21.3 二次根式的加减（3个知识点+4类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（华东师大版）

21.3 二次根式的加减 课程标准 学习目标 ①同类二次根式； ②二次根式的加减运算及四则混合运算. 1.掌握同类二次根式概念； 1.掌握二次根式加减运算的步骤和方法； 2.灵活进行二次根式的混合运算. 知识点01 同类二次根式 同类二次根式的概念：化简后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式. 【补充】1.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 2.可以合并的同类二次根式必须同时满足：①是最简二次根式；②被开方数相同. 【即学即练1】 1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 二次根式的加减法 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 【补充】1. 二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类的二次根式不能合并． 2. 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 【即学即练1】 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D．2 知识点03 二次根式的混合运算 二次根式混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 【补充】1.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式. 2.常见的二次根式混合运算类型如下： 1） 2） 3） 4） 5） 【即学即练1】 1．计算： (1) (2) 题型01 同类二次根式 【典例1】下列二次根式中，与同类二次根式的是（ 　） A． B． C． D． 【变式1】下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若最简二次根式能与合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】若最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 【变式4】要使（a，b为整数且），则a的最小值为 ，此时 ． 题型02 二次根式的加减 【典例1】计算：（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】计算 ． 【变式3】计算： ． 题型03 二次根式的混合运算 【典例1】计算： 【变式1】计算 (1)； (2)． 【变式2】计算 (1)； (2)． 【变式3】计算 (1)； (2)． 【变式4】计算： (1)； (2)． 题型04 与二次根式有关的求值题 【典例1】若的小数部分为，则代数式的值为 ． 【变式1】已知，求代数式的值． 【变式2】已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【变式3】已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式4】若，，求： (1)； (2)求． 1．若，则=（   ） A．5 B．10 C．20 D．25 2．对于任意的正数m，n，定义运算※：，计算的结果为（    ） A． B． C．4 D．32 3．（m，n为整数），则（    ） A． B． C．1 D．2 4．估算的结果在（ 　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 5．估计的值应在（ 　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 6．计算的结果是（    ） A． B．4 C． D． 7．估计的值应在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 8．估算式子的值应在下面哪两个相邻整数之间（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 9．已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 10．设实数的整数部分为，小数部分为．则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 11．已知，则代数式的值为 ． 12．若，，则 ． 13．已知，，则 ． 14．已知，则代数式的值为 ． 15．计算的结果为 ． 16．计算： ． 17．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 ． 18．对于任意的正数，定义运算“*”为计算计算的结果为 ． 19．计算： (1)； (2)． 20．计算： (1) (2) (3) 21．计算 (1) (2) 22．已知．求： (1)； (2)； (3)． 23．已知． (1)求的值． (2)若为的整数部分，为的小数部分，求的值． 24．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ； 【类比归纳】 （1）填空：____________，____________． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，，使，，即，，那么便有：____________． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程） 25．【阅读下列材料】 若，则（注：）． ．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当时，取等号．） 【例】：若，求的最小值． 解：， ． 时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)若，求的最大值； (2)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3 二次根式的加减 课程标准 学习目标 ①同类二次根式； ②二次根式的加减运算及四则混合运算. 1.掌握同类二次根式概念； 1.掌握二次根式加减运算的步骤和方法； 2.灵活进行二次根式的混合运算. 知识点01 同类二次根式 同类二次根式的概念：化简后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式. 【补充】1.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 2.可以合并的同类二次根式必须同时满足：①是最简二次根式；②被开方数相同. 【即学即练1】 1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式，根据几个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式即为同类二次根式． 【详解】解：A、与的被开方数不同，不是同类二次根式，故不符合题意； B、，化简后不是根式，故不符合题意； C、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故不符合题意； D、，符合同类二次根式的定义，与是同类二次根式，故符合题意． 故选D． 知识点02 二次根式的加减法 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 【补充】1. 二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类的二次根式不能合并． 2. 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 【即学即练1】 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键；直接合并同类二次根式即可． 【详解】解：， 故选：C． 知识点03 二次根式的混合运算 二次根式混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 【补充】1.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式. 2.常见的二次根式混合运算类型如下： 1） 2） 3） 4） 5） 【即学即练1】 1．计算： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据二次根式加减乘除的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】（1） ； （2） 题型01 同类二次根式 【典例1】下列二次根式中，与同类二次根式的是（ 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，关键是熟练掌握同类二次根式的判断方法，属于基础题，注意判断时先要化为最简二次根式．先将各数化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的被开方数相同可解答． 【详解】解：A、是整数，与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与的被开方数相同，是同类二次根式，符合题意； C、与的被开方数不相同，不是同类二次根式，不符合题意； D、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、同类二次根式等知识点，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．先根据二次根式的性质化简各项，然后同类二次根式的定义即可解答． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能和合并，故本选项不符合题意； B、与是同类二次根式，能和合并，故本选项符合题意； C、与不是同类二次根式，不能和合并，故本选项不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能和合并，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】若最简二次根式能与合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握最简二次根式的化简是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 能与合并，则，进而可求出的值． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并， ，，故选：C． 【变式3】若最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，理解定义是解题的关键．先根据同类二次根式的定义得出关于a的方程，求出解即可． 【详解】解：根据题意，得，解得．故答案为：． 【变式4】要使（a，b为整数且），则a的最小值为 ，此时 ． 【答案】 10 4 【分析】本题考查了二次根式的加减，同类二次根式；由及和为知，与是同类二次根式，则可求得a的最小值，从而求得b． 【详解】解：与是同类二次根式， 与是同类二次根式， 中的a最小为10， 此时，； 故答案为：10；4． 题型02 二次根式的加减 【典例1】计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用二次根式的性质化简，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，故选：B ． 【变式1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类二次根式，掌握合并二次根式的法则是解题的关键． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. 不能合并，原计算错误； C. 不能合并，原计算错误； D. ，计算正确； 故选D． 【变式2】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，利用二次根式的性质先化简，再合并即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：，故答案为：． 【变式3】计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加法运算，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为： 题型03 二次根式的混合运算 【典例1】计算： 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化简和计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可. 【详解】解： 【变式1】计算 (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（）直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （）直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； 此题主要考查了二次根式的加减混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】计算 (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键 （1）先运用二次根式的性质化简，然后再去括号、合并同类二次根式即可； （2）先运用平方差公式和二次根式除法计算，然后再加减运算即可 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3】计算 (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是： （1）先利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式、完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 题型04 与二次根式有关的求值题 【典例1】若的小数部分为，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，掌握“二次根式的除法运算与分式的混合运算”是解本题的关键． 先把除法转化为乘法运算，约分后可得结果，然后估算无理数的大小得出，再代入要求值可得答案． 【详解】解： ∵的小数部分为，， ∴， ∴原式， 故答案为：． 【变式1】已知，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式． 把代入代数式，再根据平方差公式、完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：∵， ． 【变式2】已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)31 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出，，再根据平方差公式计算； （2）根据完全平方公式计算． 【详解】（1），， ，， ； （2） ． 【变式3】已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)8． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值． （1）由，的值，求出与的值，将原式提取公因式得到，代入计算即可； （2）由（1）得，，将原式利用完全平方公式变形后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 【变式4】若，，求： (1)； (2)求． 【答案】(1)；(2)18 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）先求出，，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 1．若，则=（   ） A．5 B．10 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加法，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键． 由，即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 2．对于任意的正数m，n，定义运算※：，计算的结果为（    ） A． B． C．4 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算列出算式，然后利用二次根式的乘法和减法法则进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故选：C． 3．（m，n为整数），则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简及加减运算，根据题意得，然后计算，最后对应位置数字相等即可得出，代入求解即可，熟练掌握二次根式的化简及加减运算是解题关键 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C 4．估算的结果在（ 　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法和减法及无理数的估算，先根据运算法则计算出结果，再估计即可． 【详解】解：， ，即， ， 在1和2之间， 故选：B． 5．估计的值应在（ 　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】A 【分析】本题主要考查对无理数的估算，二次根式的乘法．先化简后，再根据即可得到答案． 【详解】 ， ， ， 故选：A． 6．计算的结果是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方逆运算，二次根式的混合运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 利用积的乘方运算法则进行化简运算即可． 【详解】解： 原式 故选：D． 7．估计的值应在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算，正确的估算的大小是解题的关键．先根据二次根式的运算法则得出，然后利用夹逼法估算的大小，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴， ∴的值应在4和5之间， 故选：C． 8．估算式子的值应在下面哪两个相邻整数之间（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】D 【分析】此题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，先对各式进行化简，再运用算术平方根知识进行估算． 【详解】， ， ， 式子的值应在8和9两个相邻整数之间， 故选：D． 9．已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，求的值，即可求得的值 【详解】解： =12 所以，． 故选B． 10．设实数的整数部分为，小数部分为．则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的意义是解决问题的前提，求出、的值是正确解答的关键． 先估算的近似值，确定、的值，再代入计算即可． 【详解】解：，即， ，， ， 故选：D 11．已知，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的化简求值、整式的乘法及因式分解，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．先将代数式展开化简，再因式分解，再将的值代入即可． 【详解】解： ， 把代入代数式， 原式． 故答案为：3． 12．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及因式分解的应用，先整理原式为，再代入，，进行计算化简，即可作答． 【详解】解： ∵， ∴原式 故答案为： 13．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据完全平方公式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 14．已知，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值，将化为，再利用完全平方公式进行简便计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：1． 15．计算的结果为 ． 【答案】６ 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算、二次根式的混合运算，利用平方根公式去括号，再根据二次根式的性质计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：6 ． 16．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，先根据积的乘方进行变形，再根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再求出答案即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 17．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小及代数式求值，先化简再估算出它的取值范围，进而可得出、的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴， 故答案为：． 18．对于任意的正数，定义运算“*”为计算计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算和实数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据新定义把数值代入得，再化简计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的加减即可； （2）利用乘法分配律计算二次根式的乘法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （3）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ． 21．计算 (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简，再计算乘法，然后合并同类二次根式即可； （2）先计算乘除，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．已知．求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)4；(2)1；(3)14 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，异分母分式加法，解题的关键是掌握二次根式的加减乘除运算法则． （1）直接代入，利用二次根式的加法法则计算即可； （2）直接代入，利用平方差公式计算即可； （3）由（1）（2）知，根据异分母分式加法计算出结果，再利用完全平方公式将所求式子通分变形，代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：由（1）（2）知， ， ． 23．已知． (1)求的值． (2)若为的整数部分，为的小数部分，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】此题考查了二次根式的加减，平方差公式，无理数的估算，分母有理数， （1）首先求出，，然后利用平方差公式求解即可； （2）首先利用无理数的估算求出，，然后代入求解即可． 【详解】（1） ， ； （2）∵ ∵ ∴ ∴ ∴即， 为的整数部分， ，即 n为的小数部分， 24．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ； 【类比归纳】 （1）填空：____________，____________． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，，使，，即，，那么便有：____________． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程） 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． （1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，8写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【详解】解：（1）； ； 故答案为：，； （2） ； 故答案为：； （3） ． 25．【阅读下列材料】 若，则（注：）． ．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当时，取等号．） 【例】：若，求的最小值． 解：， ． 时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)若，求的最大值； (2)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少． 【答案】(1) (2)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； (3)菜园的长为，宽为时，面积最大为平方米 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）根据基本不等式即可求解； （2）设这个长方形的长为x米，则另一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （3）设一边为，则另一边长为，则，根据基本不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴；∴ ∴当时，的最大值为； （2）解：设这个长方形的长为x米，另一边为米， 则，∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （3）解：设一边为，则另一边长为，则 ∴ ∴；∴；∴ ∴当时的最大值为 ∴当时，菜园的面积有最大值为平方米， 答：菜园的长为，宽为时，面积最大为平方米． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$