（新知衔接）专题04 整数乘法运算定律推广到小数（新知讲练+高频易错点+四大考点讲练+难度分层练）2024-2025学年人教版小学数学四升五年级暑假衔接讲义（学生版+教师版）

专题04 整数乘法运算定律推广到小数 （新知讲练+高频易错点+四大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：小数乘法的简便运算 5 考点二：小数乘法运算律的辨别 9 考点三：小数乘法运算律的改错问题 10 考点四：小数乘法运算律的实际应用 12 中档题真题训练 13 培优题真题训练 16 教学目标 1. 知道整数乘法的运算律对于小数乘法同样适用，能运用乘法的运算律正确、合理、灵活地进行小数乘法的简便计算。 2. 让学生相互交流、合作并体验成功的喜悦。 3. 培养学生的观察能力、类推能力和灵活运用所学知识解决问题的能力。 教学重点 理解整数乘法的运算律在小数乘法中同样适用。 教学难点 运用运算律进行小数乘法的简便计算。 我们一起来回顾一下学过的乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。 6×15=15×6 25×9×4=25×4×9 12×8×125=12×（8×125） （16+12）×5=16×5+12×5 说一说：整数四则混合运算应该怎么计算呢？ 同级运算，按照从左往右的顺序依次计算； 在既有加减又有乘除的算式中，先算乘除，再算加减。 有括号的要先算括号里的。 小数的四则混合运算应该怎么计算呢？ 这节课我们来学习将整数乘法运算律推广到小数。 小数四则混合运算的顺序跟整数四则混合运算的顺序相同。 计算下面每组的两个算式，看看它们有什么关系？ 从上面的算式中，你发现了什么规律？ 整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法也适用。 应用乘法的运算律，可以使一些计算简便。 想一想，说一说：在刚才的计算过程中，都用到了哪些运算律？ 运用乘法运算律进行简便计算 1. 计算三个小数连乘时，可以应用乘法交换律、结合律将积为整数的两个数先乘，再乘另一个数； 2. 计算小数乘整数时，可以先将接近整十、整百或整千的数拆成整十、整百或整千的数与一个数相加减的算式，再应用乘法分配律进行计算。 计算：4.58×3.8+4.58×6.2 计算：7.2×6.2-0.2×7.2 知识总结： 小数四则混合运算的顺序和整数四则混合运算的顺序相同； 整数乘法的交换律、结合律和分配律对于小数乘法同样适用； 逆用乘法分配律可以解决一些稍复杂的计算。 知识点01：乘法交换律 定义：两个小数相乘，交换因数的位置，积不变。 公式表示：a × b = b × a（其中a和b均为小数） 示例：0.5 × 1.2 = 1.2 × 0.5 = 0.6 知识点02：乘法结合律 定义：三个小数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。 公式表示：(a × b) × c = a × (b × c)（其中a、b、c均为小数） 示例：(0.2 × 0.3) × 4 = 0.2 × (0.3 × 4) = 0.24 知识点03：乘法分配律 定义：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以把这两个数（或被减数与减数）分别与这个数相乘，再把所得的积相加（或相减）。 公式表示：(a + b) × c = a × c + b × c，或(a - b) × c = a × c - b × c（其中a、b、c均为小数） 示例：(0.5 + 0.3) × 2 = 0.5 × 2 + 0.3 × 2 = 1.6 知识点04：注意事项 在使用这些定律时，要确保所有参与运算的数都是小数。 在进行小数乘法运算时，要注意小数点的位置。通常，我们先把小数转化为整数进行乘法运算，然后再根据因数中小数的位数确定积的小数点位置。 乘法运算定律不仅适用于小数，也适用于整数、分数等其他数的运算。这些定律在数学中具有普遍性和重要性。 易错知识点01：混淆运算顺序 在进行小数混合运算时，学生容易混淆运算的先后顺序。例如，在计算表达式14×5.47+4.53时，应该先进行乘法运算，再进行加法运算。 然而，有些学生可能会因为受到整数计算习惯的影响，而错误地先进行加法运算。 易错知识点02：忘记进位 在计算小数乘法时，尤其是当乘积较大时，学生容易忘记进位。例如，在计算7.88×0.6时，如果乘积的整数部分超过10，就需要进位。但是，学生可能会因为疏忽而忘记这一点。 易错知识点03：错误地处理小数位数 小数乘法的一个重要步骤是确定乘积中小数点的位置。学生容易在这个步骤上出错。例如，在计算0.42×0.04时，两个因数共有四位小数，但乘积0.0168只有四位小数，学生可能会忘记在小数点后补零以满足小数位数的要求。 易错知识点04：错误地应用乘法运算定律 在利用乘法运算定律（如交换律、结合律、分配律）进行简便计算时，学生可能会错误地应用这些定律。例如，在计算2.08×98时，学生可能会忘记将98拆分为100-2，然后分别与2.08相乘，最后再将两个乘积相减得到最终结果。 易错知识点05：忽视题目要求 在处理涉及小数乘法的问题时，题目可能会给出一些特定的要求，如保留一定的小数位数。学生可能会忽视这些要求，导致最终答案不符合题目要求。例如，在计算0.43×2.4并要求保留一位小数时，学生可能会错误地忽略四舍五入的规则，导致最终答案不准确。 易错知识点05：混淆小数点位置 在进行小数乘法计算时，学生可能会混淆小数点的位置。例如，在计算10.5×4时，学生可能会错误地将小数点放在错误的位置上，导致最终答案不正确。 考点一：小数乘法的简便运算 【典例精讲】（2024五上·安乡县期末）脱式计算（能简算的要简算）。 8.7÷0.2÷0.5 0.5×16.3+0.5+3.7×0.5 【答案】解：8.7÷0.2÷0.5 ＝8.7÷（0.2×0.5） ＝8.7÷0.1 ＝87 0.5×16.3+0.5+3.7×0.5 ＝0.5×16.3+3.7×0.5+0.5 ＝0.5×（16.3+3.7）+0.5 ＝0.5×20+0.5 ＝10+0.5 ＝10.5 【思路点拨】观察算式可知，算式中是连除，一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积，据此计算简便； 观察数据可知，此题应用乘法分配律简算。 【变式演练01】（2024五上·内乡县期末） 计算下面各题，能简算的要简算。 12.5×（0.78×0.8） 36.98×2.6＋369.8×0.74 [78－（9.41＋28.99）]－0.18 【答案】解：12.5×（0.78×0.8） ＝12.5×0.8×0.78 ＝10×0.78 ＝7.8 36.98×2.6＋369.8×0.74 ＝ 36.98×2.6＋36.98×7.4 ＝36.98×（2.6＋7.4） ＝36.98×10 ＝369.8 [78－（9.41＋28.99）]－0.18 ＝[78－38.4]－0.18 ＝39.6－0.18 ＝39.42 【思路点拨】应用乘法交换律简便运算； 应用乘法分配律简便运算； 小数数四则混合运算，如果有括号先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的；如果没有括号，先算乘除，再算加减；只含有同一级运算，按照从左到右的顺序计算。 【变式演练02】（2024五上·福鼎期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 8.52﹣（5.52+0.9） 4×（9.3﹣5.7）+3.6 7.5×101 （0.38+0.38+0.38+0.38）×2.5 【答案】解： 8.52-（5.52+0.9） =8.52-5.52-0.9 =3-0.9 =2.1 4×（9.3-5.7）+3.6 =4×3.6＋3.6 =（4＋1）×3.6 =5×3.6 =18 7.5×101 =7.5×100＋7.5×1 =750＋7.5 =757.5 （0.38+0.38+0.38+0.38）×2.5 =0.38×（4×2.5） =0.38×10 =3.8 【思路点拨】第一题：应用减法的性质去括号，然后从左到右计算； 第二题：应用乘法分配律简便运算； 第三题：应用乘法分配律简便运算； 第四题：应用乘法结合律简便运算。 【变式演练03】（2023五上·期中）简便计算 （1）7.35×2.1＋7.35×7.9 （2）1.25×2.5×3.2 （3）7.5×10.2 【答案】（1）解：7.35×2.1＋7.35×7.9 =7.35×（2.1+7.9） =7.35×10 =73.5 （2）解：1.25×2.5×3.2 =1.25×2.5×（0.4×8） =（1.25×8）×（2.5×0.4） =10×1 =10 （3）解：7.5×10.2 =7.5×（10+0.2） =7.5×10+7.5×0.2 =75+1.5 =76.5 【思路点拨】（1）直接运用乘法分配律的反运用简便计算； （2）把3.2写成（0.4×8），然后运用乘法交换律和结合律简便计算； （3）把10.2写成（10+0.2），然后运用乘法分配律简便计算。 【变式演练04】简算。 2.5×4.4 3.5×47+35×5.3 0.88×0.3+0.11×7.6 7.34×0.1+73.4×0.5+0.049×734 【答案】解：2.5×4.4 =2.5 ×4×1.1 =10×1.1 = 11 3.5 ×47+35 ×5.3 =3.5×47+3.5 ×53 =3.5×（47+53） =3.5 × 100 = 350 0.88×0.3+0.11 ×7.6 =0.11 ×8×0.3+0.11 ×7.6 =0.11 ×（8×0.3）+0.11 ×7.6 =0.11 ×2.4+0.11 ×7.6 =0.11 ×（2.4+7.6） =0.11 ×10 =1.1 7.34×0.1+73.4 ×0.5+0.049 ×734 =73.4×0.01+73.4×0.5+73.4 ×0.49 =73.4×（0.01+0.5+0.49） =73.4×1 =73.4 【思路点拨】整数乘法运算定律推广到小数乘法： 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：abc=a（bc） 乘法分配律：a（b＋c）=ab+ac 积的变化规律：一个因数扩大另一个因数缩小相同的倍数（0除外），积不变。 考点二：小数乘法运算律的辨别 【典例精讲】（2023五上·漯河月考）下列算式中，与1.25×8.8的结果不相等的是（　　）。 A．1.25×8+1.25×0.8 B．1.25×9-1.25×0.2 C．1.25×8×1.1 D．1.25×8+0.8 【答案】D 【规范解答】解：A：1.25×8＋1.25×0.8 =1.25×（8＋0.8） =1.25×8.8 B：1.25×9－1.25×0.2 =1.25×（9－0.2） =1.25×8.8 C：1.25×8×1.1 =1.25×（8×1.1） =1.25×8.8 D：1.25×8+0.8与1.25×8.8不相等。 故答案为：D。 【思路点拨】乘法分配律：a（b＋c）=ab＋ac或a（b－c）=ab－ac；乘法结合律：abc=a（bc）。 【变式演练01】（2023五上·麦盖提月考）用简便方法计算0.88×12.5时，聪聪把算式改写为0.11×（8×12.5），是运用了乘法　 　律；明明把算式改写为0.8×12.5+0.08×12.5，是运用了乘法　 　律。 【答案】结合；分配 【规范解答】解：聪聪把算式改写为0.11×（8×12.5），是运用了乘法结合律；明明把算式改写为0.8×12.5+0.08×12.5，是运用了乘法分配律。 故答案为：结合；分配。 【思路点拨】乘法结合律：a×b×c=a×（b×c）； 乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c）。 【变式演练02】（2023五上·滑县期末）3.6×5.4+4.6×3.6=　 　×（　 　+　 　） 【答案】3.6；5.4；4.6 【规范解答】解：3.6×5.4+4.6×3.6=3.6×（5.4+4.6）。 故答案为：3.6；5.4；4.6。 【思路点拨】乘法分配律：一个相同的数分别同两个不同的数相乘，积相加，等于这个相同的数乘另外两个不 同数的和。 【变式演练03】（2022五上·龙里月考）1.6×0.35×5=0.35×（1.6×5）应用了乘法的　 　律和　 　律。 【答案】交换；结合 【规范解答】解：1.6×0.35×5=0.35×（1.6×5）应用了乘法的交换律和结合律。 故答案为：交换；结合。 【思路点拨】1.6×0.35×5=0.35×（1.6×5）交换律了因数的位置，并且吧1.6×5结合在一起，应用了乘法的交换律和乘法结合律。 考点三：小数乘法运算律的改错问题 【典例精讲】（2023五上·兴仁月考）小明在算0.8×（▲＋6）时，错写成0.8×▲＋6，他的计算结果与正确结果相比（　　）。 A．多了4.8 B．小了4.8 C．多了6 D．多了1.2 【答案】D 【规范解答】解：0.8×▲＋6- 0.8×（▲＋6） =0.8×▲+6-0.8×▲-0.8×6 =6-4.8 =1.2 故答案为：D。 【思路点拨】根据题意可知，现在的算式-原来的算式=现在比原来多的部分，据此列式解答。 【变式演练01】（2023五上·钱塘期末）小马虎在计算一道题时，把5 (x-0.5)错算成了5x-0.5，所得结果比正确的结果　 　(填多或少)了　 　。 【答案】多；2 【规范解答】解：5 (x-0.5) =5x-2.5； 5x-0.5-（5x-2.5）=2.5-0.5=2，所得结果比正确的结果多2。 故答案为：多；2。 【思路点拨】计算5 (x-0.5) 时，用乘法分配律等于5x-2.5；然后再相减，所得结果比正确的结果多2。 【变式演练02】（2023五上·杭州期末）小马虎把1.6× （□+0.5）错算成了1.6×□+0.5，这样，算得的结果与正确的结果相差了　 　。 【答案】0.3 【规范解答】解：1.6×0.5-0.5 =0.8-0.5 =0.3 故答案为：0.3。 【思路点拨】根据乘法分配律可知：1.6× （□+0.5）=1.6×□+1.6×0.5，因此错误的算法比正确的算法少了（1.6×0.5-0.5）。 【变式演练03】（2023五上·杭州期末）思思把6（x+0.5）错写成6x+0.5．结果比原来　 　（填多几或少几）。 【答案】少2.5 【规范解答】解：6（x+0.5）-（6x+0.5 ） =6x＋6×0.5-6x-0.5 =3-0.5 =2.5 结果比原来少2.5。 故答案为：少2.5。 【思路点拨】计算6（x+0.5）时，用乘法分配律，等于6x＋6×0.5，然后再减去6x+0.5，结果比原来少2.5。 考点四：小数乘法运算律的实际应用 【典例精讲】（2023五上·期中）甲、乙两地相距2514 km，两列火车同时从甲、乙两地相对开出。从甲地开出的火车每小时行98.5 km，从乙地开出的火车每小时行103 km，7小时后两车相距少千米？ 【答案】解：2514- （98.5+103） ×7 =2514-201.5×7 =2514-1410.5 =1103.5（ km） 答：7小时后两车相距1103.5 km。 【思路点拨】根据路程=速度×时间，求出两车7小时行驶的路程，再用总路程减去行驶的路程即可。 【变式演练01】小明把0.6×（O+8）当成0.6×O+8来算了，得到的得数与正确答案相差多少？ 【答案】解：0.6×（O+8）=0.6×O+0.6×8 8-0.6×8 =8-4.8 =3.2 答：得到的得数与正确答案相差3.2。 【思路点拨】将第一个算式按照乘法分配律展开，然后对比这两个算式的不同部分并求这两个不同部分的差。 【变式演练02】一台织布机每天织布0.12千米，改进工艺后每天能多织5米。照这样计算，一批任务要20台织布机，8天完成，这批任务有多少千米布？ 【答案】解：5米=0.005千米 （0.12+0.005）×20×8 =0.125×8×20 =20（千米） 答：这批任务有20千米布。 【思路点拨】题目中要求的是用改进工艺后的织布机完成一批任务，所以应该先算出织布机改进工艺后每天织的米数，再算这批任务总共要织的米数，即这批任务总共要织的米数=一台改进工艺后的织布机一天织布的米数×织布的总天数×织布机的总台数。 中档题真题训练 1．（2023五上·宁波期末）下列算式中，与6.98×9.9得数相等的算式是（　　）。 A．6.98×10-0.1 B．6.98×10-6.98×0.1 C．6.98×10-6.98 D．(7-0.2)×(10-0.1) 【答案】B 【规范解答】解：6.98×9.9 =6.98×（10-0.1） =6.98×10-6.98×0.1 与6.98×9.9得数相等的算式是6.98×10-6.98×0.1 故答案为：B。 【思路点拨】乘法分配律：一个数乘两个数的差，等于这个数分别同这两个数相乘，再把积相减，结果不变。 2．（2023五上·祁东月考）计算2.87×9.9的简便算法（　　）。 A．（10 - 1）×2.87 B．（10-0.1）×2.87 C．（9.9+0.1）×2.87 【答案】B 【规范解答】解：2.87×9.9=2.87×（10-0.1） 故答案为：B。 【思路点拨】把9.9看作（10-0.1），然后运用乘法分配律简便计算。 3．下面算式中，与 5.2×9.8结果相等的是（　　）。 A．5.2×10-0.2 B．5.2×10-5.2×0.2 C．5.2×9×0.8 【答案】B 【规范解答】解：因为9.8=10-0.2，所以5.2×9.8=5.2×10-5.2×0.2。 故答案为：B。 【思路点拨】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加。 4．（2023五上·期末）与4.2×100.1的结果不相等的算式是（　　）。 A．10.01×42 B．4.2×100+4.2×1 C．4.2×100+0.1×4.2 【答案】B 【规范解答】解：4.2×100.1=420.42 10.01×42=420.42 4.2×100+4.2×1=424.2 4.2×100+0.1×4.2=420.42 故答案为：B。 【思路点拨】通过计算出每个算式的结果，再进行比较即可选择出正确的答案。 5．（2023五上·鹤山月考）在横线里填上适当的数。 25×（0.77×0.4）= 　 　×（　 　×　 　） 6.8×5.8+6.8×4.2=　 　×（　 　×　 　） 【答案】0.77；25；0.4；6.8；5.8；4.2 【规范解答】解：25×（0.77×0.4）=0.77×（25×0.4）； 6.8×5.8+6.8×4.2=6.8×（5.8+4.2）。 故答案为：0.77；25；0.4；6.8；5.8；4.2。 【思路点拨】乘法分配律：a×b×c=a×（b×c）； 乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c）。 6．0.56×99=0.56×　 　-0.56×　 　，利用的是　 　律。 【答案】100；1；乘法分配 【规范解答】解：0.56×99=0.56×（100-1）=0.56×100-0.56×1，利用的是乘法分配律。 故答案为：100；1；乘法分配。 【思路点拨】把99写成（100-1），然后用0.56分别与100和1相乘，然后相减，这是运用了乘法分配律。 7．（2023五上·任泽期末）要使4.6×□+5.4×□=6.54，□里应填　 　。 【答案】0.654 【规范解答】解：4.6×□+5.4×□=（4.6+5.4）×□=10×□=6.54，□=6.54÷10=0.654。 故答案为：0.654。 【思路点拨】乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c），据此作答即可。 8．（2022五上·杨陵期中）根据运算定律在横线上填上合适的数。 4.6×2.5=　 　×　 　 2.5×（1.38×0.4）=　 　×（　 　×　 　） 2.64×10.1=　 　×　 　+　 　×　 　 【答案】2.5；4.6；1.38；2.5；0.4；2.64；10；2.64；0.1 【规范解答】4.6×2.5=2.5×4.6 2.5×（1.38×0.4）=1.38×（2.5×0.4） 2.64×10.1=2.64×10+2.64×0.1 故答案为：2.5；4.6；1.38；2.5；0.4；2.64；10；2.64；0.1。 【思路点拨】第一题：运用乘法交换律交换两个因数的位置； 第二题：运用乘法交换律交换前两个因数的位置，然后运用乘法结合律先算2.5×0.4； 第三题：把10.1写成（10+0.1），然后运用乘法分配律简便计算。 9．（2023五上·荆州期中）实验小学计划为学校体育队购买6个足球和6个篮球，500元够吗？ 【答案】解：45.5×6+32.5×6 ＝（45.5+32.5）×6 ＝78×6 ＝468（元） 468＜500，所以500元够。 答：500元够。 【思路点拨】足球的单价×买的数量=买足球花的钱数，篮球的单价×买的数量=买篮球花的钱数，买足球花的钱数+买篮球花的钱数=一共花的钱数，一共花的钱数＜500元，说明钱够。 10．（2023五上·麦盖提月考）洗车场的师傅平均每小时洗车3辆，徒弟平均每小时洗车2辆。师徒二人同洗车2.4小时，一共可以洗车多少辆？ 【答案】解：（3+2） ×2.4 =5×2.4 =12 （辆） 答：一共可以洗车12辆。 【思路点拨】师傅和徒弟平均每小时洗车的辆数之和×师徒二人同洗车时间=一共可以洗车的辆数。 11．一辆摩托车和一辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，摩托车每小时行31.5km，汽车每小时行68.5k m，经过1.5 小时两车相遇，甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】解：(31.5＋68.5)×1.5 =100×1.5 =150(km) 答：甲、乙两地相距150千米。 【思路点拨】甲、乙两地相距的路程=（摩托车的速度＋汽车的速度）×相遇时间。 12．饭店买回西红柿和茄子各30千克，西红柿每千克2.6元，茄子每千克1.8元。买这两种菜一共需要多少元? 【答案】解：（2.6+1.8）×30 =4.4×30 =132（元） 答：买这两种菜一共需要132元。 【思路点拨】因为两种菜都是30千克，所以可以把两种菜的单价相加，然后乘30，这样列出综合算式计算即可。 培优题真题训练 13．（2022五上·龙湖期中）10.1×0.56=10×0.56+0.1×0.56运用了（　　）。 A．乘法分配律 B．加法结合律 C．乘法结合律 【答案】A 【规范解答】解：10.1×0.56=（10+0.1）×0.56=10×0.56+0.1×0.56运用了乘法分配律。 故答案为：A。 【思路点拨】把10.1写成（10+0.1），然后用这两个数分别于0.56相乘，这是运用了乘法分配律。 14．（2022五上·海沧期中）下面算式中，与98×100.1的结果不相等的是（　　）。 A．98×（100+0.1） B．100×100.1-2×100.1 C．98×0.1+98×100 D．98×100+98×2 【答案】D 【规范解答】解：98×100.1=98×（100+0.1）=100×100.1-2×100.1=98×0.1+98×100。 故答案为：D。 【思路点拨】计算98×100.1时应用乘法分配律简便运算。 15．（2022五上·巨野期中）下面的说法中，错误的是（　　）。 A．两个小于1的非零数相乘，所得的积一定小于其中任何一个数 B．3.26÷0.7＝326÷70＝4……46 C．2.5×（4＋0.4）＝2.5×4＋2.5×0.4是运用了乘法分配律 D．20.4×2.4的积保留一位小数约是49.0 【答案】B 【规范解答】解：A：两个小于1的非零数相乘，所得的积一定小于其中任何一个数 ，说法正确； B：326÷70＝4……46 ，3.26÷0.7＝4……0.46 ，原题错误； C：2.5×（4＋0.4）＝2.5×4＋2.5×0.4是运用了乘法分配律，原题正确； D：20.4×2.4=48.96，积保留一位小数约是49.0 ，原题正确。 故答案为：B。 【思路点拨】被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变，但是余数也要随着同时扩大或缩小相同的倍数。 16．（2022五上·恩平开学考）下列算式中，等号两边不相等的是（　　）。 A．2.5×（6.3×4）=2.5×4×6.3 B．6.8×100.1=680+6.8×0.1 C．7.2÷（0.8+0.9）=7.2÷0.8+7.2÷0.9 D．2.07÷0.023=20.7÷0.23 【答案】C 【规范解答】解：A：根据乘法交换律判断，等号两边相等； B：6.8××100.1=6.8×（100+0.1）=6.8×100+6.8×0.1=680+6.8×0.1；相等； C：不符合运算定律，等号两边不相等； D：把被除数和除数的小数点同时向右移动一位，商不变。 故答案为：C。 【思路点拨】 A：运用乘法交换律交换后面两个因数的位置，先算2.5×4，得数不变； B：把100.1写成（100+0.1），然后运用乘法分配律变换算式； C：这个不符合任何运算定律； D：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）。商不变。 17．（2022五上·香洲期中）根据运算定律填一填。 12.5×13.07×0.8=　 　×　 　×　 　 　 　×4=　 　×　 　+　 　×　 　 【答案】1.25；0.8；13.07；80+2.5；80；4；2.5；4 【规范解答】解：12.5×13.07×0.8=12.5×0.8×13.07； （80+2.5）×4=80×4+2.5×4。 故答案为：1.25；0.8；13.07；80+2.5；80；4；2.5；4。 【思路点拨】乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变； 乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，结果不变； 第二题答案不唯一。 18．（2022五上·蓬江月考）6.7×2.01=6.7×2+6.7×0.01可以用　 　律进行简算。 【答案】乘法分配 【规范解答】解：6.7×2.01=6.7×2+6.7×0.01可以用乘法分配律进行简算。 故答案为：乘法分配。 【思路点拨】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加。 19．（2022五上·科尔沁左翼中旗）根据乘法的运算定律填空 12.5×8.7×0.8=（　 　×　 　）×　 　 4.1×1.5+5.9×1.5=（　 　+　 　）×　 　 【答案】12.5；0.8；8.7；4.1；5.9；1.5 【规范解答】解：12.5×8.7×0.8=（12.5×0.8×8.7） 4.1×1.5+5.9×1.5=（4.1＋5.9）×1.5。 故答案为：12.5；0.8；8.7；4.1；5.9；1.5。 【思路点拨】12.5×8.7×0.8=（12.5×0.8×8.7），应用乘法交换律、乘法结合律简便运算；4.1×1.5+5.9×1.5=（4.1＋5.9）×1.5，应用乘法分配律简便运算。 20．简便计算。1.99×52+0.1×5.2=1.99×52+（ 　 　 ）×52=52×（ 1.99+（ 　 　 ））=52×（ 　 　 ）=（ 　 　 ）。 【答案】0.01；0.01；2；104 【解析】积不变的规律：一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。通过这个规律把3.1变成31以后就可以进行简便运算了。 21．（2024五上·道外期末）脱式计算。（能用简便算法的用简便方法计算） 7.08×2.7+7.08×7.3 2.33×1.25×8 3.14×102 【答案】解：7.08×2.7+7.08×7.3 =（2.7＋7.3）×7.08 =10×7.08 =70.8 2.33×1.25×8 =2.33×（1.25×8） =2.33×10 =23.3 3.14×102 =3.14×（100＋1） =3.14×100＋3.14×2 =314＋6.28 =320.28 【思路点拨】应用乘法分配律简便运算； 应用乘法结合律简便运算； 应用乘法分配律简便运算。 22．（2023五上·上思）计算下面各题，怎样算简便就怎样算。 102×0.57 36.3×7.2-16.3×7.2 12.5×32×0.25 6.8÷（0.5＋0.3×4） 【答案】解：102×0.57 =100×0.57＋2×0.57 =57＋1.14 =58.14 36.3×7.2-16.3×7.2 =（36.3-16.3）×7.2 =20×7.2 =144 12.5×32×0.25 =（12.5×8）×（4×0.25） =100×1 =100 6.8÷（0.5＋0.3×4） =6.8÷（0.5＋1.2） =6.8÷1.7 =4 【思路点拨】应用乘法分配律简便运算； 应用乘法分配律简便运算； 应用乘法交换律、乘法结合律简便运算； 先算括号里面的，再算括号外面的。 23．莲花湖社区为“大手牵小手，亲子同阅读”活动购进了绘本和国学读物各180本。绘本每本16.8元，国学读物每本13.2元。买这些书一共花了多少钱？（用两种方法解答） 【答案】解：方法一： 180×16.8＋180×13.2 =3024+2376 =5400（元） 方法二： 180×（16.8＋13.2） =180×30 ＝5400（元） 答：买这些书一共花了5400元。 【思路点拨】方法一：用每种书每本的钱数乘本数，分别求出两种书的钱数，相加后求出一共花的钱数； 方法二：由于两种书都是买了180本，所以用加法求出两种数每本的总钱数，再乘180即可求出一共花的钱数。 24．（2023五上·麦盖提月考）学校图书馆购进科技书和漫画书各180 套，科技书每套28.2元，漫画书每套11.8元，购进这些书一共需要多少元？ 【答案】解：（28.2+11.8） ×180 =40×180 =7200 （元） 答：购进这些书一共需要7200元。 【思路点拨】科技书和漫画每套的钱数和×科技书和漫画书的套数=一共需要的钱数。 25．（2019五上·丰润期中）雷锋小学为准备“六一儿童节”汇演，购置了一批演出服装，其中上衣36件，每件38.2元，裤子36条，每条31.8元，一共花了多少元？ 【答案】解：（38.2+31.8）×36 =70×36 =2520（元） 答：一共花了2520元。 【思路点拨】由于上衣和裤子都是36，所以可以把上衣和裤子的单价相加求出一套衣服的钱数，然后乘36即可求出一共花的钱数。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整数乘法运算定律推广到小数 （新知讲练+高频易错点+四大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：小数乘法的简便运算 5 考点二：小数乘法运算律的辨别 7 考点三：小数乘法运算律的改错问题 7 考点四：小数乘法运算律的实际应用 7 中档题真题训练 8 培优题真题训练 10 教学目标 1. 知道整数乘法的运算律对于小数乘法同样适用，能运用乘法的运算律正确、合理、灵活地进行小数乘法的简便计算。 2. 让学生相互交流、合作并体验成功的喜悦。 3. 培养学生的观察能力、类推能力和灵活运用所学知识解决问题的能力。 教学重点 理解整数乘法的运算律在小数乘法中同样适用。 教学难点 运用运算律进行小数乘法的简便计算。 我们一起来回顾一下学过的乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。 6×15=15×6 25×9×4=25×4×9 12×8×125=12×（8×125） （16+12）×5=16×5+12×5 说一说：整数四则混合运算应该怎么计算呢？ 同级运算，按照从左往右的顺序依次计算； 在既有加减又有乘除的算式中，先算乘除，再算加减。 有括号的要先算括号里的。 小数的四则混合运算应该怎么计算呢？ 这节课我们来学习将整数乘法运算律推广到小数。 小数四则混合运算的顺序跟整数四则混合运算的顺序相同。 计算下面每组的两个算式，看看它们有什么关系？ 从上面的算式中，你发现了什么规律？ 整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法也适用。 应用乘法的运算律，可以使一些计算简便。 想一想，说一说：在刚才的计算过程中，都用到了哪些运算律？ 运用乘法运算律进行简便计算 1. 计算三个小数连乘时，可以应用乘法交换律、结合律将积为整数的两个数先乘，再乘另一个数； 2. 计算小数乘整数时，可以先将接近整十、整百或整千的数拆成整十、整百或整千的数与一个数相加减的算式，再应用乘法分配律进行计算。 计算：4.58×3.8+4.58×6.2 计算：7.2×6.2-0.2×7.2 知识总结： 小数四则混合运算的顺序和整数四则混合运算的顺序相同； 整数乘法的交换律、结合律和分配律对于小数乘法同样适用； 逆用乘法分配律可以解决一些稍复杂的计算。 知识点01：乘法交换律 定义：两个小数相乘，交换因数的位置，积不变。 公式表示：a × b = b × a（其中a和b均为小数） 示例：0.5 × 1.2 = 1.2 × 0.5 = 0.6 知识点02：乘法结合律 定义：三个小数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。 公式表示：(a × b) × c = a × (b × c)（其中a、b、c均为小数） 示例：(0.2 × 0.3) × 4 = 0.2 × (0.3 × 4) = 0.24 知识点03：乘法分配律 定义：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以把这两个数（或被减数与减数）分别与这个数相乘，再把所得的积相加（或相减）。 公式表示：(a + b) × c = a × c + b × c，或(a - b) × c = a × c - b × c（其中a、b、c均为小数） 示例：(0.5 + 0.3) × 2 = 0.5 × 2 + 0.3 × 2 = 1.6 知识点04：注意事项 在使用这些定律时，要确保所有参与运算的数都是小数。 在进行小数乘法运算时，要注意小数点的位置。通常，我们先把小数转化为整数进行乘法运算，然后再根据因数中小数的位数确定积的小数点位置。 乘法运算定律不仅适用于小数，也适用于整数、分数等其他数的运算。这些定律在数学中具有普遍性和重要性。 易错知识点01：混淆运算顺序 在进行小数混合运算时，学生容易混淆运算的先后顺序。例如，在计算表达式14×5.47+4.53时，应该先进行乘法运算，再进行加法运算。 然而，有些学生可能会因为受到整数计算习惯的影响，而错误地先进行加法运算。 易错知识点02：忘记进位 在计算小数乘法时，尤其是当乘积较大时，学生容易忘记进位。例如，在计算7.88×0.6时，如果乘积的整数部分超过10，就需要进位。但是，学生可能会因为疏忽而忘记这一点。 易错知识点03：错误地处理小数位数 小数乘法的一个重要步骤是确定乘积中小数点的位置。学生容易在这个步骤上出错。例如，在计算0.42×0.04时，两个因数共有四位小数，但乘积0.0168只有四位小数，学生可能会忘记在小数点后补零以满足小数位数的要求。 易错知识点04：错误地应用乘法运算定律 在利用乘法运算定律（如交换律、结合律、分配律）进行简便计算时，学生可能会错误地应用这些定律。例如，在计算2.08×98时，学生可能会忘记将98拆分为100-2，然后分别与2.08相乘，最后再将两个乘积相减得到最终结果。 易错知识点05：忽视题目要求 在处理涉及小数乘法的问题时，题目可能会给出一些特定的要求，如保留一定的小数位数。学生可能会忽视这些要求，导致最终答案不符合题目要求。例如，在计算0.43×2.4并要求保留一位小数时，学生可能会错误地忽略四舍五入的规则，导致最终答案不准确。 易错知识点05：混淆小数点位置 在进行小数乘法计算时，学生可能会混淆小数点的位置。例如，在计算10.5×4时，学生可能会错误地将小数点放在错误的位置上，导致最终答案不正确。 考点一：小数乘法的简便运算 【典例精讲】（2024五上·安乡县期末）脱式计算（能简算的要简算）。 8.7÷0.2÷0.5 0.5×16.3+0.5+3.7×0.5 【变式演练01】（2024五上·内乡县期末） 计算下面各题，能简算的要简算。 12.5×（0.78×0.8） 36.98×2.6＋369.8×0.74 [78－（9.41＋28.99）]－0.18 【变式演练02】（2024五上·福鼎期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 8.52﹣（5.52+0.9） 4×（9.3﹣5.7）+3.6 7.5×101 （0.38+0.38+0.38+0.38）×2.5 【变式演练03】（2023五上·期中）简便计算 （1）7.35×2.1＋7.35×7.9 （2）1.25×2.5×3.2 （3）7.5×10.2 【变式演练04】简算。 2.5×4.4 3.5×47+35×5.3 0.88×0.3+0.11×7.6 7.34×0.1+73.4×0.5+0.049×734 考点二：小数乘法运算律的辨别 【典例精讲】（2023五上·漯河月考）下列算式中，与1.25×8.8的结果不相等的是（　　）。 A．1.25×8+1.25×0.8 B．1.25×9-1.25×0.2 C．1.25×8×1.1 D．1.25×8+0.8 【变式演练01】（2023五上·麦盖提月考）用简便方法计算0.88×12.5时，聪聪把算式改写为0.11×（8×12.5），是运用了乘法　 　律；明明把算式改写为0.8×12.5+0.08×12.5，是运用了乘法　 　律。 【变式演练02】（2023五上·滑县期末）3.6×5.4+4.6×3.6=　 　×（　 　+　 　） 【变式演练03】（2022五上·龙里月考）1.6×0.35×5=0.35×（1.6×5）应用了乘法的　 　律和　 　律。 考点三：小数乘法运算律的改错问题 【典例精讲】（2023五上·兴仁月考）小明在算0.8×（▲＋6）时，错写成0.8×▲＋6，他的计算结果与正确结果相比（　　）。 A．多了4.8 B．小了4.8 C．多了6 D．多了1.2 【变式演练01】（2023五上·钱塘期末）小马虎在计算一道题时，把5 (x-0.5)错算成了5x-0.5，所得结果比正确的结果　 　(填多或少)了　 　。 【变式演练02】（2023五上·杭州期末）小马虎把1.6× （□+0.5）错算成了1.6×□+0.5，这样，算得的结果与正确的结果相差了　 　。 【变式演练03】（2023五上·杭州期末）思思把6（x+0.5）错写成6x+0.5．结果比原来　 　（填多几或少几）。 考点四：小数乘法运算律的实际应用 【典例精讲】（2023五上·期中）甲、乙两地相距2514 km，两列火车同时从甲、乙两地相对开出。从甲地开出的火车每小时行98.5 km，从乙地开出的火车每小时行103 km，7小时后两车相距少千米？ 【变式演练01】小明把0.6×（O+8）当成0.6×O+8来算了，得到的得数与正确答案相差多少？ 【变式演练02】一台织布机每天织布0.12千米，改进工艺后每天能多织5米。照这样计算，一批任务要20台织布机，8天完成，这批任务有多少千米布？ 中档题真题训练 1．（2023五上·宁波期末）下列算式中，与6.98×9.9得数相等的算式是（　　）。 A．6.98×10-0.1 B．6.98×10-6.98×0.1 C．6.98×10-6.98 D．(7-0.2)×(10-0.1) 2．（2023五上·祁东月考）计算2.87×9.9的简便算法（　　）。 A．（10 - 1）×2.87 B．（10-0.1）×2.87 C．（9.9+0.1）×2.87 3．下面算式中，与 5.2×9.8结果相等的是（　　）。 A．5.2×10-0.2 B．5.2×10-5.2×0.2 C．5.2×9×0.8 4．（2023五上·期末）与4.2×100.1的结果不相等的算式是（　　）。 A．10.01×42 B．4.2×100+4.2×1 C．4.2×100+0.1×4.2 5．（2023五上·鹤山月考）在横线里填上适当的数。 25×（0.77×0.4）= 　 　×（　 　×　 　） 6.8×5.8+6.8×4.2=　 　×（　 　×　 　） 6．0.56×99=0.56×　 　-0.56×　 　，利用的是　 　律。 7．（2023五上·任泽期末）要使4.6×□+5.4×□=6.54，□里应填　 　。 8．（2022五上·杨陵期中）根据运算定律在横线上填上合适的数。 4.6×2.5=　 　×　 　 2.5×（1.38×0.4）=　 　×（　 　×　 　） 2.64×10.1=　 　×　 　+　 　×　 　 9．（2023五上·荆州期中）实验小学计划为学校体育队购买6个足球和6个篮球，500元够吗？ 10．（2023五上·麦盖提月考）洗车场的师傅平均每小时洗车3辆，徒弟平均每小时洗车2辆。师徒二人同洗车2.4小时，一共可以洗车多少辆？ 11．一辆摩托车和一辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，摩托车每小时行31.5km，汽车每小时行68.5k m，经过1.5 小时两车相遇，甲、乙两地相距多少千米？ 12． 饭店买回西红柿和茄子各30千克，西红柿每千克2.6元，茄子每千克1.8元。买这两种菜一共需要多少元? 培优题真题训练 13．（2022五上·龙湖期中）10.1×0.56=10×0.56+0.1×0.56运用了（　　）。 A．乘法分配律 B．加法结合律 C．乘法结合律 14．（2022五上·海沧期中）下面算式中，与98×100.1的结果不相等的是（　　）。 A．98×（100+0.1） B．100×100.1-2×100.1 C．98×0.1+98×100 D．98×100+98×2 15．（2022五上·巨野期中）下面的说法中，错误的是（　　）。 A．两个小于1的非零数相乘，所得的积一定小于其中任何一个数 B．3.26÷0.7＝326÷70＝4……46 C．2.5×（4＋0.4）＝2.5×4＋2.5×0.4是运用了乘法分配律 D．20.4×2.4的积保留一位小数约是49.0 16．（2022五上·恩平开学考）下列算式中，等号两边不相等的是（　　）。 A．2.5×（6.3×4）=2.5×4×6.3 B．6.8×100.1=680+6.8×0.1 C．7.2÷（0.8+0.9）=7.2÷0.8+7.2÷0.9 D．2.07÷0.023=20.7÷0.23 17．（2022五上·香洲期中）根据运算定律填一填。 12.5×13.07×0.8=　 　×　 　×　 　 　 　×4=　 　×　 　+　 　×　 　 18．（2022五上·蓬江月考）6.7×2.01=6.7×2+6.7×0.01可以用　 　律进行简算。 19．（2022五上·科尔沁左翼中旗）根据乘法的运算定律填空 12.5×8.7×0.8=（　 　×　 　）×　 　 4.1×1.5+5.9×1.5=（　 　+　 　）×　 　 20．简便计算。1.99×52+0.1×5.2=1.99×52+（ 　 　 ）×52=52×（ 1.99+（ 　 　 ））=52×（ 　 　 ）=（ 　 　 ）。 21．（2024五上·道外期末）脱式计算。（能用简便算法的用简便方法计算） 7.08×2.7+7.08×7.3 2.33×1.25×8 3.14×102 22．（2023五上·上思）计算下面各题，怎样算简便就怎样算。 102×0.57 36.3×7.2-16.3×7.2 12.5×32×0.25 6.8÷（0.5＋0.3×4） 23．莲花湖社区为“大手牵小手，亲子同阅读”活动购进了绘本和国学读物各180本。绘本每本16.8元，国学读物每本13.2元。买这些书一共花了多少钱？（用两种方法解答） 24．（2023五上·麦盖提月考）学校图书馆购进科技书和漫画书各180 套，科技书每套28.2元，漫画书每套11.8元，购进这些书一共需要多少元？ 25．（2019五上·丰润期中）雷锋小学为准备“六一儿童节”汇演，购置了一批演出服装，其中上衣36件，每件38.2元，裤子36条，每条31.8元，一共花了多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$