第13讲 整式（知识梳理+10考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第13讲 整式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.尝试用字母表示数来表示数量关系； 2.掌握单项式及单项式的系数、单项式的次数的概念； 3.掌握多项式的相关概念. 定义 补充 代数式 用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 代数式中不含有=、<、>、≠等符号. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 代数式的意义：代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义. 代数式的值 根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化. 代数式中的字母取值并不是任意的，主要限制条件有： ①必须使代数式有意义，如中的a不能取1； ②实际问题中的字母取值要符合实际意义，比如小明买了b本图画书，这里的b只能是0或正整数，不能取小数或者负数. 【列代数式时注意事项】 1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数. 4）若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写上单位. 分类 定义 补充/注意事项 整式 单项式 由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式 1）单独的一个数或一个字母也是单项式； 2）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； 3）分母中含有字母的式子不是单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； 2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母； 3）一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0，而“1”通常省略不写； 4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数； 5）一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身； 6）确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号. 例如：-（3x）的系数是-3. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； 2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0； 3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关. 例如：单项式的次数是2＋3＋4=9而不是14. 多项式 几个单项式的和叫做多项式 多项式的项：在多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； 1）多项式的每一项包括它前面的符号； 2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式. 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； 2）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系： 【考点一】代数式的表示及其含义 1．（23-24七年级上·河南许昌·期中）某市今年新安装了供暖管道，已知去年安装了条，今年改革后，安装的管道数量比去年的2倍多6条，则今年安装供暖管道 条． 2．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）小娜在母亲节这一天送给妈妈一束鲜花，她选了3支百合，6支郁金香，9支康乃馨．若百合每支a元，郁金香每支b元，康乃馨每支c元，则小娜购买这束鲜花的费用是 ． 3．（23-24七年级上·甘肃天水·阶段练习）一个两位数，十位数是，个位数是，则这个两位数可用代数式表示为 ． 本题考查了列代数式，掌握解答数字问题的关键是：十位上的数字乘以10加上个位数字就是一个两位数．根据两位数的表示法解答即可． 23．（23-24七年级上·广东珠海·期中）为鼓励节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每月用水不超过10吨的按每吨a元计费，超过10吨而未超过20吨的部分按每吨b元计费，超过20吨的部分按每吨c元计费，某户居民上月用水25吨，应缴水费 元. 【考点二】用字母表示变化规律 1．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）观察下列等式： … (1)请直接写出第⑩个等式； (2)根据上述等式的排列规律，猜想第个等式（是正整数），并验证它的正确性． 2．（23-24七年级上·湖北随州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）； (2)利用以上规律计算的值． 3．（22-23七年级下·云南文山·阶段练习）观察下列等式的规律，解答相关问题． 第一行： 第二行： 第三行： 第四行： (1)按照上述规律，则第8行等式为________． (2)请写出第n行等式，并利用所学知识说明该等式成立． 4．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）观察下列各式：，，． (1)猜想：_______； (2)你发现的规律是：_______；（为正整数） (3)用规律计算：． 【考点三】整式相关的概念辨析 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列说法中正确的是（    ） A．不是单项式 B．单项式的系数是 C．是四次三项式 D．代数式，，都是整式 2．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．的系数是，次数是4 B．是整式 C．是三次二项式 D．的项是、，1 3．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）已知代数式：①，② ，③，④，⑤，⑥，⑦．其中： (1)属于单项式的有 ；（填序号） (2)属于多项式的有 ；（填序号） (3)属于整式的有 ．（填序号） 4．（23-24七年级上·江苏·周测）把下列代数式的序号填入相应的横线上： ①；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)单项式：_______； (2)多项式：_______； (3)整式：_______； (4)二项式：_______． 【考点四】根据单项式的概念求字母参数的值 1．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）若是五次单项式，是三次二项式，则= ． 2．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）已知是关于的四次单项式，则的值为 3（23-24七年级上·甘肃天水·阶段练习）已知是关于x、y的五次单项式且系数为2，则 ， ． 4．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）（1）单项式与是次数相同的单项式，求m的值． （2）已知单项式与单项式是同类项，求的值． 【考点五】根据多项式的概念求字母参数的值 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）若多项式是关于x，y的三次三项式，则有理数a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 2．（23-24七年级上·重庆北碚·期中）若代数式是关于x，y的三次二项式，则的值为（    ） A． B． C．0 D．6 3．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）如果是关于a的二次三项式，那么m、n满足的条件是（    ） A． B． C．，n为大于3的整数 D． 4．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）若化简关于x，y的整式得到的结果是一个三次二项式，求的值． 【考点六】根据多项式不存在某项求字母参数的值 1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）当 时，多项式中不含项． 2．（23-24七年级上·福建厦门·期中）若关于的多项式不含的三次项和一次项，则为 ，为 ． 3．（23-24七年级上·北京西城·期中）如果关于的多项式不含和x的项，则 ． 4．（23-24七年级上·湖北黄石·期中）（1）关于 x，y 的多项式是七次四项式，求的值； （2）关于 x，y 的多项式不含三次项，求 的值． 【考点七】单项式与多项式中的结论开放性问题 1．（23-24七年级上·山东济宁·期末）写出一个单项式 ，要求：此单项式含有字母a，b，系数是3，次数是3． 2．（23-24七年级上·河南南阳·期末）请你写出一个关于的多项式，使它的每项的次数都是3，这个多项式是 ． 3．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）请写出一个单项式，同时满足下列条件：①含有字母x，y；②系数是；③次数是5．则写出的单项式为 ． 4．（23-24七年级上·山东滨州·期末）写出一个含有的五次三项式 ，其中最高次项的系数为，常数项为6． 【考点八】单项式与多项式综合运用 1．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）已知关于x、y的多项式是五次四项式（为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同．求m，n的值． 2．（23-24七年级上·河南许昌·期中）已知多项式是五次四项式． (1)求出的值． (2)单项式的次数与该多项式的次数相同，求的值． 3．（23-24七年级上·广东潮州·期中）已知多项式是六次三项式；单项式的次数是5，求的值． 4．（22-23七年级上·云南昭通·期中）已知多项式是关于x、y的五次四项式，单项式的次数为b，c是最小的正整数，求的值． 【考点九】与整式有关的规律探究题 1．（23-24七年级上·广西贵港·期中）有一组单项式依次为，，，，…，根据它们的规律，则第2023个单项式是 . 2．（2023七年级上·全国·专题练习）观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2023个多项式是 ． 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）有一列单项式，按一定规律排列成：，，，，，…．根据其中的规律，回答问题． (1)第8个单项式是______，第，（，且为正整数）个单项式是______． (2)若某三个相邻的单项式的系数之和是，则这三个单项式分别是多少？ 4．（22-23七年级上·湖南益阳·期中）已知． (1)按规律写出该多项式的第6项，并指出它的次数和系数． (2)该多项式是几次几项式． 【考点十】列整式解决实际问题 1．（23-24七年级上·山西吕梁·期中）篮球馆推出了两种收费方式： 方式一：顾客购买会员卡，每张会员卡100元，仅限本人一年内使用，凭会员卡打球，每次再付费5元； 方式二：顾客不购买会员卡，每次打球付费10元． 设小明在一年内来此篮球馆打球的次数为次. (1)选择方式一的总费用为______元，选择方式二的总费用为______元． (2)当时，选择哪种方式省钱？ (3)当时，选择哪种方式省钱？ 2．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）要战胜疫情，增强体质，提高自身免疫力显得更加重要，早在 2009 年，国务院将每年的 8 月 8 日确定为“全民健身日”．旨在通过设立这个体育节日，倡导“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”．某健身房为吸引更多的顾客参与健身，推出了会员卡次卡优惠活动，会员卡有效期为一年，可供多人使用，若不办理会员卡，顾客每次健身需支付 80 元；若办理会员卡，其中会员卡卡费为 400 元，当健身次数不超过 50 次时，每次健身费用均享八折优惠，当健身次数超过 50 次且不超过 100 次时，每次健身费用均享 7 折优惠，当健身次数超过100 次时享受特惠价，每次健身费 45.125 元． (1)若小琳计划今年健身 40 次，通过计算说明他办会员卡划算还是不办会员卡划算？ (2)若小何去年健身花费了 2640 元，小刘去年健身花费了 3536 元，在去年的健身过程中，小何和小刘成为了好朋友，他们相约今年共同办理一张会员卡健身．请问： ①小何去年健身最少 次，最多 次，小刘去年健身最少 次，最多 次. ②当今年健身的总费用与去年的总费用相同时，他们今年健身的总次数最多比去年健身的总次数多多少次？ 3．（21-22七年级上·陕西安康·期末）某快递公司寄件的收费标准如下表： 寄往省内 寄往省外 首重 续重 首重 续重 10元/千克 8元/千克 15元/千克 12元/千克 说明：①每件快递按送达地（省内，省外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格＋续重×续重费用． ③首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克计量单位（不足1千克按1千克计算）． 例如：寄往省内一件1.8千克的物品，运费总额为元． 寄往省外一件3.2千克的物品，运费总额为元． (1)小亮分别寄往省内一件1.5千克的物品和省外一件2.4千克的物品，分别需付运费多少元？ (2)小军同时寄往省内、省外各一件千克的物品，已知x超过2，且的整数部分为a，小数部分大于0，请用含a的代数式分别表示这两笔运费． 4．（20-21七年级上·江苏泰州·期中）某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过40立方米时，按2元立方米计费；月用水量超过40立方米时，其中的40立方米仍按2元立方米收费，超过部分按3.5元立方米计费．设每户家庭月用水量为立方米． （1）当不超过40时，应收水费为　　（用的代数式表示）；当超过40时，应收水费为　　（用的代数式表示化简后的结果）； （2）小明家四月份用水26立方米，五月份用水52立方米，请帮小明计算一下他家这两个月一共应交多少元水费？ （3）小明家六月份交水费150元，请帮小明计算一下他家这个月用水量多少立方米？ 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）设为整数，用表示被除余的整数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 2．（23-24七年级上·广东深圳·期中）长方形的周长为20米，其中一边长x米，则面积为（　　）平方米． A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海青浦·期中）在，，，，，这些代数式中，单项式的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）单项式的系数和次数分别是（    ） A．，4 B．，5 C．，4 D．，5 5．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）多项式是（    ） A．四次三项式 B．五次三项式 C．三次四项式 D．三次五项式 6．（23-24七年级上·广西柳州·期中）在代数式①；②；③；④2021；⑤；⑥中整式的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 7．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．1是单项式 B．的次数是3次 C．的系数是 D．是三次三项式 此题考查单项式，多项式．根据单项式、多项式的概念及单项式的次数的定义解． 8．（23-24七年级上·新疆喀什·阶段练习）关于多项式，下列说法中正确的是（    ） A．它的系数是1 B．它的次数是3 C．它的常数项是1 D．它的项是，b 与1 9．（23-24七年级上·云南曲靖·阶段练习）多项式是关于x的四次三项式，则m的值是（    ） A． B．4 C．2 D．4或 10．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算：，，，，，…归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是（　　） A．1 B．3 C．2 D．5 二、填空题 11．（22-23七年级上·江西宜春·期中）若，则代数式的值为 ． 12．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）若a，b互为相反数，c和d互为倒数，m是最大的负整数，则的值是 13．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若关于x的多项式合并同类项后是一个三次二项式，则 ． 14．（23-24七年级上·上海青浦·期中）多项式是 次 项式，常数项是 ． 15．（22-23七年级下·四川成都·期中）观察下列各式，分析并猜想： ，，，． 计算，第24个式子的结果为 （用数字作答）． 三、解答题 16．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在某一禁毒基地的建设中，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽分别为和米的通道． (1)剩余草坪的面积是多少平方米？ (2)若，则剩余草坪的面积是多少平方米？ 17．（22-23七年级上·云南大理·期末）观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式： 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：　 　________． (2)用含有n的代数式表示第n个等式：　 　_________．（n为正整数） (3)求的值． 18．（23-24七年级上·全国·课后作业）把下列式子按单项式，多项式，整式，二项式进行分类：（只写序号） ①；②；③；④；⑤0； ⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 19．（23-24七年级上·陕西西安·期中）若是关于x，y的四次三项式，求代数式的值． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 整式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.尝试用字母表示数来表示数量关系； 2.掌握单项式及单项式的系数、单项式的次数的概念； 3.掌握多项式的相关概念. 定义 补充 代数式 用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 代数式中不含有=、<、>、≠等符号. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 代数式的意义：代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义. 代数式的值 根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化. 代数式中的字母取值并不是任意的，主要限制条件有： ①必须使代数式有意义，如中的a不能取1； ②实际问题中的字母取值要符合实际意义，比如小明买了b本图画书，这里的b只能是0或正整数，不能取小数或者负数. 【列代数式时注意事项】 1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数. 4）若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写上单位. 分类 定义 补充/注意事项 整式 单项式 由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式 1）单独的一个数或一个字母也是单项式； 2）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； 3）分母中含有字母的式子不是单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； 2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母； 3）一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0，而“1”通常省略不写； 4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数； 5）一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身； 6）确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号. 例如：-（3x）的系数是-3. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； 2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0； 3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关. 例如：单项式的次数是2＋3＋4=9而不是14. 多项式 几个单项式的和叫做多项式 多项式的项：在多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； 1）多项式的每一项包括它前面的符号； 2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式. 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； 2）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系： 【考点一】代数式的表示及其含义 1．（23-24七年级上·河南许昌·期中）某市今年新安装了供暖管道，已知去年安装了条，今年改革后，安装的管道数量比去年的2倍多6条，则今年安装供暖管道 条． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据去年安装了条，今年安装的管道数量比去年的2倍多6条，则可得出条． 【详解】解：∵去年安装了条，今年安装的管道数量比去年的2倍多6条， ∴今年安装供暖管道为：条， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）小娜在母亲节这一天送给妈妈一束鲜花，她选了3支百合，6支郁金香，9支康乃馨．若百合每支a元，郁金香每支b元，康乃馨每支c元，则小娜购买这束鲜花的费用是 ． 【答案】元 【分析】本题考查列代数式，单价乘以数量为总价，三种鲜花的总价相加即为这束鲜花的费用． 【详解】解：3支百合的费用为元，6支郁金香为元，9支康乃馨为元， 因此小娜购买这束鲜花的费用元． 故答案为：元． 3．（23-24七年级上·甘肃天水·阶段练习）一个两位数，十位数是，个位数是，则这个两位数可用代数式表示为 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了列代数式，掌握解答数字问题的关键是：十位上的数字乘以10加上个位数字就是一个两位数．根据两位数的表示法解答即可． 【详解】解：∵十位数是，个位数是， ∴这个两位数为：． 故答案为：． 23．（23-24七年级上·广东珠海·期中）为鼓励节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每月用水不超过10吨的按每吨a元计费，超过10吨而未超过20吨的部分按每吨b元计费，超过20吨的部分按每吨c元计费，某户居民上月用水25吨，应缴水费 元. 【答案】 【分析】此题主要考查了列代数式，正确分段计算是解题关键．直接根据题意分段计算水费得出答案． 【详解】解：由题意可得：居民上月应缴水费元． 故答案为：． 【考点二】用字母表示变化规律 1．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）观察下列等式： … (1)请直接写出第⑩个等式； (2)根据上述等式的排列规律，猜想第个等式（是正整数），并验证它的正确性． 【答案】(1)第⑩个等式： (2) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握根据上述等式，找到规律，进行解答，即可． （1）根据上述等式，找到知识规律探究，即可； （2）根据（1）中的规律，进行验证，即可． 【详解】（1）∵， ， …， ∴第个式子为：， ∴第第⑩个等式为：． （2）题目中的式子用含的形式分别表示出来是：， 验证，如下： ∵等式左边等式右边， ∴结论正确． 2．（23-24七年级上·湖北随州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）； (2)利用以上规律计算的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了数字的变化类、有理数的混合运算等知识点，明确题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）根据题目中给出的等式的规律，即可写出第n个等式； （2）先根据（1）得到的等式规律，然后运用乘法分配律解答即可． 【详解】（1）解： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 第n个等式：． 故答案为：． （2）解：由（1）的规律化解原式： ． 3．（22-23七年级下·云南文山·阶段练习）观察下列等式的规律，解答相关问题． 第一行： 第二行： 第三行： 第四行： (1)按照上述规律，则第8行等式为________． (2)请写出第n行等式，并利用所学知识说明该等式成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了代数式规律题，完全平方公式； （1）根据前几个式子找到规律，即； （2）根据规律得出等式，，根据完全平方公式展开即可求解． 【详解】（1）解：按照上述规律，则第行等式为， 故答案为：． （2）解：根据规律可得第n行等式为， 证明：∵左边 右边， ∴左边右边 4．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）观察下列各式：，，． (1)猜想：_______； (2)你发现的规律是：_______；（为正整数） (3)用规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）本题考查对题干中规律的探索，理解题干中规律，两数之积等于两数之和，即可解题． （2）解法与（1）相同，掌握规律即可解题． （3）本题将式子中的各部分按照所得规律去括号，再按有理数运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，． （2）解：由题知，． （3）解： ． 【考点三】整式相关的概念辨析 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列说法中正确的是（    ） A．不是单项式 B．单项式的系数是 C．是四次三项式 D．代数式，，都是整式 【答案】D 【分析】本题考查了整式、单项式以及单项式的相关概念． 单项式和多项式统称为整式，由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和（或者差），叫做多项式． 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 多项式的次数：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次．据此即可求解． 【详解】解：是单项式，故A.错误； 项式的系数是，故B错误； 是三次三项式，故C错误； 代数式，，都是整式，故D正确； 故选：D 2．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．的系数是，次数是4 B．是整式 C．是三次二项式 D．的项是、，1 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的项和次数的定义，整式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，整式是多项式和单项式的统称． 【详解】解：A、的系数是，次数是4，原说法正确，不符合题意； B、是整式，原说法正确，不符合题意； C、是二次二项式，原说法错误，符合题意； D、的项是、，1，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）已知代数式：①，② ，③，④，⑤，⑥，⑦．其中： (1)属于单项式的有 ；（填序号） (2)属于多项式的有 ；（填序号） (3)属于整式的有 ．（填序号） 【答案】(1)①②⑥ (2)③⑤ (3)①②③⑤⑥ 【分析】本题主要考查了单项式、多项式、整式，掌握这三个定义的意义，是数字而不是字母是解题的关键． （1）根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式进行判断； （2）根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式进行判断； （3）根据整式的定义：单项式和多项式统称为整式进行判断． 【详解】（1）解：属于单项式的有：①，② ，⑥， 故答案为：①②⑥； （2）属于多项式的有：③，⑤， 故答案为：③⑤； （3）属于整式的有：①，② ，③，⑤，⑥， 故答案为：①②③⑤⑥． 4．（23-24七年级上·江苏·周测）把下列代数式的序号填入相应的横线上： ①；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)单项式：_______； (2)多项式：_______； (3)整式：_______； (4)二项式：_______． 【答案】(1)④⑤⑩ (2)①③⑥ (3)①③④⑤⑥⑩ (4)③⑥ 【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解． 【详解】（1）解：单项式：④⑤⑩， 故答案为：④⑤⑩； （2）多项式：①③⑥， 故答案为：①③⑥； （3）整式：①③④⑤⑥⑩， 故答案为：①③④⑤⑥⑩； （4）二项式：③⑥， 故答案为：③⑥； 【点睛】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式． 【考点四】根据单项式的概念求字母参数的值 1．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）若是五次单项式，是三次二项式，则= ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式的次数和多项式的定义，根据单项式的次数和多项式的次数得到，即可得到答案． 【详解】解：若是五次单项式，是三次二项式， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 2．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）已知是关于的四次单项式，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了单项式的定义及其有关概念，代数式求值，根据单项式定义及次数的概念求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握单项式的定义及其有关概念是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的四次单项式， ∴，且，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3（23-24七年级上·甘肃天水·阶段练习）已知是关于x、y的五次单项式且系数为2，则 ， ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了单项式的次数与系数的定义，根据定义列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，解得， 故答案为：，3． 4．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）（1）单项式与是次数相同的单项式，求m的值． （2）已知单项式与单项式是同类项，求的值． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题考查单项式的相关概念同类项的定义，解题的关键是掌握单项式系数、次数的相关概念．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，通常系数不为0，以及字母和字母指数相同的单项式是同类项． （1）根据单项式次数的定义，得出，即可解答； （2）根据同类项的定义，得出，，求出m和n的值，再将其代入，即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得：， 所以m的值为4． （2）∵单项式与单项式是同类项， ∴，， 所以， 所以原式：， 所以的值为． 【考点五】根据多项式的概念求字母参数的值 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）若多项式是关于x，y的三次三项式，则有理数a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的次数与项数确定方法是解题关键．直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的三次三项式， ∴， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级上·重庆北碚·期中）若代数式是关于x，y的三次二项式，则的值为（    ） A． B． C．0 D．6 【答案】B 【分析】先去括号，将m、n看作常数，再合并同类项，根据多项式的次数及项数得出，，问题随之得解． 【详解】解： ， ∵多项式是关于，的三次二项式， ∴，， ∴，， 即：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查多项式的次数及项数，准确掌握这两个基础知识点是解题关键． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）如果是关于a的二次三项式，那么m、n满足的条件是（    ） A． B． C．，n为大于3的整数 D． 【答案】D 【分析】根据二次三项式的定义，可知多项式的最高次数是二次，共有三项，据此列出n的关系式，从而确定m、n满足的条件． 【详解】解：∵多项式是关于a的二次三项式， ∴且， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次三项式的定义：一个多项式含有几项，是几次就叫几次几项式．注意一个多项式含有哪一项时，哪一项的系数就不等于0． 4．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）若化简关于x，y的整式得到的结果是一个三次二项式，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的加减，多项式的系数，次数，代数式求值，直接利用整式的加减运算法则化简，再利用多项式的项数与次数确定方法分析得出a，b的值，即可得出答案，正确合并同类项是解题关键． 【详解】解： 整式是一个三次二项式， ，， ，， ． 【考点六】根据多项式不存在某项求字母参数的值 1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）当 时，多项式中不含项． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式中的不含项问题，令的系数等于零即可． 【详解】多项式中不含项， ， 解得， 故答案为：3． 2．（23-24七年级上·福建厦门·期中）若关于的多项式不含的三次项和一次项，则为 ，为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了多项式的相关概念，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项；根据题意易得，，即可求出的值． 【详解】解：关于的多项式不含的三次项和一次项， ，， 解得：，， 故答案为：2，． 3．（23-24七年级上·北京西城·期中）如果关于的多项式不含和x的项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的定义，根据题意求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵关于的多项式不含和x的项， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·湖北黄石·期中）（1）关于 x，y 的多项式是七次四项式，求的值； （2）关于 x，y 的多项式不含三次项，求 的值． 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）先根据多项式是关于x、y七次四项式求出，然后再代数式的值即可； （2）根据不含三次项，求出，再求出代数式的值即可． 【详解】解：（1）∵关于 x，y 的多项式是七次四项式， ∴， 解得：， ∴； （2）∵不含三次项， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了多项式的相关定义，代数式求值，解题的关键是根据题意求出相关字母的值． 【考点七】单项式与多项式中的结论开放性问题 1．（23-24七年级上·山东济宁·期末）写出一个单项式 ，要求：此单项式含有字母a，b，系数是3，次数是3． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：根据题意，得：这样的单项式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 2．（23-24七年级上·河南南阳·期末）请你写出一个关于的多项式，使它的每项的次数都是3，这个多项式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查多项式中每项的次数，解题的关键是掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念．根据多项式的项，组成多项式项的次数的概念即可求解． 【详解】解：多项式中的次数为3，的次数为3． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）请写出一个单项式，同时满足下列条件：①含有字母x，y；②系数是；③次数是5．则写出的单项式为 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】此题考查单项式．根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：根据题意，得(答案不唯一)， 故答案为：(答案不唯一) ． 4．（23-24七年级上·山东滨州·期末）写出一个含有的五次三项式 ，其中最高次项的系数为，常数项为6． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式，根据题意，结合五次三项式、最高次项的系数为，常数项可写出所求多项式，答案不唯一，只要符合题意即可，解题的关键是熟练掌握多项式中系数、最高次项、常数项的概念． 【详解】解：根据题意，此多项式是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【考点八】单项式与多项式综合运用 1．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）已知关于x、y的多项式是五次四项式（为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同．求m，n的值． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式的项、次数，单项式的次数，熟练掌握各定义是解题关键．根据多项式的次数、项的定义得出，，即可求出的值，再根据单项式的次数的定义得出，即可求出的值． 【详解】解：关于、的多项式是五次四项式， ，， ，， 单项式的次数与该多项式的次数相同， 单项式的次数为五次， ， ， ． 2．（23-24七年级上·河南许昌·期中）已知多项式是五次四项式． (1)求出的值． (2)单项式的次数与该多项式的次数相同，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数和单项式的次数． （1）先根据多项式的次数得出，即可求出m的值． （2）由（1）可知：，把代入单项式，再根据单项式的次数也是5即可得出，进而可求出n的值． 【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式， ∴， ∴． （2）由（1）可知：， ∴单项式为， ∵单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴， 解得：． 3．（23-24七年级上·广东潮州·期中）已知多项式是六次三项式；单项式的次数是5，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，多项式次数的定义，单项式次数的定义，单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数；多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此求出m、n的值，再把所求式子去括号，合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解：∵多项式是六次三项式， ∴， ∴； ∵单项式的次数是5， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 4．（22-23七年级上·云南昭通·期中）已知多项式是关于x、y的五次四项式，单项式的次数为b，c是最小的正整数，求的值． 【答案】16 【分析】根据多项式是五次四项式，可得，，由单项式的次数为b，c是最小的正整数，得出，，代入即可得出答案． 【详解】∵多项式是五次四项式， ∴，． ∵单项式的次数为b，c是最小的正整数， ∴，， ∴． ∴的值为16． 【点睛】本题考查了多项式、单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式、多项式的定义． 【考点九】与整式有关的规律探究题 1．（23-24七年级上·广西贵港·期中）有一组单项式依次为，，，，…，根据它们的规律，则第2023个单项式是 . 【答案】 【分析】本题考查单项式的概念，涉及数字规律问题，解题的关键是观察单项式的系数与次数得出规律，利用规律求解． 【详解】解：根据式子的特点，可知系数为，而x的指数为n， 因此可知其规律为：， 则第2023个为：， 故答案为：． 2．（2023七年级上·全国·专题练习）观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2023个多项式是 ． 【答案】 【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律． 【详解】解：多项式的第一项依次是，，，，， 第二项依次是，，， 则可以得到第2023个多项式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键． 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）有一列单项式，按一定规律排列成：，，，，，…．根据其中的规律，回答问题． (1)第8个单项式是______，第，（，且为正整数）个单项式是______． (2)若某三个相邻的单项式的系数之和是，则这三个单项式分别是多少？ 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查的是单项式的规律探究，一元一次方程的应用，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键． （1）观察单项式发现，系数的绝对值为，字母指数为序数，据此即可求解． （2）设所求的三个单项式的系数分别为，，，根据单项式的系数之和是，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，… ∴第8个单项式是， 第，（，且为正整数）个单项式是； 故答案为：；． （2）解：设所求的三个单项式的系数分别为，，， 由题意得：， 解得：，   ∵，，， ∴这三个单项式分别是，，． 4．（22-23七年级上·湖南益阳·期中）已知． (1)按规律写出该多项式的第6项，并指出它的次数和系数． (2)该多项式是几次几项式． 【答案】(1)多项式的第6项为，其系数为，次数为； (2)多项式是十次十一项式． 【分析】（1）由已知的各项可得每一项的次数都是10，且奇数次项的系数为1，偶数次项的系数为，其中x按降幂排列，y按照升幂排列，从而可得答案； （2）根据每一项的次数都是10，以及按照x的排列规律可得其项数，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式的第6项为，其系数为，次数为； （2），∵的每一项的次数都是10， ∴多项式是十次十一项式． 【点睛】本题考查的是多项式的项与次数的含义，熟记多项式的项与次数的概念以及探究各项的排列规律是解本题的关键． 【考点十】列整式解决实际问题 1．（23-24七年级上·山西吕梁·期中）篮球馆推出了两种收费方式： 方式一：顾客购买会员卡，每张会员卡100元，仅限本人一年内使用，凭会员卡打球，每次再付费5元； 方式二：顾客不购买会员卡，每次打球付费10元． 设小明在一年内来此篮球馆打球的次数为次. (1)选择方式一的总费用为______元，选择方式二的总费用为______元． (2)当时，选择哪种方式省钱？ (3)当时，选择哪种方式省钱？ 【答案】(1)， (2)当时，方式二省钱 (3)当时，方式一省钱 【分析】本题考查列代数式以及代数式求值； （1）方式一的总费用是会员卡的费用加上每次打球的费用，方式二就是每次打球10元，就此列式即可； （2）令时，求出两种方式需要的花费，看哪种方式更省钱． （3）当时，求出两种方式需要的花费，看哪种方式更省钱． 【详解】（1）解：方式一总费用是：元， 方式二总费用是：元， 故答案是：，； （2）解：当时，方式一的费用为：元； 方式二的费用为：元. 因为175元150元，所以当时，方式二省钱； （3）解：当时，方式一的费用为：元， 方式二的费用为：元 因为500元800元，所以当时，方式一省钱． 2．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）要战胜疫情，增强体质，提高自身免疫力显得更加重要，早在 2009 年，国务院将每年的 8 月 8 日确定为“全民健身日”．旨在通过设立这个体育节日，倡导“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”．某健身房为吸引更多的顾客参与健身，推出了会员卡次卡优惠活动，会员卡有效期为一年，可供多人使用，若不办理会员卡，顾客每次健身需支付 80 元；若办理会员卡，其中会员卡卡费为 400 元，当健身次数不超过 50 次时，每次健身费用均享八折优惠，当健身次数超过 50 次且不超过 100 次时，每次健身费用均享 7 折优惠，当健身次数超过100 次时享受特惠价，每次健身费 45.125 元． (1)若小琳计划今年健身 40 次，通过计算说明他办会员卡划算还是不办会员卡划算？ (2)若小何去年健身花费了 2640 元，小刘去年健身花费了 3536 元，在去年的健身过程中，小何和小刘成为了好朋友，他们相约今年共同办理一张会员卡健身．请问： ①小何去年健身最少 次，最多 次，小刘去年健身最少 次，最多 次. ②当今年健身的总费用与去年的总费用相同时，他们今年健身的总次数最多比去年健身的总次数多多少次？ 【答案】(1)他办会员卡划算 (2)①；；；② 【分析】（1）分别计算办理和不办理会员卡的费用，比较后即可得出结论． （2）①分别求出它们办理会员卡和不办会员卡的次数即可求解； ②先求出总金额，再按照次数大于次的计费方法代入总费用进行计算，即可得出今年可以健身的最大总次数，再减去去年的即可． 【详解】（1）若办理会员卡，则费用为（元）， 不办理会员卡，则费用为（元）， ∵， ∴他办会员卡划算． （2）设健身次数为n时， 若办理会员卡， 当时，费用为， 当时，费用为， 当时，费用为， 小何去年健身花费了 2640 元，小刘去年健身花费了 3536 元， 则小何次数为（次）， 小刘最多次数为（次），最少为（次） 若不办会员卡， 小何次数为（次）， 小刘次数为（不是整数，不合题意）， 综上可得：小何去年健身最少次，最多次，小刘去年健身最少次，最多次； 故答案为：；；；． （元）， （次） ， ∴他们今年健身的总次数最多比去年健身的总次数多次． 【点睛】本题考查了列代数式及其应用，解题关键是理解题意，列出相应代数式进行求解． 3．（21-22七年级上·陕西安康·期末）某快递公司寄件的收费标准如下表： 寄往省内 寄往省外 首重 续重 首重 续重 10元/千克 8元/千克 15元/千克 12元/千克 说明：①每件快递按送达地（省内，省外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格＋续重×续重费用． ③首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克计量单位（不足1千克按1千克计算）． 例如：寄往省内一件1.8千克的物品，运费总额为元． 寄往省外一件3.2千克的物品，运费总额为元． (1)小亮分别寄往省内一件1.5千克的物品和省外一件2.4千克的物品，分别需付运费多少元？ (2)小军同时寄往省内、省外各一件千克的物品，已知x超过2，且的整数部分为a，小数部分大于0，请用含a的代数式分别表示这两笔运费． 【答案】(1)小亮寄往省内一件1.5千克的物品需付运费18元，寄往省外一件2.4千克的物品需付39元运费． (2)寄往省内一件x千克物品需付运费为元，寄往省外一件x千克物品需付运费为元． 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： 寄往省内的运费为（元）；寄往省外的运费为（元）； 答：小亮寄往省内一件1.5千克的物品需付运费18元，寄往省外一件2.4千克的物品需付39元运费． （2）解：寄往省内一件x千克物品需付运费为（元）， 寄往省外一件x千克物品需付运费为（元）． 【点睛】本题主要考查代数式的运用，解题的关键是理解题意． 4．（20-21七年级上·江苏泰州·期中）某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过40立方米时，按2元立方米计费；月用水量超过40立方米时，其中的40立方米仍按2元立方米收费，超过部分按3.5元立方米计费．设每户家庭月用水量为立方米． （1）当不超过40时，应收水费为　　（用的代数式表示）；当超过40时，应收水费为　　（用的代数式表示化简后的结果）； （2）小明家四月份用水26立方米，五月份用水52立方米，请帮小明计算一下他家这两个月一共应交多少元水费？ （3）小明家六月份交水费150元，请帮小明计算一下他家这个月用水量多少立方米？ 【答案】（1）元，元；（2）小明家这两个月一共应交174元水费；（3）小明家这个月用水量60立方米 【分析】（1）根据题意，可以写出当x不超过40和当x超过40时相应的水费； （2）根据题意，可以分别计算出四月份和五月份的水费，然后相加，即可解答本题； （3）根据小明家六月份交水费150元，可以列出相应的方程，然后即可求得小明家这个月用水量多少立方米． 【详解】解：（1）由题意可得， 当不超过40时，应收水费为元， 当当超过40时，应收水费为：（元）， 故答案为：元，元； （2）∵26＜40,52＞40 小明家四月份的水费为：（元），五月份的水费为（元）， （元）， 小明家这两个月一共应交174元水费； （3）设小明家这个月用水量立方米， ， ， 解得， 答：小明家这个月用水量60立方米． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答． 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）设为整数，用表示被除余的整数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握列代数式的法则，即可． 【详解】∵设为整数，被除余的整数就是的整数倍再加， ∴该整数为：． 故选：C． 2．（23-24七年级上·广东深圳·期中）长方形的周长为20米，其中一边长x米，则面积为（　　）平方米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 根据长方形的周长长+宽，可以先表示出长方形的另一边的长，再根据长方形的面积=长宽，计算即可． 【详解】解：∵长方形的周长为20米，其中一边长米， ∴另一边长为：米， ∴面积为：平方米， 故选：B． 3．（23-24七年级上·上海青浦·期中）在，，，，，这些代数式中，单项式的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握单项式的定义，根据定义，进行解答，即可． 【详解】单项式的定义：由数或者字母的积组成的式子叫做单项式， ∴，是单项式；，是多项式；，是分式； ∴单项式的个数为：个， 故选：B． 4．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）单项式的系数和次数分别是（    ） A．，4 B．，5 C．，4 D．，5 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的系数与次数的定义，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数．单项式的次数就是所有字母指数的和． 【详解】解：单项式的系数为，次数为， 故选：D． 5．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）多项式是（    ） A．四次三项式 B．五次三项式 C．三次四项式 D．三次五项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式次数和项的定义，几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：多项式是五次三项式， 故选：B． 6．（23-24七年级上·广西柳州·期中）在代数式①；②；③；④2021；⑤；⑥中整式的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式，正确掌握整式的定义是解题关键． 根据单项式和多项式统称为整式，进而得出答案． 【详解】解：是整式的有，，2021，， 共四个， 故选：B 7．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．1是单项式 B．的次数是3次 C．的系数是 D．是三次三项式 【答案】A 【分析】 此题考查单项式，多项式．根据单项式、多项式的概念及单项式的次数的定义解． 【详解】解：A、1是单项式，故本选项正确，符合题意； B、的次数是4次，故本选项错误，不符合题意； C、的系数是，故本选项错误，不符合题意； D、是二次三项式，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 8．（23-24七年级上·新疆喀什·阶段练习）关于多项式，下列说法中正确的是（    ） A．它的系数是1 B．它的次数是3 C．它的常数项是1 D．它的项是，b 与1 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式项及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解：多项式的次数是3，常数项是，它的项是，b 与，多项式没有系数的说法， ∴四个选项中，只有B选项说法正确，符合题意， 故选：B． 9．（23-24七年级上·云南曲靖·阶段练习）多项式是关于x的四次三项式，则m的值是（    ） A． B．4 C．2 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的概念列式求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的四次三项式， ∴且， 解得． 故选A． 10．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算：，，，，，…归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是（　　） A．1 B．3 C．2 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可以发现，这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环，1，3，7，5依次出现，再由，可得的个位数字与的个数数字相同，即为7，据此可得答案． 【详解】解：：， ， ， ， ， ， ……， 以此类推，这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环，1，3，7，5依次出现， ∵， ∴的个位数字是7， ∴的个位数字是， 故选B． 二、填空题 11．（22-23七年级上·江西宜春·期中）若，则代数式的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了代数式求值和整体思想．由题意得：，再将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：5． 12．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）若a，b互为相反数，c和d互为倒数，m是最大的负整数，则的值是 【答案】0 【分析】本题主要考查了代数式求值，倒数，相反数和最大负整数的定义，根据乘积为1的两个数互为相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，最大的负整数为负1得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c和d互为倒数，m是最大的负整数， ∴， ∴， 故答案为：0． 13．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若关于x的多项式合并同类项后是一个三次二项式，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了合并同类项和多项式的相关定义，先将原式进行合并同类项，根据多项式是三次二项式可知二次项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：， ∵合并同类项后是一个三次二项式， ∴，解得， 故答案为：1． 14．（23-24七年级上·上海青浦·期中）多项式是 次 项式，常数项是 ． 【答案】 四 四 【分析】本题考查了多项式的定义，解题的关键是掌握多项式的相关定义． 根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数进行分析即可． 【详解】解：多项式的次数为四次四项式，常数项为， 故答案为：四、四、． 15．（22-23七年级下·四川成都·期中）观察下列各式，分析并猜想： ，，，． 计算，第24个式子的结果为 （用数字作答）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，据此代入计算求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ……， 以此类推，可知， ∴当时，， 故答案为：． 三、解答题 16．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在某一禁毒基地的建设中，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽分别为和米的通道． (1)剩余草坪的面积是多少平方米？ (2)若，则剩余草坪的面积是多少平方米？ 【答案】(1)剩余草坪的面积是平方米； (2)若，则剩余草坪的面积是60平方米． 【分析】本题考查多项式乘以多项式；理解题意，能够根据图形列出代数式，并能利用多项式乘以多项式法则进行准确的计算是解题的关键． （1）由图可知：剩余草坪的面积是：，展开运算即可； （2）将代入（1）中的代数式即可． 【详解】（1）解：（平方米）； 答：剩余草坪的面积是平方米． （2）解：当时，（平方米）， 答：若，则剩余草坪的面积是平方米． 17．（22-23七年级上·云南大理·期末）观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式： 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：　 　________． (2)用含有n的代数式表示第n个等式：　 　_________．（n为正整数） (3)求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）根据题意写出第5个式子即可； （2）根据规律可得； （3）根据（2）的规律把原式每一项裂项变形，进而将提出后，括号里进行加减计算，即可求出结果． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ∴第4个等式：， 第5个等式：， 故答案为：；； （2）解：由（1）可得， 故答案为：；； （3）解： +…+ 。 18．（23-24七年级上·全国·课后作业）把下列式子按单项式，多项式，整式，二项式进行分类：（只写序号） ①；②；③；④；⑤0； ⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】单项式：④⑤；多项式：①③⑥⑩；整式：①③④⑤⑥⑩；二项式：③⑥⑩． 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式。 多项式：若干个单项式的代数和组成的式子。 多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。 不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式。二项式是只有两项的多项式，即两个单项式的和． 【详解】解：单项式：，0 多项式：，，， 整式：，，，0，， 二项式：，， ，，是分式；是不等式，都不属于整式； 故答案为：单项式：④⑤；多项式：①③⑥⑩；整式：①③④⑤⑥⑩；二项式：③⑥⑩． 【点睛】本题考查整式、单项式、多项式、二项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断． 19．（23-24七年级上·陕西西安·期中）若是关于x，y的四次三项式，求代数式的值． 【答案】的值为或10 【分析】本题考查多项式的概念，解题的关键是熟练运用多项式概念，本题属于基础题型． 【详解】解：由题意可知：是关于x，y的四次三项式， ∴，， ∴，， 当时， 原式 ； 当时， 原式 ． 综上分析可知，的值为或10． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$