值的大小； (2)已知M，N是线段BC上的两个动点，且，求的最小值． 【解析】（1），可得，且， ， 又，． （2）过作于，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 设，，， 则：，， ， 由可得时，. 18．（2024·高一·浙江杭州·期中）在中，点在边上，，，，． (1)求的模； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)若点在边上，求的范围． 【解析】（1）由，可得，所以， 可得， 所以； （2）， 又， 所以； （3）设边的中点为，连接， ， 由余弦定理可得， 到的距离为，所以， 所以. 19．（2024·高一·江苏南通·阶段练习）如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的两点，，．    (1)若，，，求的范围； (2)若，求的最小值； (3)若，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得最大．若存在，求BH的长；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由，，故，，则， ， 由，故； （2）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 设，， 则，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为； （3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，，，即， 假设存在点H，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为，此时不可能最大，故， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即存在，且. 20．（2024·高一·重庆·阶段练习）如图所示，为等边三角形，，为的内心，点在以为圆心，为半径的圆上运动. (1)求出的值. (2)求的范围. (3)若，当最大时，求的值. 【解析】（1）以为原点，为轴建立平面直角坐标系如图所示． 由正弦定理得外接圆半径，则，进而可得，． 因为点在以为圆心，为半径的圆上运动，故设， 则，，， 所以 ． （2）由（1）知， 又因为，所以， 即. （3）因为 ， 所以， 代入整理得，， 显然，两边同时除以， 得， 令，，则， 即， 所以，即， 解得，所以（即）的最大值为． 此时，所以， 所以，，所以. 21．（2024·高一·青海海东·阶段练习）如图，扇形所在圆的半径为3，它所对的圆心角为，点满足，点是线段上的一点，，点是弧上的一点.    (1)若点是弧的中点，求与夹角的余弦值； (2)求的最小值. 【解析】（1）因为，，扇形所在圆的半径为3， 所以，， ， 所以，又点是弧的中点，所以， ， 所以. （2）设，则， . 因为，所以当时，的最小值为. 22．（2024·高一·河南信阳·期中）如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. (1)求的值； (2)若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【解析】（1）由于正三角形中，为边的中点， 所以，，，， 故 ， 由于，所以， 故. （2）记，，，，又， 则， 设，其中，则， ， 所以 ，， 当且仅当即时，取最小值. 23．（2024·高一·福建福州·期中）如图，在菱形中，，是的中点，且． (1)求； (2)以为圆心，2为半径作圆弧，点是弧上的一点，求的最小值． 【解析】（1）因为，， 所以， 所以， 所以，又，所以． 为等边三角形，又是中点， ，是直角三角形，，， ，； （2）以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 则，，设， 所以，， 所以， 其中，，，故， 故当时，取最小值， 所以，此时． 24．（2024·高一·广东佛山·期中）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 【解析】（1）依题意，， ， ； （2） 以O为坐标原点，以OA、OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，，， 由，可得，又P是BC中点，可得， 又，因为A、C、D三点共线，所以，解得，所以， ∴，则. （3）由已知， 因P是线段BC上动点，则令， ， 又不共线，则有， ， ，在上递增， 所以， 故的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$