第09讲：函数的概念及其表示（9大题型）-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第09讲：函数的概念及其表示 【考点梳理】 · 考点一、函数的定义 · 考点二、求函数的定义域 · 考点三、函数值域 · 考点四、同一个函数的判定 · 考点五、求函数解析式 · 命题角度1　换元法 · 命题角度2　配凑法 · 命题角度3　待定系数法 · 命题角度4　构造方程组法 · 考点六、函数的表示方法 · 考点七、分段函数求值 · 考点八、解分段函数不等式 · 考点九、函数的概念与表示综合问题 【知识梳理】 知识点一　函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点二　同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同． 知识点三　区间 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2．其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 知识点四　函数的表示方法 知识点五　分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 【例题详解】 题型一、函数的定义 1．（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．B．C． D． 题型二、求函数的定义域 4．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 5．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·重庆·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型三、函数值域 7．（23-24高一上·四川泸州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）函数在区间上的值域为（    ） A． B． 9．（23-24高一上·重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（    ） A． B． C． D． 题型四、同一个函数的判定 10．（23-24高一上·河南南阳·期末）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（23-24高一上·安徽·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 12．（2024高一·江苏·专题练习）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型五、求函数解析式 命题角度1　换元法 13．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则的解析式为 ． 14．（23-24高一上·山东威海·阶段练习）已知，则的解析式为 . 15．（23-24高一上·广东云浮·阶段练习）已知函数满足：，求函数的解析式 ． 命题角度2　配凑法 16．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知，则函数 . 17．（23-24高一上·北京·期中）已知，且，则的值是 . 18．（22-23高一上·安徽·阶段练习）已知函数，则 ． 命题角度3　待定系数法 19．（23-24高一上·四川德阳·阶段练习）已知是一次函数，且在上单调递增，，则 . 20．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知二次函数，满足，.则 . 21．（22-23高一上·江苏泰州·期中）若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 命题角度4　构造方程组法 22．（23-24高一上·四川自贡·期中）已知，则的解析式 ． 23．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数对任意实数都有，则 . 24．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，则函数的解析式为 . 题型六、函数的表示方法 25．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 A． B．0 C．3 D．4 26．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式，函数由下表给出，则的值为（    ） 1 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 27．（23-24高一上·福建福州·期中）某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（    ）. A．B．C． D． 题型七、分段函数求值 28．（23-24高一上·广西河池·期末）已知则（    ） A． B．7 C．10 D．12 29．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知函数，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 30．（23-24高一上·广东·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型八、解分段函数不等式 31．（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九、函数的概念与表示综合问题 34．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知二次函数满足，， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集． 35．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 36．（23-24高一上·江西吉安·期末）狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本3万元，每生产x（）吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足12吨时，，在年产量不少于12吨时，，每千克狗牯脑茶售价140元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完． (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（）（单位：吨）的函数解析式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）； (2)年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【专项训练】 一、单选题 37．（23-24高一下·云南昆明·期中）已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D．-1 38．（23-24高一下·云南曲靖·开学考试）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 39．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 40．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知函数，其定义域为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一下·海南省直辖县级单位）下列各组函数表示同一函数的是（   ） A．， B．， C． D．， 42．（23-24高一上·福建三明·期末）函数若，则实数的取值是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 43．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 46．（23-24高一下·山东淄博·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 47．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 则（    ） A． B．的最小值为 C．的定义域为 D． 的值域为 48．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）下列对应关系：是集合到集合的函数关系的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 49．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石·布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 50．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ． 51．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 52．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）函数在上的值域是 ． 53．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 四、解答题 54．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值； 55．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数满足，函数满足． (1)求函数和的解析式； (2)求函数的值域． 56．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 57．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲：函数的概念及其表示 【考点梳理】 · 考点一、函数的定义 · 考点二、求函数的定义域 · 考点三、函数值域 · 考点四、同一个函数的判定 · 考点五、求函数解析式 · 命题角度1　换元法 · 命题角度2　配凑法 · 命题角度3　待定系数法 · 命题角度4　构造方程组法 · 考点六、函数的表示方法 · 考点七、分段函数求值 · 考点八、解分段函数不等式 · 考点九、函数的概念与表示综合问题 【知识梳理】 知识点一　函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点二　同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同． 知识点三　区间 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2．其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 知识点四　函数的表示方法 知识点五　分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 【例题详解】 题型一、函数的定义 1．（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，利用函数的定义作出判断. 【详解】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求； B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确； CD选项，对于，不妨设，此时，解得， 故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误. 故选：B 2．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用函数的定义判断即可. 【详解】对于A，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，A能； 对于B，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，B能； 对于C，对于集合的元素，在中没有元素与之对应，C不能； 对于D，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，D能. 故选：C 3．（23-24高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念判断即可. 【详解】根据函数的定义，在集合中任意一个数在中有且只有一个与之对应， 选项A中集合中2对应的数有两个，故错误； 选项B中集合中3没有对应的数，故错误； 选项C中对应法则为从到的函数，箭头应从指向，故错误； 选项D中集合中任意一个数在集合中都有唯一数与之对应，故D正确， 故选：D 题型二、求函数的定义域 4．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 【答案】D 【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】由题意得，解得且， 即定义域为. 故选：D. 5．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】由题意对于，得，解得且，故C正确. 故选：C. 6．（23-24高一上·重庆·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】要使函数有意义，则应有，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 题型三、函数值域 7．（23-24高一上·四川泸州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出二次函数的对称轴，判断出的单调性，即可求得答案. 【详解】对称轴为, 所以在严格增，所以， 故选：C. 8．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数分离常数，再利用函数的单调性求解. 【详解】函数，易得函数在上单调递减，在上单调递减， 当时，；当时，； 所以函数的值域为. 故选：D. 9．（23-24高一上·重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别利用换元，分离常数，上下同除结合基本不等式，函数单调性求解各选项对应函数值域即可得答案. 【详解】A选项，令，则， 则函数在上单调递增，则，故A错误； B选项，，则，故B错误； C选项，因，则，又注意到，当且仅当时取等号， 则，故C错误. D选项，注意到函数均在上单调递增，则，故D正确. 故选：D 题型四、同一个函数的判定 10．（23-24高一上·河南南阳·期末）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】判断是否为同一函数，一般考查两个方面：① 定义域相同；② 对应法则相同.只有两个方面都分别相同，才能称为同一函数. 【详解】对于A项，因函数的定义域为R，而函数的定义域为，故该组函数不是同一函数，A项错误； 对于B项，两函数的定义域相同，但对应法则不同，故该组函数也不是同一函数，B项错误； 对于C项，函数的定义域为，而函数的定义域为R，故该组函数不是同一函数，C项错误； 对于D项，两函数的定义域都是，且对应的法则相同，故该组函数是同一函数，D项正确. 故选：D. 11．（23-24高一上·安徽·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域 为或，两个函数定义域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且， 两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是. 故选：C 12．（2024高一·江苏·专题练习）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故B错误； 对于C，函数与的定义域和对应法则都相同， 所以表示相同的函数, 故C正确； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故D错误. 故选：C. 题型五、求函数解析式 命题角度1　换元法 13．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】令，采用换元法则可求解. 【详解】令，则， 即 故答案为：. 14．（23-24高一上·山东威海·阶段练习）已知，则的解析式为 . 【答案】 【分析】应用换元法求函数解析式. 【详解】令，则，所以， 故. 故答案为： 15．（23-24高一上·广东云浮·阶段练习）已知函数满足：，求函数的解析式 ． 【答案】 【分析】利用换元法即可求解. 【详解】令，则，， 代入有， 因此，； 故答案为：. 命题角度2　配凑法 16．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知，则函数 . 【答案】 【分析】利用配凑法直接求解析式即可. 【详解】， 所以. 故答案为： 17．（23-24高一上·北京·期中）已知，且，则的值是 . 【答案】3 【分析】根据凑配法求出解析式，代入即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，. 又，所以有， 解得. 故答案为：3. 18．（22-23高一上·安徽·阶段练习）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】利用配凑法求解析式即可. 【详解】，所以. 故答案为：. 命题角度3　待定系数法 19．（23-24高一上·四川德阳·阶段练习）已知是一次函数，且在上单调递增，，则 . 【答案】 【分析】设出一次函数的表达式，利用待定系数法求解. 【详解】因为函数是一次函数，且在上单调递增， 所以，设， 因为，则， 故，解得， 故． 故答案为：. 20．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知二次函数，满足，.则 . 【答案】 【分析】先根据，求出，进而根据对应系数相等即可求出结果. 【详解】因为，所以， 而， 又因为， 所以，解得， 因此的解析式为. 故答案为：. 21．（22-23高一上·江苏泰州·期中）若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设，代入题干等式，化简，即可求得. 【详解】设一次函数， ， 化简得：， 因为对任意，上式都满足，取和代入上式得： ，解得：， 所以. 故答案为：. 命题角度4　构造方程组法 22．（23-24高一上·四川自贡·期中）已知，则的解析式 ． 【答案】 【分析】由，得到，联立求解. 【详解】解：因为， 所以， 两式联立解得：， 故答案为： 23．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数对任意实数都有，则 . 【答案】 【分析】由可列出方程组：，从而求解. 【详解】由题意得：对任意实数都有， 所以：，解得：. 故答案为：. 24．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，即可求解. 【详解】由， 用代替，可得， 联立方程组，解得， 所以函数的解析式为. 故答案为：. 题型六、函数的表示方法 25．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 A． B．0 C．3 D．4 【答案】D 【分析】观察函数图象得，再利用数表求解即得. 【详解】观察函数的图象，得，由数表得， 所以. 故选：D 26．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式，函数由下表给出，则的值为（    ） 1 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，从而得到的值. 【详解】由表格可得，故. 故选：B 27．（23-24高一上·福建福州·期中）某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的图象确定的变化趋势，确定正确选项． 【详解】由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大， 从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变， 是常数，该常数为2，只有D满足， 故选：D． 题型七、分段函数求值 28．（23-24高一上·广西河池·期末）已知则（    ） A． B．7 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式求出函数值. 【详解】. 故选：C 29．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知函数，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】C 【分析】 通过函数表达式即可得出的值. 【详解】由题意， 在中， ， 故选：C. 30．（23-24高一上·广东·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式代入求解即可. 【详解】由已知，. 故选：. 题型八、解分段函数不等式 31．（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论、，结合函数解析式列不等式求参数a的范围即可. 【详解】由， 若，则，即，解得，所以 若，则，即，解得，所以， 综上，不等式的解为. 故选：D 32．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象，结合转化为不等式组可得. 【详解】如图： 根据函数图象，及可知：， 得或， 故选：D 33．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性解不等式. 【详解】由一次函数和二次函数的性质可知，函数的图像连续，在R上单调递减，如图所示，    若，则，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：A 题型九、函数的概念与表示综合问题 34．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知二次函数满足，， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设，根据所给条件求出，再由得到方程组，求出、，即可得解； （2）依题意可得，分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）设，因为，所以有， 即， 又因为， 所以， 所以， 所以，解得． 所以； （2）不等式可化为． 当时，不等式为，解得，此时不等式的解集为； 当时，解得或，此时不等式的解集为或； 当时，解得或，此时不等式的解集为或． 综上可得：当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或． 35．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分段函数解析式，代入计算，即可求解； （2）根据题意，由分段函数解析式列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）函数，则， 所以. （2）函数， 由可得或或， 解得或或， 所以a的取值范围是. 36．（23-24高一上·江西吉安·期末）狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本3万元，每生产x（）吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足12吨时，，在年产量不少于12吨时，，每千克狗牯脑茶售价140元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完． (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（）（单位：吨）的函数解析式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）； (2)年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元 【分析】（1）根据给出的计算公式，分段写出函数解析式； （2）分段求函数的最大值，再进行比较. 【详解】（1）由题意知，1吨狗牯脑茶售价为14万元，当时，， 当时，， 故年利润（万元）关于年产量x（吨）的函数解析式为． （2）当时，，当时，取得最大值． 当时，． 当且仅当，即时取等号，即当时，取得最大值． ∵50＜54， ∴当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元. 【专项训练】 一、单选题 37．（23-24高一下·云南昆明·期中）已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式代入计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：B 38．（23-24高一下·云南曲靖·开学考试）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，结合问题，自变量取合适的值，可得答案. 【详解】取，有. 故选：D. 39．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【详解】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 40．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知函数，其定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶次根式定义域和分母不为零即可得到该函数定义域. 【详解】由得，所以定义域为， 故选：C. 41．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】根据同一函数的定义域和对应法则分别相同进行判断即得. 【详解】对于A项，因，两函数定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数，故A项正确； 对于B项，的定义域为，而的定义域为R，故不是同一函数，故B项错误； 对于C项，的定义域是R，而的定义域为，故不是同一函数，故C项错误； 对于D项，的定义域是R，而的定义域是，故不是同一函数，故D项错误. 故选：A. 42．（23-24高一上·福建三明·期末）函数若，则实数的取值是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】D 【分析】对于求解与分段函数有关的方程时，应分段考虑再合并. 【详解】当时，，解得：； 当时，，解得：； 即实数的取值是5或. 故选：D. 43．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过化简即可得出函数的解析式. 【详解】因为，∴， 故选：A. 44．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域，得即函数的定义域，再整体代入求函数的定义域. 【详解】函数的定义域为，由，有， 即函数的定义域为， 令，解得，函数的定义域为. 故选：C 45．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据新函数的定义，代入求解即可. 【详解】． 故选：D． 二、多选题 46．（23-24高一下·山东淄博·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【分析】结合同一函数的定义，判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】对A：对的定义域为，则， 故与不是同一函数，故A错误； 对B：，， 故与是同一函数，故B正确； 对C：定义域为，即，定义域为， 即或，故与不是同一函数，故C错误； 对D：与定义域与对应关系都相同， 故与是同一函数，故D正确. 故选：BD. 47．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 则（    ） A． B．的最小值为 C．的定义域为 D． 的值域为 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得. 【详解】依题意，，则，A错误； 当时，，当且仅当时取等号，B错误； 在中，，解得，因此的定义域为，C正确； 显然，，于是，因此 的值域为，D正确. 故选：CD 48．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）下列对应关系：是集合到集合的函数关系的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】AC 【分析】根据函数的概念，结合对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，集合，，可得为多对一对应， 所以是函数关系，符合题意； 对于B中，集合，可得集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不是函数关系，不符合题意； 对于C中，集合，，可得为多对一对应， 所以是函数关系，符合题意； 对于D中，集合，，可得集合中的一个元素，在集合中有两个元素与之对应，所以不是函数关系，不符合题意. 故选：AC. 49．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石·布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题中所给定义，只需判断是否有解即可. 【详解】对于A：当，即时，该方程无解，故A不满足； 对于B：当时，解得或，满足定义，故B满足； 对于C：当时，时，解得或， 当时，时，无解，综上C满足； 对于D：当时，解得，故D满足. 故选：BCD 三、填空题 50．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】分，和进行不等式求解. 【详解】当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以无解； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为： 51．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】借助函数定义域的定义计算即可得. 【详解】由函数的定义域为，则有， 令，解得. 故答案为：. 52．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）函数在上的值域是 ． 【答案】 【分析】将函数变形为，再由的取值范围及不等式的性质计算可得. 【详解】因为， 又，所以，所以， 所以， 所以. 故答案为： 53．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分式函数中分母不为0得恒成立，分类讨论，时符合题意，时利用判别式法列不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为， 得恒成立， 当时，恒成立； 当时，，得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 54．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解析式直接求解定义域； （2）赋值直接求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，解得且， 即函数定义域为. （2）因为， 所以. 55．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数满足，函数满足． (1)求函数和的解析式； (2)求函数的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用换元法求出的解析式，利用解方程组法求出的解析式； （2）利用换元法求函数的值域. 【详解】（1）令，即，所以，即， 因为①，②， 由①②解得，. （2）因为， 令， 所以， 因为，所以， 所以该函数的值域为. 56．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 57．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用函数对应关系代入求解即可； （2）令，讨论的范围解方程求解得答案. 【详解】（1）因为，且，所以. 因为，所以. （2）依题意，令， 若，则，解得， 与矛盾，舍去； 若，则，解得， 故，解得，所以实数的值为； 综上所述：的值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$