1.4用一元二次方程解决问题（讲义）（暑期自学课）2024—2025学年苏科版数学九年级上册

2024-2025学年苏科版数学九年级上册 1.4用一元二次方程解决问题（讲义） （暑期自学课） 【知识点一】增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系. 如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 【典型例题】 【例题1】某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A.25（1+x）2＝64 B.25（1+x2）＝64 C.64（1-x2）＝25 D.64（1-x2）＝25 【例题2】某商品原价189元，经连续两次降价后售价为156元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( ) A． B． C. D． 【例题3】某服装原价为300元，连续两次涨价a%后，售价为363元，则a的值为（　　） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【例题4】据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为　 　 . 【例题5】某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元/箱时，六月销售256箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱． （1）求七，八两月的月平均增长率； （2）九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？ 【例题6】“杂交水稻之父”---袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【知识点二】利润问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 【典型例题】 【例题1】端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440 B．（16﹣x）（200+80x）＝1440 C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440 D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440 【例题2】某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价________元． 【例题3】某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10000元？ 【例题4】某品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受新冠肺炎疫情影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果需要盈利700元，那么每件降价多少元？ 【例题5】某特产店销售核桃，进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售100千克，后经市场调查发现，若单价每降低2元，则平均每天销售可增加20千克，若该专卖店销售该核桃要想平均每天获利2240元，回答： (1)每千克核桃应降价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 【例题6】超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个．设销售单价定为x元． (1)超市从第二天起日销售量增加 个，每个“冰墩墩”盈利 元（用含x的代数式表示）； (2)针对这种“冰墩墩”的销售情况，该商店要保证每天盈利273元，同时又要使顾客得到实惠，那么“冰墩墩”的销售单价应定为多少元？ 【知识点三】几何问题 【典型例题】 【例题1】一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为80m2的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门（如图），设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为（　　） A．x80 B．x（26﹣2x）＝80 C．x80 D．x（27﹣2x）＝80 【例题2】把一块长80mm、宽60mm的铁皮的4个角分别剪去一个边长相等的小正方形，做成一个底面积是1500mm2的无盖铁盒．若设小正方形的边长为xmm，下面所列的方程中，正确的是（ ） A（80－x）（60－x）=1500 B. （80－2x）（60－2x）=1500 C（80－2x）（60－x）=1500 D. （80－x）（60－2x）=1500 【例题3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A到的D方向以1cm/s的速度向点D运动，设△ABP的面积为S1，矩形PDEF的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则当t＝______秒时，S1＝2S2. 【例题4】太原迎泽公园是太原市内最大的综合性文化休闲公园，其间种植了数万株观赏树木、桥、廊、亭、榭多不胜数．如图，相关部门计划在公园内一块长为32米，宽为20米的近似矩形湖面上修筑宽度固定的观景长廊（图中阴影部分），要使湖面剩余部分（空白部分）的面积为540平方米，则长廊的宽为 　 　米． 【例题5】某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm(如图). (1)若矩形养殖场的总面积为36m²，求此时x的值; (2) 当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大?最大值为多少? 【例题6】如图，利用一面墙（墙EF长28米）围成个矩形花园 ABCD．与墻平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）． 现有砌60米长的墙的材料． （1）当BC 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？ （2）能否围成面积为480平方米的矩形花园，为什么？ ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$