专题1.1.1直线的倾斜角、斜率及其关系（8题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

专题1.1.1直线的倾斜角、斜率及其关系 题型一 直线的倾斜角 1．（23-24高二下·浙江·期中）若直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 题型二 直线的斜率的定义 1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）“直线经过第一、二、四象限”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·江西·期末）已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（    ） A．1 B．45 C． D． 3．（多选）（23-24高三上·河南焦作·期末）已知直线l经过点，.则下列结论中正确的是（    ） A．直线l的斜率是 B．直线l的倾斜角是 C．直线l的方向向量与向量平行 D．直线l的法向量与向量平行 4．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）直线的斜率的取值范围是 . 题型三 斜率与倾斜角的变化关系 1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 3．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 ． 4．（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 题型四 已知两点求斜率 1．（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 题型五 已知斜率求参数 1．已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（多选）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 3．若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为 ． 4．设直线的方程为，若直线的倾斜角为，试求的值. 题型六 斜率公式的应用 1．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）若直线的斜率，且过点，则直线经过点（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 4．（多选）（23-24高三上·山东枣庄·期中）颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值（，）． 该研究小组得到以下结论，正确的是（    ） A．在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高 B．在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高 C．在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高 D．在第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低 题型七 直线与线段相交关系求斜率的范围 1．（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知点，，斜率为k的直线l过点，则下列斜率k的取值范围能使直线l与线段相交的有（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（22-23高二上·湖北黄冈·期中）已知点，，直线上存在点P满足，则直线l的倾斜角可能为（    ） A．0 B． C． D． 3．（23-24高二上·全国·期中）已知点，，若直线过点，且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ． 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知点，直线：， (1)若是直线l的一个方向向量，求a的值； (2)若直线l与线段有交点，求a的范围． 题型八 方向向量 1．（23-24高二上·上海奉贤·期末）直线的法向量可以为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知直线l过点且一个方向向量为，则l在y轴上的截距为（    ） A． B．1 C． D．5 4．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角 ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1.1直线的倾斜角、斜率及其关系 题型一 直线的倾斜角 1．（23-24高二下·浙江·期中）若直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程得到直线的斜率，从而得到倾斜角. 【详解】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：A 2．（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助倾斜角与斜率的关系可得两直线的倾斜角，即可得其夹角. 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 3．（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分为第一象限角和第三象限角时，求出的取值集合再求并集. 【详解】 根据题意，角的终边在直线上，为第一象限角时，； 为第三象限角时，； 综上，角的取值集合是. 故选：D. 4．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 题型二 直线的斜率的定义 1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）“直线经过第一、二、四象限”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先利用直线经过第一、二、四象限求得k的取值范围，进而得到其与“”逻辑关系. 【详解】要使 经过第一、二、四象限， 则 ，解得： ， 因此，“直线经过一、二、四象限” 是“”的充要条件． 故选：C 2．（23-24高二上·江西·期末）已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（    ） A．1 B．45 C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知直线l的倾斜角为， 则l的斜率为， 故选：C 3．（多选）（23-24高三上·河南焦作·期末）已知直线l经过点，.则下列结论中正确的是（    ） A．直线l的斜率是 B．直线l的倾斜角是 C．直线l的方向向量与向量平行 D．直线l的法向量与向量平行 【答案】AD 【分析】 根据两点表示斜率即可判断A；由推不得即可判断B；根据共线向量的坐标表示即可判断CD. 【详解】 A：由题意，知直线l的斜率是，故A正确； B：直线l的倾斜角满足，但不一定有，故B错误； C：直线l的一个方向向量为，因为， 所以直线l的一个方向向量与向量不平行，故C错误； D：直线l的一个法向量为，因为， 所以直线l的一个法向量与向量平行，故D正确. 故选：AD 4．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据范围可得答案. 【详解】直线的斜率为， 因为，所以. 故答案为：. 题型三 斜率与倾斜角的变化关系 1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性即可得解. 【详解】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 2．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意，作出图象，利用正切函数的单调性，结合图象即得. 【详解】 如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间， 即需使斜率满足, 因，，故. 故答案为：. 3．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】借助倾斜角与斜率的关系及三角函数值域即可得. 【详解】，故. 故答案为：. 4．（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率. 【详解】由直线方程：得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故答案为：. 题型四 已知两点求斜率 1．（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 【答案】D 【分析】求出和，数形结合观察满足直线l过点且与线段AB有公共点下斜率的变化情况即可求出结果. 【详解】根据题意，作出图形如下图： 直线PA的斜率为，直线PB的斜率为， 所以由图可知过点且与线段AB有公共点时，直线l的斜率取值范围是. 故选：D. 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围. 【详解】如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷， 此时斜率，所以此时； 从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 此时斜率，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A 3．（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】由斜率公式计算可得直线的斜率. 【详解】因为直线经过两点，， 所以它的斜率为. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【答案】 【分析】利用斜率计算公式可得，，根据直线过点且与线段相交，数形结合即可求出直线的斜率的取值范围． 【详解】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 题型五 已知斜率求参数 1．已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据斜率公式计算即可. 【详解】由题意，直线的斜率为， 解得， 故选：B． 2．（多选）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设轴上点或轴上点，根据斜率公式，列出方程，即可求解. 【详解】设轴上点或轴上点， 因为直线的倾斜角为，可得，得， 解得，故点的坐标为或. 故选：BD. 3．若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】利用直线的斜率公式求解. 【详解】由已知可得， 过点，的直线的斜率， 解得， 故答案为： . 4．设直线的方程为，若直线的倾斜角为，试求的值. 【答案】1 【分析】根据直线的斜率求出可得答案. 【详解】由得 ， 因为，所以， 当即时，直线与轴垂直，倾斜角为，不符合题意， 故，可得直线的斜率， 即，得. 题型六 斜率公式的应用 1．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求解作答. 【详解】依题意，三点所在直线不垂直于x轴，因此直线的斜率相等， 于是，整理得，所以或. 故选：AC 2．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）若直线的斜率，且过点，则直线经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据直线的斜率公式一一验证各选项，可得答案. 【详解】直线的斜率，且过点， 对于A,计算，故A错误； 对于B,计算，故B正确； 对于C,计算，故C正确； 对于D,计算，故D错误； 故选：BC 3．（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 【答案】BC 【分析】 根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围. 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又是在部分图象上的动点，图象如下： 如上图，，则，只有B、C满足. 故选：BC 4．（多选）（23-24高三上·山东枣庄·期中）颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值（，）． 该研究小组得到以下结论，正确的是（    ） A．在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高 B．在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高 C．在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高 D．在第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低 【答案】AD 【分析】根据实验数据图表逐个分析选项即可. 【详解】分别将原点与图中各点相连. 设线段的斜率为，根据题意有， 即越小，颗粒物过滤效率越高。 由图可知，； 在第2种口罩的4次测试中，最小，所以第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项A正确； 在第1种口罩的4次测试中，最小，所以第1次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项B错误； 由图知，，所以第3次测试中第2种口罩的颗粒物过滤效率更高，选项C错误； ，所以第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低，选项D正确. 故选：AD. 题型七 直线与线段相交关系求斜率的范围 1．（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知点，，斜率为k的直线l过点，则下列斜率k的取值范围能使直线l与线段相交的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，画出图象，结合斜率公式，即可求解. 【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出A，B，P三点，如图所示． 当直线l与线段相交时，或， 所以斜率k的取值范围是或斜率不存在， 结合选项，选项A、B符合题意． 故选：AB． 2．（多选）（22-23高二上·湖北黄冈·期中）已知点，，直线上存在点P满足，则直线l的倾斜角可能为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BD 【分析】将、两点代入直线的方程，可知点、不可能同时在直线上，又，可判断出点的轨迹即为线段，把原问题转化为直线与线段恒有公共点问题，再求出两个临界值，即可判断. 【详解】将点代入直线得，再将点代入直线得，故点、不可能同时在直线上， 又，且， 点的轨迹为线段，即直线与线段恒有交点， 又直线， 直线恒过定点，作出示意图： 此时，， 故直线的斜率的取值范围为：，且直线的斜率存在， 故直线的倾斜角的取值范围为：， 故选：BD. 3．（23-24高二上·全国·期中）已知点，，若直线过点，且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用斜率公式，分别求得线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由题意，点，直线过点， 可得直线的斜率为，直线的斜率为， 如图所示，要使得直线与线段有交点， 则直线的斜率的取值范围为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知点，直线：， (1)若是直线l的一个方向向量，求a的值； (2)若直线l与线段有交点，求a的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据直线的方向向量的定义可求 （2）判断出直线l过定点，分别求出，即可求出l的斜率a的取值范围 【详解】（1）因为是直线l的一个方向向量， 所以 （2）过定点，如图 因为， 要使直线l与线段有交点，则a的范围为 题型八 方向向量 1．（23-24高二上·上海奉贤·期末）直线的法向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线法向量与方向向量的关系，结合直线的点斜率式方程进行求解即可. 【详解】由，可得，所以直线的斜率, 所以直线的方向向量为， 当时，有，所以，不是直线的法向量，故A不正确； 当时，有，所以，不是直线的法向量，故B不正确； 当时，有，所以，不是直线的法向量，故C不正确； 当时，有，所以，是直线的法向量，故D正确. 故选：D. 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设直线的倾斜角为，由题意得，可得倾斜角． 【详解】 设直线的倾斜角为，， 由直线的一个方向向量为，得， 则. 故选：C． 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知直线l过点且一个方向向量为，则l在y轴上的截距为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】设l在y轴上的截距为，根据斜率公式列式求解即可. 【详解】因为直线l一个方向向量为，可知直线l的斜率， 设l在y轴上的截距为，即直线l过点， 则，解得. 故选：A. 4．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率，而， 所以. 故答案为： ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$