期末强化练11 高频考点预测19种常见考法归类（73题）-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 期末强化练11 高频考点预测19种常见考法归类（73题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1、 集合 二、复数 三、基本不等式 四、函数的概念与性质 五、比较大小 六、函数图象的识别 七、三角函数的定义 八、诱导公式与三角恒变换 九、平面向量的坐标运算 十、用基底表示向量 十一、空间几何体的表面积和体积 十二、线面位置关系的判断 十三、频率分布直方图的应用 十四、事件的判断 十五、平面向量大题 十六、解三角形大题 十七、古典概型与独立事件大题 十八、立体几何大题 十九、新定义题 一、集合 1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若集合，，，则集合（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·四川·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知集合, ,则 （    ） A． B． C． D．或 二、复数 5．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知复数z满足，则复数z的虚部为（    ） A． B． C． D．2 6．（23-24高二下·浙江台州·期末）复数及其共轭复数满足（其中i是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知复数满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．【多选】（23-24高一下·湖北武汉·期末）设复数，则下列命题结论不正确的是（    ） A．的虚部为1 B． C．在复平面内对应的点在第四象限 D．是方程的根 三、基本不等式 10．【多选】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11．【多选】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）若实数，满足，以下选项中正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为15 D．的最小值为 四、函数的概念与性质 12．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“函数在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（23-24高二下·河北保定·期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·浙江·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，若函数的图象关于点成中心对称图形，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·浙江·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（    ） A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55 五、比较大小 16．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 17．（2018·江西新余·一模）故，，，则a，b，c的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 18．（2024·宁夏银川·一模）若，设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 六、函数图象的识别 19．（22-23高三上·河北保定·期末）函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·陕西安康·模拟预测）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   21．（23-24高一上·四川乐山·期中）函数的大致图象是（    ） A．B． C．D． 七、三角函数的定义 22．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．11 B． C．10 D． 23．（2023·福建福州·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，为其终边上一点，则（   ） A． B．4 C． D．1 八、诱导公式与三角恒变换 24．（21-22高三上·广东深圳·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 25．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 九、平面向量的坐标运算 28．【多选】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知平面向量，，则（    ） A．当时， B．若，则 C．若，则D．若与的夹角为钝角，则 29．【多选】（23-24高二上·广东广州·期末）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．“”是“与夹角为钝角”的充要条件 D．若，则在上的投影向量的坐标为 十、用基底表示向量 30．（23-24高一下·山东·期末）如图，在梯形中，分别为的中点，若，其中，则的值为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·北京房山·期末）如图，在中，点，满足，，则（    ） A． B． C． D． 十一、空间几何体的表面积和体积 33．（23-24高一下·湖北武汉·期末）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm，高为20cm．首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为1cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦．每位同学制作四片瓦，全年级共1000人，需要准备的粘土量（不计损耗）约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 34．（23-24高一下·河南郑州·期末）已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一下·四川成都·期末）我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童中，，平面与平面之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（    ） A．36 B．46 C．56 D．66 36．（2023·湖南益阳·模拟预测）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是（    ） A． B． C． D． 十二、线面位置关系的判断 37．【多选】（23-24高一下·广西南宁·期末）在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，则 38．【多选】（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知，是空间中两条不同的直线，，是不同的两个平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 39．【多选】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知直线m，n为异面直线，平面，平面，则下列线面关系可能成立的是（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 十三、频率分布直方图的应用 40．【多选】（22-23高二上·湖南长沙·阶段练习）为迎接党的二十大胜利召开，某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照､分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（    ） A． B．得分在区间内的学生人数为200 C．该校学生党史知识竞赛成绩的中位数大于80 D．估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间内 41．【多选】（2023·山东淄博·一模）某学校为普及安全知识，对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（    ） A．图中的值为0.016 B．估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间 C．该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人 D．该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80 十四、事件的判断 42．【多选】（23-24高一下·江苏宿迁·期末）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件是互斥事件 B．事件A与事件是互斥事件 C．事件A与事件相互独立 D．事件与事件是对立事件 43．【多选】（23-24高二下·浙江温州·期末）某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从中随机取两个球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是（    ） A．若不放回取球，则甲乙相互独立 B．若有放回取球，则甲乙相互独立 C．若不放回取球，则甲乙为互斥事件 D．若有放回取球，则甲乙为互斥事件 44．【多选】（22-23高一上·辽宁大连·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.若在信道内依次发送信号1，0，为了检验，收到信号的一端将收到的信号发回到输入端.下列说法正确的是（    ） A．“收到的信号为1，0”是“传回的信号为1，0”的充分条件 B．“收到的信号为1，0”与“传回的信号为1，0”不一定是相互独立的 C．若，则事件“传回的信号为1，0”的概率一定大于0.25 D．若，，则事件“传回的信号为1，0”的概率为31.68% 45．【多选】（23-24高二上·山东淄博·期末）若，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与相互独立 C．事件与不互斥 D． 46．【多选】（23-24高二上·广东珠海·期末）袋子中有1个红球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球，从中取三次球，每次取一个球，取球后不放回，设事件，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．A与B相互独立 D． 十五、平面向量大题 47．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）已知向量，，设. (1)求的最小正周期； (2)若，，求的值. 48．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）已知平面向量，． (1)求的值； (2)若向量与夹角为，求实数的值． 49．（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知向量，． (1)若，求； (2)若，且，求． 50．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知向量，，在同一平面上，且． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，且与垂直，求k的值． 十六、解三角形大题 51．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的取值范围． 52．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积． 53．（23-24高一下·湖北十堰·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)在锐角中，角所对的边分别为，且，求面积的取值范围. 54．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 55．（21-22高二上·贵州黔东南·期末）如图，在中，已知点在边上，且，，，．    (1)求的长； (2)求． 56．（22-23高一下·上海闵行·期末）上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.    (1)当米时，求分隔栏的长； (2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值. 十七、古典概型与独立事件大题 57．（23-24高一下·江苏南京·期末）为了解某地居民的月收入情况，某社会机构调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每组数据以区间中点值为代表. (1)求频率分布直方图中a的值. (2)求月收入的平均数、75 百分位数. (3)现按月收入分层， 在[2000， 3000)和[3000， 4000)这两个收入段中， 按比例分配分层随机抽样方法抽出6人进一步了解情况，再从中任选2人进行专访.求选中的2人来自不同收入段的概率. 58．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. (1)求这200户居民本次问卷评分的中位数； (2)若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ (3)按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 59．（22-23高一下·甘肃庆阳·期末）为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 60．（22-23高一下·云南文山·期末）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，，各项目的比赛结果相互独立，甲得0分的概率是，甲得6分的概率是 (1)求，的值； (2)甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性大?并说明理由． 十八、立体几何大题 61．（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，是线段的中点.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与底面所成角的正切值. 62．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱台中，平面，为等腰直角三角形，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 63．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 64．（23-24高二上·北京平谷·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为平行四边形，，，，是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 65．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，点M为PB的中点． (1)求证：平面PAD； (2)求二面角的余弦值． 66．（23-24高一下·广东江门·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求侧面与底面所成二面角的余弦值． 67．（23-24高一下·河南郑州·期末）在四棱锥中，平面平面为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 68．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，是边长为2的正三角形，，是中点，过点，，的平面与交于点. (1)求证：； (2)求证：； (3)求二面角的正切值. 69．（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，在斜三棱柱中，侧面为菱形，，为中点，与的交点为. (1)求证：//平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的正弦值. 十九、新定义题 70．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”. (1)若是位差值为的位差奇函数，求的值； (2)已知，，若存在，使得是位差值为m的“位差奇函数”. ①求实数t的取值范围； ②设直线与函数的图象分别交于A、B两点，直线与函数的图象分别交于C、D两点，若存在，且，使得，求实数m的取值范围． 71．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）定义非零向量，若函数解析式满足，则称为向量的“件生函数”，向量为函数的“源向量”． (1)已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k的取值范围； (2)已知点满足，向量的“伴生函数”在时取得最大值，当点A运动时，求的取值范围； (3)已知向量的“件生函数”在时的取值为．若中，，点O为该三角形的外心，求的最大值． 72．（23-24高一下·湖南常德·期中）对于函数，，如果存在实数，，使得，那么称函数为的“重组函数” (1)已知，，是否存在实数，，使得是的重组函数？若存在，求出，，；若不存在，试说明理由． (2)当，时，求的重组函数的值域． (3)当，时，的重组函数有唯一的零点，求实数的取值范围． 73．（23-24高一下·广东广州·期中）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意x，存在实数a使得成立，则称此函数具有“性质”． (1)判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有a的值；若不具有“性质”，请说明理由． (2)已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值． (3)设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2023个，求m的值． $$2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 期末强化练11 高频考点预测19种常见考法归类（73题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1、 集合 二、复数 三、基本不等式 四、函数的概念与性质 五、比较大小 六、函数图象的识别 七、三角函数的定义 八、诱导公式与三角恒变换 九、平面向量的坐标运算 十、用基底表示向量 十一、空间几何体的表面积和体积 十二、线面位置关系的判断 十三、频率分布直方图的应用 十四、事件的判断 十五、平面向量大题 十六、解三角形大题 十七、古典概型与独立事件大题 十八、立体几何大题 十九、新定义题 一、集合 1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，结合交集运算即可求解. 【详解】． 故选：B 2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若集合，，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集、并集的定义计算可得. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：C 3．（23-24高三下·四川·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】改写集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为， ， 因为与的最小公倍数为，故 . 故选：C. 4．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知集合, ,则 （    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】利用集合的补集运算计算即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选:A. 二、复数 5．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知复数z满足，则复数z的虚部为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先求出，再结合虚部定义可解． 【详解】，则，则，虚部为． 故选：D. 6．（23-24高二下·浙江台州·期末）复数及其共轭复数满足（其中i是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出复数的代数形式，结合共轭复数及复数相等求出即可. 【详解】设，由，得，即， 因此，所以. 故选：D 7．（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由共轭复数的定义求出，即可得对应点的坐标得答案． 【详解】∵， ∴，则 ∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D． 8．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知复数满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据共轭复数的定义和几何意义，即可求解. 【详解】由，则， 则，即在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A 9．【多选】（23-24高一下·湖北武汉·期末）设复数，则下列命题结论不正确的是（    ） A．的虚部为1 B． C．在复平面内对应的点在第四象限 D．是方程的根 【答案】BCD 【分析】利用复数的概念及运算就可以作出判断. 【详解】由，可得：， 所以的虚部为，即A是错误的； 由，可知，即B是正确的； 由可知在复平面内对应的点在第四象限，即C是正确的； 由方程的根为，即D是正确的； 故选：BCD. 三、基本不等式 10．【多选】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式及其变形式逐项分析判断即可. 【详解】对于A：因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：因为，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：因为， 所以，当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ACD. 11．【多选】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）若实数，满足，以下选项中正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为15 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式解决含有条件的最值问题，求解和为定值或乘积为定值. 【详解】对于选项A:因为实数，满足，所以， 即，当且仅当时，即时，取得最大值，故A正确； 对于选项B: 因为实数，满足， 所以， 当且仅当时，即时，取得最小值， 故B错误； 对于选项C: 因为实数，满足，所以， 当且仅当时，即时，又，所以，故C错误； 对于选项D:因为实数，满足， 所以， 则，当且仅当时，即时，取得最小值为，故D正确； 故选：AD. 四、函数的概念与性质 12．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“函数在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据二次函数性质分析可知若函数在上单调递减，等价于，根据包含关系结合充分、必要条件分析求解. 【详解】因为函数的图象开口向上，对称轴为， 若函数在上单调递减，等价于， 显然是的真子集， 所以“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 13．（23-24高二下·河北保定·期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解的值域，结合的值域为，分析的单调性、值域即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 故， 又因为的值域为， 则需满足， ，解得. 故选：B. 14．（23-24高二下·浙江·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，若函数的图象关于点成中心对称图形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为图象的对称中心，为奇函数，利用为奇函数，则，即可得出结果. 【详解】因为函数图象的对称中心为， 则 ， 因为为奇函数，所以， 即 ， 所以得， 解得，. 故选：B 15．（23-24高二下·浙江·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（    ） A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55 【答案】C 【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数. 【详解】根据题意由可得， 两式相除可得，即可得， 两边同时取对数可得，即可得； 即. 故选：C 五、比较大小 16．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助比较大小即可. 【详解】因为，，， 所以， 故选：A 17．（2018·江西新余·一模）故，，，则a，b，c的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数和对数函数的单调性得出即可. 【详解】， 所以， 故选：D 18．（2024·宁夏银川·一模）若，设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数定义域，判断奇偶性和单调性，比较的大小即可. 【详解】由题意知，由， 所以为偶函数，图象关于轴对称， 当时，由复合函数的单调性法则知随的增大而增大， 即 ， 单调递增， 因为，， 且，， 所以，所以， 即，也就是. 故选：D 六、函数图象的识别 19．（22-23高三上·河北保定·期末）函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合基本不等式判断函数在的最值，再结合图像判断. 【详解】时，恒成立，故C错误； 且时，，当且仅当时取等， 故在有最大值2，故B、D错误； 故选：A. 20．（2024·陕西安康·模拟预测）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】通过判断函数的奇偶性和在处的导函数值的正负即可得解. 【详解】的定义域为R，，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除B选项； 又， 所以，函数图象在处的切线斜率大于0，所以排除C、D选项； 故选：A. 21．（23-24高一上·四川乐山·期中）函数的大致图象是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】利用函数的性质判断函数图象 【详解】依题意，可得，则为奇函数，且当时，，则A，B，C均不正确， 故选：D． 七、三角函数的定义 22．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．11 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】由题意利用任意角的三角函数定义，可求得的值，代入计算即可. 【详解】因为角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合， 且角的终边经过点， 所以，， 所以. 故选：B. 23．（2023·福建福州·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，为其终边上一点，则（   ） A． B．4 C． D．1 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解． 【详解】始边与轴非负半轴重合，，为其终边上一点， 则，且，解得． 故选：D． 八、诱导公式与三角恒变换 24．（21-22高三上·广东深圳·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，利用诱导公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 25．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式即可求得答案. 【详解】由，可得. 故选：C. 26．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知利用两角和与差的余弦公式化简，再将两式相减可求得结果. 【详解】由，得， 由，得， 所以，得， 故选：B 27．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数关系得到和，再利用凑角法，正弦和角公式求出答案. 【详解】因为，都是锐角，所以， 故， 又，所以， 所以 . 故选：B 九、平面向量的坐标运算 28．【多选】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知平面向量，，则（    ） A．当时， B．若，则 C．若，则D．若与的夹角为钝角，则 【答案】ACD 【分析】根据向量加法坐标公式计算可判断A；根据向量平行的标公式计算即可判断B；根据向量垂直坐标公式计算即可判断C；根据向量数量积坐标公式计算即可判断D. 【详解】对A，当时，，所以，故A正确； 对B，若，则，解得，故B错误； 对C，若，则，解得，故C正确； 对D，若与的夹角为钝角，则且与不共线， 解得且，即，故D正确， 故选：ACD 29．【多选】（23-24高二上·广东广州·期末）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．“”是“与夹角为钝角”的充要条件 D．若，则在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【分析】A选项利用向量的模的坐标运算；B选项利用向量共线的坐标条件求解；C选项由共线反向特例可知；D选项结合数量积与单位向量表示投影向量即可. 【详解】选项A，若，则，所以，，，， 因此，，A项正确； 选项B，因为，.若，则，解得，B项正确； 选项C，因为，.若，则，其中当时，与共线且反向. 此时, “与的夹角为钝角”的必要不充分条件，C项错误； 选项D，若，则，又因为， 所以，， 因此，在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：ABD. 十、用基底表示向量 30．（23-24高一下·山东·期末）如图，在梯形中，分别为的中点，若，其中，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用平面向量基本定理和平行向量的知识可解出． 【详解】分别为的中点，， ， 而①，②， 联立①②得，. 故选：B. 31．（23-24高一下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解. 【详解】对A：由题意知，E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同， 则，故A正确； 对B：由图可知，，，所以， 故B正确； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：D. 32．（23-24高一上·北京房山·期末）如图，在中，点，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用向量的几何运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 十一、空间几何体的表面积和体积 33．（23-24高一下·湖北武汉·期末）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm，高为20cm．首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为1cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦．每位同学制作四片瓦，全年级共1000人，需要准备的粘土量（不计损耗）约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合圆柱体积公式求出四片瓦的体积，再求需准备的粘土量. 【详解】由条件可得四片瓦的体积（） 则1000名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为（），又， 所以共需粘土的体积为约为. 故选：A 34．（23-24高一下·河南郑州·期末）已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，高为，根据圆锥的表面积及弧长公式得到方程组，求出、，即可求出，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，高为， 则，解得（负值已舍去）， 所以， 所以圆锥的体积. 故选：A 35．（23-24高一下·四川成都·期末）我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童中，，平面与平面之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（    ） A．36 B．46 C．56 D．66 【答案】C 【分析】首先说明几何体为四棱台，再代入台体体积公式，即可求解. 【详解】由，，，，且， 则交于同一点，该“刍童”为四棱台，矩形的面积为, 矩形的面积为, 且上下底面的高为3，所以四棱台的体积. 故选：C 36．（2023·湖南益阳·模拟预测）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定雕刻的体积最大的球为正八面题的内切球，并确定球心和切点的位置，再根据等面积公式求内切球的半径，即可求解球的体积. 【详解】如图，设底面中心为，，中点分别为，，连接，，，，，， 设金刚石的边长为，则由题知，，所以， 在等边中，边上的高， 在中，， 由题可知，最大球即为金刚石的内切球，由对称性易知球心在点，与面的切点在线段上， 球的半径即为截面内切圆的半径，设内切圆半径为， 由等面积法可知：，解得，所以内切球的半径为 则内切球体积为 故选：D． 十二、线面位置关系的判断 37．【多选】（23-24高一下·广西南宁·期末）在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据线面关系基本定理举反例判断A；根据线面关系基本定理举反例判断B；根据线面关系基本定理举反例判断C；根据线面关系基本定理判断D． 【详解】对于A，，，可能，不一定，所以A错； 对于B，，，可能有，不一定，所以B错； 对于C，，，可能有或等，未必有，所以C错； 对于D，设，取不在、、、上点，过作交于，作交于， ，，，设与确定的平面交于点，连，，，， ，，为二面角的平面角， 四点、、、共圆； ，所以D对． 故选：ABC． 38．【多选】（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知，是空间中两条不同的直线，，是不同的两个平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关定理对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，由于，，所以，所以A选项正确. B选项，由于，，所以， 由于，所以，所以B选项正确. C选项，若，，则可能平行、相交或异面，所以C选项错误. D选项，若，，则，所以D选项错误. 故选：AB 39．【多选】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知直线m，n为异面直线，平面，平面，则下列线面关系可能成立的是（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】AD 【分析】根据线面垂直、面面垂直、面面平行的相关性质一一判断即可. 【详解】对AD，当平面平面，且时，两直线可以为异面直线，故AD正确； 对C，若平面平面，则，则共面，这与直线m，n为异面直线矛盾，故C错误； 对B，当平面时，则平面平面，此时与C错误一致，故B错误. 故选：AD. 十三、频率分布直方图的应用 40．【多选】（22-23高二上·湖南长沙·阶段练习）为迎接党的二十大胜利召开，某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照､分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（    ） A． B．得分在区间内的学生人数为200 C．该校学生党史知识竞赛成绩的中位数大于80 D．估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间内 【答案】ABD 【分析】根据频率分布直方图的性质直接计算即可. 【详解】对于A，由频率分布直方图性质得：，解得，故正确； 对于B，由频率分布直方图得：成绩落在区间的频率为，所以人数为，故B正确； 对于，由频率分布直方图得：的频率为的频率为，所以成绩的中位数位于区间内，故错误； 对于D，估计成绩的平均数为：，所以成绩的平均数落在区间内，故D正确. 故选：ABD. 41．【多选】（2023·山东淄博·一模）某学校为普及安全知识，对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（    ） A．图中的值为0.016 B．估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间 C．该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人 D．该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80 【答案】BCD 【分析】根据频率分布直方图性质可得，判断A错误；计算出得分介于60至90之间的频率，判断B正确；利用1500乘以得分不小于90频率，判断C正确；计算得分介于50至80之间的频率判断D正确. 【详解】由频率分布直方图性质可得： ，解得，故A错误； 得分介于60至90之间的频率为，故B正确； 得分不小于90的人数估计为，故C正确； 得分介于50至80之间的频率为，故D正确. 故选：BCD. 十四、事件的判断 42．【多选】（23-24高一下·江苏宿迁·期末）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件是互斥事件 B．事件A与事件是互斥事件 C．事件A与事件相互独立 D．事件与事件是对立事件 【答案】AC 【分析】根据题意利用列举法求和，结合互斥事件、独立事件和对立事件的定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：样本空间， 则，可得， 对于选项A：因为，所以事件A与事件是互斥事件，故A正确； 对于选项B：因为，所以事件A与事件不是互斥事件，故B错误； 对于选项C：由选项B可知，则， 可知，所以事件A与事件相互独立，故C正确； 对于选项D：因为， 所以事件与事件不是对立事件，故D错误； 故选：AC. 43．【多选】（23-24高二下·浙江温州·期末）某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从中随机取两个球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是（    ） A．若不放回取球，则甲乙相互独立 B．若有放回取球，则甲乙相互独立 C．若不放回取球，则甲乙为互斥事件 D．若有放回取球，则甲乙为互斥事件 【答案】ACD 【分析】先求出放回和不放回的样本空间和相应事件甲和乙以及它们交事件的样本空间，进而可求出各事件发生的概率，从而根据样本点和概率以及互斥事件和独立事件的定义即可求解. 【详解】由题记样本点为，分别表示第一次和第二次取到的球， 将3个白球2个黑球分别标记为和， 则放回抽样样本空间为 共25个样本点， 甲事件样本空间为， 共10个样本点，则； 乙事件样本空间为 共15个样本点，则， 则共6个样本点， 故甲乙不为互斥事件，且即甲相互独立，故B对、D错； 不放回抽样样本空间为 共20个样本点， 甲事件样本空间为， 共8个样本点，则； 乙事件样本空间为 共12个样本点，则， 则共6个样本点， 故甲乙不为互斥事件，且即甲不相互独立，故A、C错. 故选：ACD. 44．【多选】（22-23高一上·辽宁大连·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.若在信道内依次发送信号1，0，为了检验，收到信号的一端将收到的信号发回到输入端.下列说法正确的是（    ） A．“收到的信号为1，0”是“传回的信号为1，0”的充分条件 B．“收到的信号为1，0”与“传回的信号为1，0”不一定是相互独立的 C．若，则事件“传回的信号为1，0”的概率一定大于0.25 D．若，，则事件“传回的信号为1，0”的概率为31.68% 【答案】BC 【分析】A选项，计算出收到信号为1，0和传回信号为1，0的概率，故“收到的信号不为1，0”时，“传回的信号也可能为1，0”，A错误；B选项，设传回信号为1，0为事件A，收到信号为1，0为事件B，计算出则，与，举出反例得到不一定等于，故B错误；C选项，得到，由基本不等式得到，C正确；D选项，代入计算即可. 【详解】A选项，收到信号为1，0的概率为，则传回信号为1，0的概率为， 即“收到的信号不为1，0”时，“传回的信号也可能为1，0”， 显然“收到的信号为1，0”不是“传回的信号为1，0”的充分条件，A错误； B选项，收到信号为0，0的概率为，则传回信号为1，0概率为， 收到信号为1，0的概率为，则传回信号为1，0的概率为， 收到信号为0，1的概率为，则传回信号为1，0的概率为， 收到信号为1，1的概率为，则传回信号为1，0的概率为， 所以传回信号为1，0概率为， 设传回信号为1，0为事件A，收到信号为1，0为事件B， 则，， ， 则不一定等于， 比如当时， ， 而， 故“收到的信号为1，0”与“传回的信号为1，0”不一定是相互独立的，B正确； C选项，由得，， 而，而，即不能取等号，故， 所以，C正确； D选项，由，， 则 ，D错误. 故选：BC. 【点睛】结论点睛：当时，两事件独立， 反之，当两事件独立时，. 45．【多选】（23-24高二上·山东淄博·期末）若，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与相互独立 C．事件与不互斥 D． 【答案】BC 【分析】 利用对立事件概率计算判断A；利用相互独立事件的定义判断B；利用互斥事件的意义判断C；利用概率的基本性质计算判断D. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，由，，，得，事件与相互独立，B正确； 对于C，由，得事件与可以同时发生，则事件与不互斥，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 46．【多选】（23-24高二上·广东珠海·期末）袋子中有1个红球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球，从中取三次球，每次取一个球，取球后不放回，设事件，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．A与B相互独立 D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用列举法，结合古典概率逐项计算判断即得. 【详解】红球，黄球，蓝球，黑球分别记为，不放回取球三次的试验的样本空间： ，共24个，它们等可能， ，共6个，，共6个， ，共6个，，共2个， ，共10个， ，AB正确； ，A与B相互不独立，C错误； ，D正确， 故选：ABD 十五、平面向量大题 47．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）已知向量，，设. (1)求的最小正周期； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的坐标运算可得，然后将其化为基本型，即可求出周期； （2）由题意可得，由，求出的范围，再由三角函数的平方关系求出，则，由两角和的正弦公式化简即可得出答案. 【详解】（1）因为 ， 所以函数的最小正周期； （2）， ， ， 故 . 48．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）已知平面向量，． (1)求的值； (2)若向量与夹角为，求实数的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据题意，由平面向量坐标运算的模长公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由平面向量坐标运算的夹角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，， 所以， 故． （2）因为，且， 所以， 于是有， 即， 则，其中，解得或． 49．（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知向量，． (1)若，求； (2)若，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示求出，再由二倍角公式计算可得； （2）由数量积的坐标表示、两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可求出，最后根据两角和的余弦公式计算可得. 【详解】（1）因为，且， 所以，则， 所以. （2）因为，且， 所以，则， 所以，则，所以， 又，所以，所以， 所以 . 50．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知向量，，在同一平面上，且． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，且与垂直，求k的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据向量平行设出，利用坐标表示向量的模进行求解； （2）求出向量的坐标，利用数量积的坐标运算，结合两向量垂直数量积等于，进而求解． 【详解】（1）∵，设， ∵，即，， 或. （2），，，， ，， 即， 即， 则. 十六、解三角形大题 51．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理及诱导公式，即可求得，得角即可； （2）由正弦定理，将边全部化为角，利用三角函数来求值域即可． 【详解】（1）根据题意得，， 由正弦定理得，， 即， 即， 因为，则则， 则，，则． （2）由正弦定理得，，所以． 所以，， 因为锐角，则，即，解得． 则，故． 所以，则的取值范围． 52．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得到，再由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，即可求解； （2）由（1）及，利用余弦定理，列出方程求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：由余弦定理得， 因为，可得， 又由正弦定理得， 即，可得，又因为，可得. （2）解：由（1）知，由余弦定理知， 将，代入化简得，解出或（舍去）， 所以的面积． 53．（23-24高一下·湖北十堰·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)在锐角中，角所对的边分别为，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）图象求出周期，可得，再由图象过点得出即可； （2）由正弦定理边角转换，根据三角函数求出的取值范围，代入面积公式即可得解. 【详解】（1）由对称性知为函数的对称轴， 所以，则，解得. 因为，所以. 因为的图象经过点，所以， 所以，解得. 因为，所以. 因为的图象经过点，所以，解得. 故. （2）由（1）可得，则. 因为是锐角三角形，所以，所以，则. 故的面积. 由正弦定理可得，则. 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以，则，即. 故的面积. 54．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值. （2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. 【详解】（1）在中，，，则、均为锐角， 则，， . （2）在中，由正弦定理得，， 由，得，在中，由余弦定理得：， 所以. 55．（21-22高二上·贵州黔东南·期末）如图，在中，已知点在边上，且，，，．    (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量数量积可知，结合诱导公式可得，在中利用余弦定理可构造方程求得，结合三角形大边对大角的性质可得最终结果； （2）由同角三角函数关系可得，在中利用正弦定理可求得，结合诱导公式可求得结果. 【详解】（1），，， 在中，由余弦定理得：， 即，， 解得：或； ，，，. （2）由（1）知：，， 在中，由正弦定理得：， ，. 56．（22-23高一下·上海闵行·期末）上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.    (1)当米时，求分隔栏的长； (2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值. 【答案】(1)米 (2)平方米 【分析】（1）首先求出，在中，利用余弦定理求出； （2）在中，先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 所以的长为米； （2）因为，， 设，，则， 在中，由正弦定理得， 所有， 则 ， 当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米. 十七、古典概型与独立事件大题 57．（23-24高一下·江苏南京·期末）为了解某地居民的月收入情况，某社会机构调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每组数据以区间中点值为代表. (1)求频率分布直方图中a的值. (2)求月收入的平均数、75 百分位数. (3)现按月收入分层， 在[2000， 3000)和[3000， 4000)这两个收入段中， 按比例分配分层随机抽样方法抽出6人进一步了解情况，再从中任选2人进行专访.求选中的2人来自不同收入段的概率. 【答案】(1) (2)4800，5800 (3) 【分析】（1）利用所有小矩形的面积之和为1,即可求a的值； （2）根据频率分布直方图估计平均数和第75百分位数作答； （3）求出给定的两个区间的人数，再利用列举法求出概率作答. 【详解】（1）由，解得， （2）设月收入的平均数为x,则 ， 设75 百分位数为m，则 ， 解方程得. （3）在[2000， 3000)的人数为人 在[3000， 4000)的人数为人 按比例分配分层随机抽样方法抽出6人中，在[2000， 3000)中抽2人，记为；在[300， 400)中抽4人； 从6人中任选2人结果有 ,共有15个； 选中的2人来自不同收入段有共有8个， 所以选中的2人来自不同收入段的概率为. 58．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. (1)求这200户居民本次问卷评分的中位数； (2)若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ (3)按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 【答案】(1). (2)480 (3). 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，解出的值，再根据中位数的公式计算得出结果； （2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户数； （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取的户数，再从这5户中任意选取2户，利用古典概型，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率； 【详解】（1）由图知，，解得. 评分在的频率为； 评分在的频率为，故中位数在之间. 设这200户居民本次问卷评分的中位数为， 则， 解得， 故这200户居民本次问卷评分的中位数为. （2）由图知，评分在的频率为， 故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4， 估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户. （3）由（1）知，评分在的频数为， 评分在的频数为. 按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户， 则评分在内被抽取户， 分别记为，评分在内被抽取户，分别记为. 从中任意选取2户，有，共10种选法， 其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有，共9种， 这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 59．（22-23高一下·甘肃庆阳·期末）为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件概率即可得到答案； （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件的概率即可， 【详解】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件， 则. 因为事件“甲两次都没有击中目标”即为事件， 则所求的概率为. （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件， 则. 所以事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标”表示为， 所以所求的概率为 60．（22-23高一下·云南文山·期末）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，，各项目的比赛结果相互独立，甲得0分的概率是，甲得6分的概率是 (1)求，的值； (2)甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性大?并说明理由． 【答案】(1) (2)甲获得最终胜利的可能性大． 【分析】（1）根据题意列出等式联立求解即可； （2）根据题意计算甲得4分或者6分的概率，进而可判断胜负可能性. 【详解】（1）由题意可得，即，则. 又，故，解得 （2）由题意可得3个项目一共6分，总共4分或6分者即可取胜，又甲得4分的概率， 所以甲得4分或6分的概率. 故乙得4分或6分的概率为， 因为，所以甲获得最终胜利的可能性大． 十八、立体几何大题 61．（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，是线段的中点.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与底面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接交于，连接，先证明，再通过线面平行的判断定理即可； （2）先证明平面，即为三棱锥的高，再通过三棱锥的体积公式计算即可； （3）取中点，连接，，证明底面，即为直线与底面所成角的平面角，求解即可. 【详解】（1）连接交于，连接， 底面是正方形， 为中点，又是线段的中点， ， 又平面，平面， 平面. （2）因为底面， 且底面， 所以， 又因为， 且平面,, 所以平面. 所以根据三棱锥的体积公式： . （3）取中点，连接，， ，分别为，中点， ，又底面， 底面， 为直线与底面所成角的平面角， ，， ， 直线与底面所成角的正切值为.    62．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱台中，平面，为等腰直角三角形，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助平行四边形的性质及平行线的传递性证明,再利用线面平行的判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理证明平面，利用等体积法求出三棱锥的体积，根据梯形的性质求出，即可得解 【详解】（1）由三棱台的结构特征可知平面平面，， 因为为等腰直角三角形，，为的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形， 得．同理可证，则． 又平面，平面，所以平面． （2）由题易知，， 又，平面，平面, 所以平面． 连接， 易得， 则． 在梯形中，，，， 作，则， 所以． 设点到平面的距离为， 所以，解得， 所以点到平面的距离为． 63．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取线段、的中点分别为、，连接、、，然后四边形为平行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行； （2）根据线面角的定义，可由几何图形作出线面角，然后根据三角形求解即可. 【详解】（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、， 则 ，， 又底面是正方形，即 ， 则，即四边形为平行四边形， 则，又在平面外，平面， 故平面.   （2）取线段的中点为点，连接、， 又，底面是边长为的正方形， 则，且，， 又二面角的大小为， 即平面平面， 又平面，平面平面， 则平面， 则是直线与平面所成角， 在中，， 即， 故直线与平面所成角的大小为. 64．（23-24高二上·北京平谷·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为平行四边形，，，，是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行； （2）借助等体积法求点到面的距离. 【详解】（1）如图：连接，交于，连接， 因为四边形是平行四边形，所以为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 又，，平面，，所以平面， 平面，所以. 所以底面为矩形. 因为为中点，所以、到平面的距离相等，设为. 由， 而，， 中，，，，所以是直角三角形，且， 所以，即为所求. 65．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，点M为PB的中点． (1)求证：平面PAD； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据中点特征，平面PAD内找一条与平行的直线，运用中位线性质和平行线传递性，证明线线平行，最终得到线面平行即可； （2）运用中点特征，作辅助线找出二面角的平面角后，转化用余弦定理来解三角形即可． 【详解】（1）如图，取中点，连接． 由于点M为PB的中点，则，且，且， 故四边形为平行四边形，则. 又，，则平面PAD． （2）如图， 由于平面平面， 为两平面交线，且，平面， 则平面，平面，则，； 取中点O，连接DO，OP，则， ，且， 则四边形DOBC为正方形，则，由（1）知道， 平面，故平面． 又，则，则两两垂直． 可以求得，，， 则和都为等腰三角形. 取DB中点R， 连接CR，RP，则 则∠CRP即为二面角P−BD−C的平面角. ，，前面已经求得，． 在中，用余弦定理得， 由图可知，二面角为钝角，则余弦值为． 66．（23-24高一下·广东江门·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求侧面与底面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）由面面垂直的性质定理即可证明线面垂直； （2）证法一：由平面得，结合，由线线垂直即可证明平面；证法二：由平面可得平面平面，由面面垂直的性质定理即可证明平面； （3）取，的中点分别为，，连接，，，可得是侧面与底面所成二面角的平面角，然后在直角三角形中求解即可. 【详解】（1）在正方形中，，                                 又侧面底面，侧面底面， 底面， 所以平面； （2）证法一：因为平面，平面， 所以，    因为是正三角形，是的中点，所以， 又，，平面， 所以平面；            证法二：因为平面，又平面， 故平面平面， 因为是正三角形，是的中点，所以，    又平面平面，平面， 故平面； （3）取，的中点分别为，，连接，，，    则，， 因为，所以， 又在正中，， 因为，，平面， 所以平面， 正方形中，，平面， 又，平面，                            所以，，                                               所以是侧面与底面所成二面角的平面角，                 因为平面，， 所以平面， 因为平面，所以，                                    . 设正方形的边长，则，， 所以，所以，                即侧面与底面所成二面角的余弦值为. 67．（23-24高一下·河南郑州·期末）在四棱锥中，平面平面为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，利用平行四边形的判断方法证明四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理的逆定理可得，利用面面、线面垂直的性质可得，设到平面的距离为，直线与平面的所成角为，结合等体积法和三棱锥的体积公式计算可得，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接，则且， 又且，所以且， 故四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）由，得，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以. 由，得， 所以，， 得，则，所以. 又， 设到平面的距离为，直线与平面的所成角为， 则，所以，解得， 所以， 即直线与平面的所成角的正弦值为. 68．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，是边长为2的正三角形，，是中点，过点，，的平面与交于点. (1)求证：； (2)求证：； (3)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意得，则由线面平行的判定定理可得平面，再利用线面平行的性质定理可证得结论； （2）由题意可得是中点，则，再利用面面垂直的性质可得平面，则，而，则可得结论； （3）过作于，连接，则可证得就是二面角的平面角，然后在中求解即可. 【详解】（1）因为底面是菱形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，平面， 所以； （2）由（1）知，，所以， 因为是中点，所以是中点， 因为是正三角形，所以， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以； （3）过作于，连接， 由（2）知平面， 又因为平面，平面， 所以，， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以就是二面角的平面角， 在正三角形中，，， 在中，，，所以， 在中，， 在中，， 所以二面角的正切值为. 69．（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，在斜三棱柱中，侧面为菱形，，为中点，与的交点为. (1)求证：//平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）利用线线平行推得线面平行即得； （2）由等边三角形证，再由勾股定理逆定理证，由线线垂直推导线面垂直即得； （3）作，证平面，作，证，得为二面角的平面角，由题设求得即得. 【详解】（1） 如图（1），连接. 由三棱柱可知侧面为平行四边形，所以为中点； 又因为为中点，所以//， 又平面平面，所以//平面； （2） 如图（2），连接. 由菱形可知，因为，可得为等边三角形； 因是中点，则，且；由可得，； 因为，则有，即， 又平面平面，故平面； （3） 由（2）可知平面，因为平面，所以平面平面； 如图（3），过点作，垂足为，过作，垂足为，连接. 因为平面平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以； 因为平面平面，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角. 在中，，可得， 在中，，可得， 在中，，可得， 因为，所以， 即二面角的正弦值为. 十九、新定义题 70．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”. (1)若是位差值为的位差奇函数，求的值； (2)已知，，若存在，使得是位差值为m的“位差奇函数”. ①求实数t的取值范围； ②设直线与函数的图象分别交于A、B两点，直线与函数的图象分别交于C、D两点，若存在，且，使得，求实数m的取值范围． 【详解】（1）因为 ， 若是位差值为的位差奇函数， 则为上的奇函数， 注意到为上的奇函数，为上的偶函数， 可知，则，解得. （2）①因为， 由题意可知：对任意的，均存在成立， 因为 整理可得， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 所以实数t的取值范围为； ②由①可知：， 则，， 设， 则， 若，则， 且，即，则， 即， 构建， 则，且，， 结合在上连续不断，可知在内不单调， 令，则， 且在内单调递增， 可知在内单调递增， 当时，；当，；即， 可得在内不单调， 且的图象开口向上，对称轴， 则，解得， 所以实数m的取值范围为. 71．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）定义非零向量，若函数解析式满足，则称为向量的“件生函数”，向量为函数的“源向量”． (1)已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k的取值范围； (2)已知点满足，向量的“伴生函数”在时取得最大值，当点A运动时，求的取值范围； (3)已知向量的“件生函数”在时的取值为．若中，，点O为该三角形的外心，求的最大值． 【详解】（1）因为向量为函数的“源向量”，所以， 则方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 所以在上有且仅有四个不相等的实数根， 令，， ①当时， ， ②当时，， 所以 其图象为： 结合，，， 故当在上有且仅有四个不相等的实数根时， k的取值范围为． （2），其中， 当，即时，取最大值， 故， 则， 令，由于，故， 即，则，解得， 所以，因为单调递增， 所以，所以的取值范围为； （3）由题意得，，则， 在三角形ABC中，，，因此， 设三角形ABC外接圆半径为R，根据正弦定理，，故， 所以， ， ，，， 代入得：， 所以当时，取得最大值3． 【点睛】关键点点睛：第1问的关键是参变分离，数形结合；第2问的关键是换元法构造函数；第3问的关键是利用正弦定理得到. 72．（23-24高一下·湖南常德·期中）对于函数，，如果存在实数，，使得，那么称函数为的“重组函数” (1)已知，，是否存在实数，，使得是的重组函数？若存在，求出，，；若不存在，试说明理由． (2)当，时，求的重组函数的值域． (3)当，时，的重组函数有唯一的零点，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，则， 又， 若，即， 即， 即，解得； （2）因为，则，且， 所以， 令，则， 令，则，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则的值域为. （3）当，，，则， 则的重组函数， 令，即， 令，则， 令，则在上有一个零点， 当，解得，此时无零点； 由，解得或， 当时，只需，即，所以，显然无解； 当时，则需满足，即，所以， 当时，此时， 则在上有且只有一个零点，所以符合题意； 综上可得实数的取值范围为. 73．（23-24高一下·广东广州·期中）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意x，存在实数a使得成立，则称此函数具有“性质”． (1)判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有a的值；若不具有“性质”，请说明理由． (2)已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值． (3)设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2023个，求m的值． 【详解】（1）由，所以， 所以函数具有“性质”，其中. （2）因为具有“性质”，所以， 设，则，所以， 当时，在为增函数，所以最大值为； 当时，在单调递减，在单调递增，且， 所以最大值为； 当时，在单调递减，在单调递增，且， 所以最大值为； 当时，在为减函数，所以最大值为； 综上可知，当时，最大值为；当时，最大值为. （3）因为函数具有“性质”， 所以，； 所以，即是以2为周期的函数， 又设，则，. 设，， 当时，，即，； 当时，，即，； 所以对于，，都有， 而，所以， 综上可知是以1为周期的函数. 当时，要使与交点个数为2023个，只要与在区间有2022个交点，而在有一个公共点， 所以过，从而得，部分简图如下； 当时，要使与交点个数为2023个，只要与在区间有2022个交点，而在有一个公共点， 所以过，从而得； 当时，显然不合题意； 综上可知. $$